Supposons A >> B; on écrira cette équation ainsi

Ap*=z2— Bq\

et l'on remarquera que, comme les nombres/?, q et z doivent être entiers, il faudra que s2— Bq2 soit divisible par A.

Donc, puisque A et q sont premiers entre eux (numéro précédent), on fera, suivant la méthode du § IV, n° 48 ci-dessus,

• z = nq — A 7,,

n etq, étant deux nombres entiers indéterminés; ce qui changera la formule z- — B72 en celle-ci

{ri- — B)<72— inkqq> + k2q],

dans laquelle il faudra que ri2 — 13 soit divisible par A, en prenant pour //

un nombre entier non > -■

On essayera donc pour n tous les nombres entiers qui ne surpassent \ pas - 5 et, si l'on n'en trouve aucun qui rende ri- — B divisible par A, on

en conclura sur-le-champ que l'équation

\p* = z2 — Kq'

n'est pas résoluble en nombres entiers, et qu'ainsi la quantité A y- -h B ne saurait jamais devenir un carré.

.Mais, si l'on trouve une ou plusieurs valeurs satisfaisantes de n, on les mettra l'une après l'autre à la place de n, et l'on poursuivra le calcul comme on va le voir.

Je remarquerai seulement encore qu'il serait inutile de donner aussi

à // des valeurs plus grandes que -; car, nommant n,, na, n3,... les valeurs de n moindres que - > qui rendront ri2 — B divisible par A, toutes

les autres valeurs de n qui pourront faire le même ell'et seront renfermées dans ces formules (n° 47 du § IV)

or, substituant ces valeurs à la place de n dans la formule

n7 — BVy5— >.// A 77, -4- \'qU c'est-à-dire ' nq — \q, )'•' — \ïq\

il est clair qu'on aura les mêmes résultats que si l'on mettait seulement 7i,, n2, nat... à la place de n, et qu'on ajoutât à g, les quantités rp a, q, =i= tj.2qt qr fjL8gr,..., de sorte que, comme q, est un nombre indéterminé, ces substitutions ne donneraient pas des formules différentes de celles qu'on aura par la simple substitution des valeurs n,, nt, nv —

53. Puis donc que «2 — B doit être divisible par A, soit A, le quotient de cette division, en sorte que AA, = n? — B; et l'équation

A/>'=: z'— Bg!=(fl!- B)92— 2.n\qq,-h A'q],

étant divisée par A, deviendra celle-ci

p1 — A,<72— 2/*<7</, -t- Aq\,

où A, sera nécessairement moindre que A, à cause que A, = —r — et que B < A, et n non > - •

Or, i° si A, est un nombre carré, il est clair que cette équation sera résoluble par les métbodes connues, et l'on en aura la solution la plus simple qu'il est possible, en faisant q{ — o, q = i e\p = y/A,.

2° Si A, n'est pas égal à un carré, on verra si ce nombre est moindre (jue B, ou au moins s'il est divisible par un nombre quelconque carré, en sorte que le quotient soit moindre que B, abstraction faite des signes; alors on multipliera toute l'équation par A0 et l'on aura, à cause de AA, — 7i2 = -B,

Alpi=(Alq — nq,)'— Bq];

de sorte qu'il faudra que

soit un carré; donc, divisant par/?2, et faisant — =y, et A, = C, on aura

à rendre carrée la formule

laquelle est, comme l'on voit, analogue à celle du n° 50. Ainsi, si C contient un facteur carré y-, on pourra le supprimer, en ayant attention de

ANALYSE INDETERMINEE. 105

multiplier ensuite par y la valeur qu'on trouvera pour j,, pour avoir sa véritable valeur; et l'on aura une formule qui sera dans le cas de celle du n° 51, mais avec cette différence que les coefficients B et C de celle-ci seront moindres que les coefficients A et B de celle-là.

54. Mais, si A, n'est pas moindre que B, ni ne peut le devenir en le divisant par le plus grand carré qui le mesure, alors on fera q = vq, -+- q., , et substituant cette valeur dans l'équation, elle deviendra

/>'= A,ql — inxq-,qK -\- htq], OÙ

nl = n — vAi, et A2 = A|V* — inv -+- A = —

On déterminera, ce qui est toujours possible, le nombre entier v, en sorte que nK ne soit pas >> — > abstraction faite des signes, et alors il est clair que A2 deviendra < A,, à cause de A2= — -? — > et de B = ou < A,,

Ai

et n. = ou < — •

On fera donc ici le même raisonnement que nous avons fait dans le numéro précédent, et, si A2 est carré, on aura la résolution de l'équation; si A2 n'est pas carré, mais qu'il soit < B, ou qu'il le devienne étant divisé par un carré, on multipliera l'équation par A2 et

l'on aura, en faisant E- =y, et A2= C, la formule q-i

qui devra être un carré, et dans laquelle les coefficients B et C (après avoir supprimé dans C les diviseurs carrés, s'il y en a) seront moindres que ceux de la formule Aj' + B du n° 51.

Mais, si ces cas n'ont pas lieu, on fera comme ci-dessus q, = v, f/, + 93, et l'équation se changera en celle-ci

on

n7 — B n,= n,— i/,A2, cl A»= Ajv* — 2/i|Vi-f- A(= ■ 7