Si l'on avait la triple égalité

ax-\- by= à un carré, ex -+■ dy = k un carré, hx -f- hy= à un carré,

on ferait

ax -+- by — t2, ex -+- dy = u2, hx -f- ky = s1,

et, chassant x et y de ces trois équations, on aurait celle-ci (ak — b h) u2 — (ch — dh)t2 =[ad — cb ) s2 ;

de sorte qu'en faisant - = z, la difficulté se réduirait à résoudre l'égalité simple

ait' — bh ch — dh

r z2 ; T =aun carre,

au — cb ad — cb

laquelle est, comme l'on voit, dans le cas de notre méthode générale.

Ayant trouvé la valeur de z, on aura u = tz, et les deux premières

équations donneront

d — bz2 s az2 — c 2

ad — cb ' •* ad — cb

Mais, si la triple égalité proposée ne contenait qu'une seule variable, on retomberait alors dans une égalité où l'inconnue monterait au quatrième degré.

En effet, il est clair que ce cas peut se déduire du précédent, en faisant y = i , de sorte qu'il faudra que l'on ait

az2 — c ad — cb

et par conséquent

az2 — c

— ; = a un carre.

ad — cb

Or, nommant/ une des valeurs de z qui peuvent satisfaire à l'égalité ci-dessu

ci-dessus, et faisant, pour abréger, ^ )l == e, on aura en général

z /m'- agm + eft

Donc, substituant cette valeur de z dans la dernière égalité et la multipliant toute par le carré de m2 — e, on aura celle-ci

a{ f'm2 — i gm ■+- ef)2— cim7 — e)'

— : — : — = a un carre,

ad — cb

où l'inconnue m monte, comme l'on voit, au quatrième degré.

^ VU. — Méthode directe et générale pour trouver toutes les videurs de y exprimées en nombres entiers, par lesquelles on peut rendre rationnelles les quantités de la forme sj Ay~ -f- B, A. et B étant des nombres entiers donnés ; et pour trouver aussi toutes les solutions possibles en nombres entiers des équations indéterminées du second degré a deux inconnues.

(Addition pour le Chapitre VI.)

64. Quoique par la méthode du § V on puisse trouver des formules générales qui renferment toutes les valeurs rationnelles de y, propres à rendre Aj2 -h B égal à un carré, cependant ces formules ne sont d'aucun usage lorsqu'on demande pour y des valeurs exprimées en nombres entiers; c'est pourquoi nous sommes obligé de donner ici une nouvelle méthode pour résoudre la question dans le cas des nombres entiers.

Soit donc

et, comme A et B sont supposés des nombres entiers, et que y doit être aussi un nombre entier, il est clair que x devra être pareillement entier; de sorte qu'on aura à résoudre en entiers l'équation

xi Ar2 = B.

Je commence par remarquer ici que, si B n'est divisible par aucun nombre carré, il faudra nécessairement que y soit premier à B; car supposons, s'il est possible, que y et B aient une commune mesure a, en sorte que y = %yt , et B = *B, ; donc on aura

a7»=Aa,i>rï-«-«B„

d'où il s'ensuit qu'il faudra que x- soit divisible par a; et, comme a n'est ni carré, ni divisible par aucun carré (hyp.), à cause que a est facteur

de 13, il faudra que ce soit divisible par <x; faisant donc x — w,, on aura

x2x\ = z'Aj5 -+- al>,, ou bien, en divisant par a,

olx\ = <xky\ ■+- Ri ;

d'où l'on voit que B, devrait encore être divisible par «, ce qui est contre l'hypothèse.

Ce n'est donc que lorsque B contient des facteurs carrés que y peut avoir une commune mesure avec B; et il est facile de voir par la démonstration précédente que cette commune mesure de y et de B ne peut être que la racine d'un des facteurs carrés de B, et que le nombre .r devra avoir la même commune mesure; en sorte que toute l'équation sera divisible par le carré de ce commun diviseur de x, y et B.

De là je conclus :

i° Que, si B n'est divisible par aucun carré, jet B seront premiers entre eux;

2° Que, si B est divisible par un seul carré a2, y pourra être premier à B ou divisible par oc, ce qui fait deux cas qu'il faudra examiner séparément : dans le premier cas, on résoudra l'équation

x2 — Aj2= B,

en supposant y et B premiers entre eux; dans le second, on aura à résoudre l'équation

H, étant = — > en supposant aussi y et B, premiers entre eux; mais il

faudra ensuite multiplier para les valeurs qu'on aura trouvées pour y et «r pour avoir les valeurs convenables à l'équation proposée;

3° Que, si Best divisible par deux différents carrés, a2 et ('- , on aura trois cas à considérer : dans le premier, on résoudra l'équation

en regardant./ et B comme premiers entre eux; dans le second, on résoudra de même l'équation

x- — Aj>'2= B,,

B, étant = — > dans l'hypothèse de y et B, premiers entre eux, et l'on

multipliera ensuite les valeurs de x et y par a ; dans le troisième, on résoudra l'équation

xi—Ari=B„

B2 étant = — > dans l'hypothèse de y et B2 premiers entre eux, et l'on

multipliera ensuite les valeurs de x et dey par p ;

4° Etc.

Ainsi on aura autant d'équations différentes à résoudre qu'il y aura de différents diviseurs carrés de B; mais ces équations seront toutes de la

même forme

et y sera aussi toujours premier à B.