VII

courbe ERS des erreurs. En prenant d'autres distances à la place de PA, et faisant la même construction, on trouvera d'autres erreurs qu'on appliquera de même sur la ligne PR, et qui donneront d'autres points de la même courbe.

On pourra donc décrire ainsi celte courbe par plusieurs points, et le point R où elle coupera l'axe PR donnera la distance PR, dont l'erreur sera nulle, et qui sera, par conséquent, la véritable distance de l'observateur au premier objet; cette distance étant connue, on aura les deux autres par la même construction.

Il est bon de remarquer que la construction dont il s'agit donne, pour chaque point A de la ligne PA, deux points B et B' dans la ligne PB; car, puisque la distance AB est donnée, pour trouver le point B, il n'y a qu'à décrire du point A comme centre, et avec le rayon AB, un arc de cercle qui coupera la droite PB en deux points B et B', lesquels satisferont tous les deux aux conditions du Problème. De la même manière, chacun de ces points en donnera deux sur la droite PC, et chacun de ceux-ci en donnera aussi deux sur la droite PD; d'où il suit que chaque point A, pris sur la première droite PA, en donnera généralement huit sur ia droite PD, qu'il faudra donc considérer séparément et successivement pour avoir toutes les solutions possibles. J'ai dit généralement; car il est possible : i° que les deux points B, B' se réunissent en un seul, ce qui aura lieu lorsque le cercle décrit du centre A avec le rayon AB touchera la droite PB; 20 que ce cercle ne coupe point la droite PB, auquel cas le reste de la construction devient impossible, et il faudra dire la même chose des points C, D. Ainsi, en menant la ligne GF parallèle à BP, et éloignée de celle-ci d'une distance égale à la ligne donnée AB, le point F où elle coupera la ligne PE, prolongée s'il est nécessaire, sera la limite au delà de laquelle il ne faudra point prendre les points A pour avoir des solutions possibles. On aura de même des limites pour les points B et C, lesquelles serviront à restreindre les suppositions primitives qu'on pourrait faire sur la distance PA.

Les huit points D, qui dépendent en général de chaque point A, ré-

pondent aux huit solutions dont le Problème est susceptible, et, lorsqu'on n'a aucune donnée particulière par laquelle on puisse déterminer laquelle de ces solutions convient au cas proposé, il est indispensable de les chercher toutes, en employant pour chacune des huit combinaisons une courbe particulière des erreurs. Mais, si l'on sait, par exemple, que la distance de l'observateur au second objet est plus grande ou plus petite que sa distance au premier, il ne faudra prendre alors dans la ligne PB que le point B dans le premier cas, ou le point B' dans le second, ce qui diminuera les huit combinaisons de moitié. Si l'on avait la même donnée sur le troisième objet, relativement au second, et sur le premier, relativement au troisième, alors les points C et D seraient déterminés, et l'on n'aurait qu'une solution unique.

Ces deux Exemples peuvent suffire pour montrer l'usage de la méthode de ces courbes dans la résolution des Problèmes; mais cette méthode, que nous n'avons présentée que d'une manière pour ainsi dire mécanique, peut aussi être soumise à l'Analyse.

En effet, tout se réduit à décrire ou faire passer une courbe par plusieurs points, soit que ces points soient donnés par le calcul ou par une construction, ou même par des observations ou des expériences isolées et indépendantes les unes des autres. Ce Problème est, à la vérité, indéterminé; car on peut, a la rigueur, faire passer par des points donnés une infinité de courbes différentes, régulières ou irrégulières, c'està-dire soumises à des équations, ou tracées arbitrairement a la main; mais il ne s'agit pas de trouver des solutions quelconques, mais les plus simples et les plus aisées à employer.

Ainsi, s'il n'y avait que deux points donnés, la solution la plus simple serait une ligne droite qu'on mènerait par ces points. S'il y a trois points, on pourrait faire passer par ces points un arc de cercle, qui est, après la droite, la ligne la plus facile à décrire.

Mais, si le cercle est la courbe la plus simple par sa description, elle ne l'est pas par son équation entre les abscisses et les ordonnées rectangles. Sous ce dernier point de vue, on peut regarder comme les plus simples les courbes dont l'ordonnée est exprimée par une fonction en-

tière et rationnelle de l'abscisse, telle que

y = a + bx + ex2 ■+- dx3 -f- . . . ,

y étant l'ordonnée et x l'abscisse. Ces sortes de courbes s'appellent en général paraboliques, parce qu'on peut les regarder comme une généralisation de la parabole, qui a lieu lorsque l'équation n'a que les trois premiers termes. Nous en avons déjà montré l'usage dans la résolution des équations; mais leur considération est toujours utile dans la description approchée des courbes; car on peut toujours faire passer une courbe de ce genre par tant de points qu'on voudra d'une courbe proposée, puisqu'il n'y a qu'à prendre autant de coefficients indéterminés a, b, c, . . . qu'il y a de points proposés, et déterminer ces coefficients de manière que les abscisses et les ordonnées, pour ces points, soient données. Or il est clair que, quelle que puisse être la courbe proposée, la courbe parabolique ainsi tracée en différera toujours d'autant moins que le nombre des points donnés sera plus grand, et leur distance moindre.

Newton est le premier qui se soit proposé ce Problème; voici la solution qu'il en donne :

Soient P, Q, R, S, . . . les valeurs des ordonnées/ qui répondent aux valeurs/), q, r, s,... des abscisses x; on aura les équations suivantes

P == a -f- bp -f- cp' -+- dp3 -+-. . :, Q = a ■+■ bq -+- cq* -+- dq3 -+- . . . , R = a -f- br -+- cr7 -+- dr3 -+-...,

le nombre de ces équations devant être égal à celui des coefficients indéterminés a, b, c, Soustrayant ces équations l'une de l'autre, les restes

seront divisibles par q—p, r — q,..., «t l'on aura, après la division,

= b -+- c[q -Y- p) H- d[q2 + qp 4-/>5) + . . .,

= è + c(r + g) + d{r- 4- rq -+- q2

Soit

on trouvera de la même manière, par la soustraction et la division, R,-Q,

Soit de même