Soit d'abord proposée cette égalité doublée

a + bx = à un carré, c -+- dx = à un carré,

où l'inconnue x ne se trouve qu'au premier degré.

Faisant

a+ bx = P, c + dx = u\

et chassant x de ces deux équations, on aura

ad — bc — dP — bu7 ;

donc

dP= bu2 -h ad — bc, et (dl}2 = dbu--i- (ad — bc)d;

de sorte que la difficulté sera réduite à trouver une valeur rationnelle de u, telle que dbiû -+- ad- — bcd devienne un carré. On résoudra cet le égalité simple par la méthode exposée ci-dessus, et, connaissant ainsi u, on aura

Si l'égalité doublée était

ax ■+- bx = à un carré, car'Hr dx = k un carré,

il n'y aurait qu'à faire x = — et multiplier ensuite l'une et l'autre for-

mule par le carré x\; on aurait ces deux autres égalités

a -+- bxx = à un carré, c -f- d x, = à un carré,

qui sont semblables aux précédentes.

Ainsi l'on peut résoudre, en général, toutes les égalités doubles où l'inconnue ne passe pas le premier degré, et celles où l'inconnue se trouve dans tous les termes, pourvu qu'elle ne passe pas le second degré; mais il n'en est pas de même lorsque l'on a des égalités de cette forme

a -+- bx -h ex2 = à un carré, a -f- fix -+■ yx2 = à un carré.

Si l'on résout la première de ces égalités par notre méthode, et qu'on

nomme/ la valeur de x qui rend a-\-bx -\- ex2 = au carré g2, on aura

en général (n° 57)

fin2 — 2 gm 4- b -+- cf tri' — c

donc, substituant celte expression dea? dans l'autre formule a -+- fix 4- yx2, et la multipliant ensuite par (m2 — c)2, on aura à résoudre l'égalité

a ( m' — c)2 -f- (3 ( m1 — c) {fm? —o.gm + b + cf)

-+- y {fin2— igm ■+- b -t- cf)2 = à un carré,

dans laquelle l'inconnue m monte au quatrième degré.

Or on n'a jusqu'à présent aucune règle générale pour résoudre ces sortes d'égalités, et tout ce qu'on peut faire, c'est de trouver successivement différentes solutions, lorsqu'on en connaît une seule (voyez le Chapitre IX).