SL
Au
(ionné, et qui approche le plus qu'il est possible de la même fraction .
On fera ainsi Cb — An = ± D, où ±D sera le reste déjà division de Cb par A, et « le quotient, si le dénominateur b est donné; et, si c'est le numérateur n qui est donné, =p C sera le reste de la division de An par C, et b le quotient.
On aura de cette manière
On pourra, si l'on veut, continuer de même, en faisant
De — Ap = ±E,
et l'on aura
et ainsi de suite.
5. Nous remarquerons ici que, le nombre B étant moindre que A par l'hypothèse, les nombres suivants C, D,... seront aussi moindres que A, puisque ce sont les restes de la division Ba, Cb,... par A. D'où il est facile de conclure que les numérateurs m, n, />,... ne pourront jamais être plus grands que leurs dénominateurs respectifs a, b, c, . . . .
Car, en considérant l'équation Bfl — Am = ±C, si \ïa ■ Am, on aura
donc A//i = Ba — C<Ba; mais A étant >>B, il s'ensuit que m sera nécessairement a. Si, au contraire, A/n>Ba, on aura
donc Am = Ba + C, et de la A (m - r) = Ba-t-C — A; mais, A étant C, C — A sera un nombre négatif; donc on aura
• A [m — i < Ha]
donc B étant <A, m — i sera nécessairement <[ a, et par conséquent
On démontrera de la même manière, par l'équation Cb — A/i = ±D, que l'on ayra dans tous les cas n < b -+- i , et ainsi de suite.
Lorsque les dénominateurs a, b, . . . sont donnés, et qu'on détermine les numérateurs m, n,... de manière que les restes des divisions de B«, Cb, . . . par A soient positifs, alors il résulte de la démonstration précédente qu'on aura nécessairement m<^a, n<^b, p<^c, . . . .
(S. En substituant successivement les valeurs de Ts -r > • • • > on aura
cette suite de transformées
ni a
A"fl6
al>
abc
où il faut remarquer, à l'égard des signes ambigus, que le premier est le même que celui du premier reste; que le second doit être le produit de ceux des deux premiers restes; que le troisième doit être le produit de ceux des trois premiers restes, et ainsi de suite.
Ces transformations ont l'avantage de réduire la fraction donnée à une suite de fractions décroissantes dont les numérateurs ou les dénominateurs soient donnés, et qui approchent le plus qu'il est possible de la fraction donnée.
7. Si les dénominateurs a, b, c,... sont supposés donnés et tous égaux entre eux, alors la série prend cette forme plus simple
et il est facile de voir que si l'on fait a = \o, et qu'on prenne tous restes positifs, c'est-à-dire, qu'on fasse toutes les divisions en dedans comme
on le pratique dans l'Arithmétique, on aura la réduction connue de la fraction T en décimales, où les numérateurs m, n,p,... seront les carac-
tères successifs de la fraction. En effet m sera le quotient de la division de Ba ou de 10B par A, et C le reste; n sera le quotient de la division de aC ou 10C par A, et D le reste, et ainsi de suite, ce qui revient à l'opération connue de la division en décimales.
Si l'on prenait pour a les nombres 2, 3, 12,..., on aurait la réduction
de la fraction r en fractions binaires, ternaires, duodécimales, etc.
8. Je remarque maintenant que, lorsque tous les dénominateurs sont donnés et égaux, les numérateurs m, n, p, . . . doivent nécessairement revenir les mêmes et former une série périodique; car, les restes C, D, E,... étant tous moindres que le diviseur A, il arrivera nécessairement que, dans la suite des opérations, un des restes sera répété. Supposons, par exemple, que le reste E soit égal au reste C; comme n est le quotient et D le reste de la division de Cb par A, que de même q est le quotient et F le reste de la division de Ed par A, il s'ensuit, à cause de b et d égaux à a, que l'on aura q = n et F = D; et, par la même raison, r=p, G = E, et ainsi de suite; de sorte que les quotients n, p,... reviendront toujours à l'infini et formeront une suite périodique de deux termes. C'est ce qui a lieu, comme l'on sait, dans l'Arithmétique ordinaire, lorsqu'on réduit en décimales une fraction quelconque. La même chose aura lieu, par conséquent, dans tout autre système d'Arithmétique.
De là on peut conclure réciproquement que, si l'on a une série numérique quelconque de la forme
laquelle aille à l'infini, sans que les numérateurs m, n, p qui
doivent être tous <a-(-i, forment une suite périodique, celte série ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle.
9. Lorsque ce sont les numérateurs m, n, p, . . . qui sont donnés, et qu'on cherche les dénominateurs a, b,... par les conditions supposées, les nombres A, B, CD,... formeront nécessairement une suite décroissante. Car d'abord B est <A par l'hypothèse; ensuite C étant le reste de la division de km par B sera moindre que B; de même, D étant le reste de la division de B/z par C sera moindre que C, et ainsi de suite. D'où il suit que la suite des restes C, D, E, . . . devra nécessairement se
,"■,.. m , n p terminer par zéro ; et alors la série même — ± —r ± -7- ± ■ • • se termir a au abc
nera. aussi, ce qui est évident par les formules du n° 6.
Donc, réciproquement, si l'on a une série de la forme
-±-±-^-±-.., a ab abc
où les numérateurs m, n, p,... soient respectivement moindres que a -+- 1 , b H- 1, c + i,..., cette série, si elle va à l'infini, ne pourra jamais représenter une fraction rationnelle; par conséquent elle représentera nécessairement une quantité numérique irrationnelle.
10. On sait qu'en nommant e le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on a généralement
donc, si m = 1 ou = -» i étant un nombre quelconque entier, la série
qui représente la valeur de é sera de la forme dont il s'agit; par consequent le nombre e' sera nécessairement irrationnel.
On a aussi, comme l'on sait,
sin u — u h
Donc, si l'on fait u = i ou = -!-, c'est-à-dire, si l'on prend l'arc u égal au rayon ou à une partie quelconque aliquote du rayon, les séries qui représenteront le sinus et le cosinus de cet arc auront les conditions dont il s'agit; et, comme elles vont à l'infini, on en conclura que ces sinus ou cosinus ne pourront jamais être eommensurables au rayon.
11. Considérons maintenant plus particulièrement le cas où les numérateurs m, n,... sont donnés, et supposons que ces numérateurs soient tous égaux à l'unité, ce qui rend la forme de la série la plus simple et la plus convergente.
On fera donc, dans ce cas,
De — A = ±E,
Ba — A =
et l'on aura
A a ab abc
où l'on observera, à l'égard des signes ambigus de la série, la règle du n° 6.
Ainsi l'on prendra pour A le quotient de la division de A par B; pour b, le quotient de la division de A par le reste C de la division précédente; pour c, le quotient de la division de A par le reste D de la division précédente, et ainsi de suite; de sorte que dans ces opérations on comparera successivement tous les restes au même dividende A, ce qui rendra la suite des restes décroissante, et celle des quotients a, b, c, . . . croissante, jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste nul, ce qui terminera l'opération et la série.
Si l'on fait toutes les divisions en dedans comme à l'ordinaire (3), les restes C, D,... auront tous le signe négatif, et par conséquent les signes de la série seront alternativement positifs et négatifs (6). Pour que la série n'ait que des termes positifs, il faudra que les divisions successives soient toutes en debors, pour que les restes C, D, . . . , dans les formules ci-dessus, soient tous affectés du signe -H.
Au reste, si l'on voulait avoir la série la plus convergente qu'il est VII. 38
possible, il faudrait faire chaque division en dedans ou en dehors, suivant qu'elle donnera le reste le plus petit (3).
12. Comme cette manière de convertir une fraction en série est peu connue, et peut être utile dans beaucoup de cas, nous allons Péclaircir par quelques exemples.
