IX

on trouvera

— =zd + . . .,

et ainsi de suite.

On trouve, de cette manière, les valeurs des coefficients a, b, c, . . . , à commencer par les dernières, et, les substituant dans l'équation générale

y = a H- bx ■+- ex2 -t- «?.r3 + . . . ,

il viendra, après les réductions, cette formule, qu'il est aisé de continuer aussi loin qu'on voudra,

y~ P -4-Q,(jr — p) -f-R,(a? — p) [x — </) -+- S3(x — p) [x — q) [x — r) -I-

Mais on peut réduire cette solution à une plus grande simplicité par la considération suivante.

Puisque y doit devenir P, Q, R,..., lorsque x devient/;, q, /,..., il est aisé de voir que l'expression de y sera de cette forme

r = AP + BQ 4- CR + DS -+-... ,

où les quantités A, B, C,... doivent être exprimées en x% de manière

qu'en faisant x =p on ait

que de même, en faisant x = q, on ait

qu'en faisant x — r, on ait pareillement

etc.;

d'où il est facile de conclure que les valeurs de A, B, C, de cette forme

doivent être

iq-p)

en prenant autant de facteurs, dans les numérateurs et dans les dénominateurs, qu'il y aura de points donnés de la courbe, moins un.

Cette dernière expression de y, quoique sous une forme différente, revient cependant au même, comme on peut s'en assurer par le calcul, en développant les valeurs des quantités Q,, R2, S3,..., et ordonnant les termes suivant les quantités P, Q, R,...; mais elle est préférable par la simplicité de l'Analyse sur laquelle elle est fondée, et par sa forme même, qui est beaucoup plus commode pour le calcul.

On pourra donc, par cette formule, qu'il ne serait pas difficile de réduire à une construction géométrique, trouver la valeur de l'ordonnée y pour une abscisse quelconque x, d'après les ordonnées connues P, Q, R, ... pour les abscisses données/;, q, r,.... Ainsi, ayant plusieurs termes d'une série quelconque, on pourra trouver tel terme intermédiaire qu'on voudra, ce qui est fort utile pour remplir les lacunes qui pourraient se trouver dans des suites d'observations ou d'expériences,

ou dans des Tables calculées par des formules ou des constructions données.

Si maintenant on applique cette théorie aux deux Exemples proposés ci-dessus et aux Exemples semblables, dans lesquels on a les erreurs qui répondent à différentes suppositions, on pourra trouver directement l'erreur y qui répondra à une supposition quelconque intermédiaire x, en prenant les quantités P, Q, R, . . . pour les erreurs trouvées, et p, q, /;... pour les suppositions d'où elles résultent. Mais, dans ces Exemples, la question étant de trouver, non pas l'erreur qui répond à une supposition donnée, mais la supposition dont l'erreur serait nulle, il est clairque cette question est l'inverse de la précédente, et qu'elle peut se résoudre aussi par la même formule, en prenant réciproquement les quantités p, q, /•,... pour les erreurs, et les quantités P, Q, R, . . . pour les suppositions correspondantes : alors x sera l'erreur de la supposition y; par conséquent, en faisant x = o, la valeur de y sera celle de la supposition dont l'erreur sera nulle.

Soient donc P, Q, R, . . . les valeurs de l'inconnue dans les différentes suppositions, dp, q, r,... les erreurs qui résultent de ces suppositions, en donnant à ces quantités les signes convenables; alors on aura pour la valeur de l'inconnue dont l'erreur sera nulle l'expression

AP-t-BQ-t-CR-f-...,

dans laquelle les valeurs de A, B, C,... seront

en prenant autant de facteurs qu'il y aura de suppositions, moins un.