SI II LA

[Journal de P 'École Polytechnique, V Cahier, t. II, prairial an VI.

1. Considérons la fraction -> qu'on suppose moindre que l'unité, et

réduite à sa plus simple expression, en sorte que les nombres A et B soient premiers entre eux. Si l'on demandait de transformer celte fraction en une autre dont le numérateur ou le dénominateur fût donné, il est clair que cela ne serait possible, à la rigueur, qu'autant que le nouveau numérateur ou dénominateur serait un multiple du numérateur ou dénominateur donné. Mais, si l'on veut se contenter d'une approximation, le Problème est toujours résoluble, et il s'agira de déterminer la nouvelle fraction, de manière qu'elle approche le plus qu'il est possible de la fraction donnée.

2. Ainsi, en désignant par — cette nouvelle fraction, dans laquelle m ou a est supposé donné, le Problème consistera à déterminer a ou m, r-ii sorte que la différence entre les deux fractions T et -- soit la plus

pot i le qu'il est possible. Or cette différence est -■ ■ Il s'agira donc

de déterminer a ou m, de manière que le nombre Ba — h.m devienne le plus petit; et, pour cela, il est visible qu'il n'y aura qu'à prendre

pour a le quotient de km divisé par B, ou pour/n le quotient de Ba par A : alors la valeur de Ba — km sera égale au reste de ces divisions, et sera par conséquent moindre que le diviseur.

3. Mais on doit observer ici que le reste d'une division peut être positif ou négatif, suivant qu'on prendra pour quotient le nombre qui, étant multiplié par le diviseur, sera immédiatement moindre ou plus grand que le dividende. Dans l'Arithmétique ordinaire, on fait toujours la division de manière que les testes soient positifs; mais, dans la théorie générale des nombres, on peut employer également des restes positifs ou négatifs, et l'on peut même, par ce moyen, faire en sorte que le reste soit toujours moindre que la moitié du diviseur; car il est évident que, si le reste positif est plus grand que cette moitié, en augmentant le quotient d'une unité, il faudra retrancher le diviseur du reste, ce qui donnera un reste négatif et moindre que la moitié du diviseur.

On peut, pour plus de simplicité, appeler division en dedans celle où le reste est positif, et division en dehors celle qui donne un reste négatif, parce qu'en effet, dans la première, le produit du quotient par le diviseur tombe en dedans du dividende, et que, dans la seconde, il tombe en dehors.

\. Soit donc Ba — km = ±C, en sorte que ± C soit le reste de la division de Ba par A, et m le quotient, ou =f= C le reste de la division de km par B, et a le quotient, on aura

et par conséquent

On pourra donc traiter de la même manière la fraction T» dans la-

quelle G est toujours nécessairement moindre que A, et la réduire à une

autre fraction connue T-> dont le numérateur ou le dénominateur soil

~~ Aa