Q N R PS O
V P V+P' Q=ra
on aura, par la substitution successive,
= to4-
tB
de sorte que, comme les deux derniers termes de la série N, P, Q,...
sont égaux à B et A (22), il s'ensuit que la fraction t- se trouvera ainsi
réduite à une fraction continue, dont les dénominateurs successifs seront les nombres X, fx, v,... pris à rebours, et par conséquent les
nombres mêmes de la cinquième colonne dans la Table du n° 25.
Ainsi la fraction — - de l'Exemple de ce numéro se réduit à cette
1 ioi '
fraction continue
et cette fraction, étant coupée successivement au premier dénominateur, au second, au troisième, etc., donne les mêmes fractions convergentes
trouvées ci-dessus, -, %, t|j — i 5 4"
28. C'est par le moyen des fractions continues qu'on a coutume de résoudre le Problème des fractions les plus convergentes vers une fraclion donnée. On commence par réduire cette fraction en fraction continue, en faisant sur le numérateur et le dénominateur l'opération connue pour trouver le plus grand commun diviseur, et prenant les quotients de ces divisions successives pour les dénominateurs de la fraction continue; ensuite on en déduit les fractions convergentes par des formules
semblables à celles du n° 24. La fraction — \, traitée de cette manière.
i io3
donne les quotients i, 4» 9» 2, 1, 1, /j, et l'on en forme immédiatement
cette suite de fractions,
dont chacune est composée des deux précédentes, en prenant pour numérateur la somme du numérateur précédent, multiplié par le nombre «le la série des quotients qui est placé au-dessus, et du numérateur qui précède celui-ci; et de même, pour dénominateur, la somme du dénominateur précédent, multiplié par le même nombre, et du dénominateur qui précède ce dernier.
29. Mais on peut déduire de nos formules un autre procédé pour parvenir directement à une quelconque des fractions convergentes par le moyen d'une seule série. Pour cela, je considère les équations du n° 21 sous cette forme,
A = Xa -f- b, a = y.b -t- c, b = vc-l-(l, ...,
et j'observe que les valeurs de B et A dépendent des quantités À, a, y, . . . , comme celles de m et a dépendent des quantités (u, v, tz, . . . , et
celles de n et b dépendent de v, ts ce qui est évident par la forme
même de ces équations. D'un autre côté, si l'on considère la série des nombres N, P, Q, . . , et qu'on y ajoute au commencement les deux nombres L = o et M = i, on a, par les formules du n° 21,
N = XM-hL, P = p.N + M, Q = vP+N, R = CjQ + P, ...;
or on a vu (22) que les deux derniers termes de cette série sont nécessairement les nombres B et A; donc, si dans ces formules on change les nombres X, [i, v, . . . en p., v, zs, . . . , les deux derniers termes de la série seront m et a; de sorte que l'on aura immédiatement la première fraction convergente — > par les deux derniers termes de la série
L = o, M = i, N=/xM + L, P = vN + M, R = gtP + N, ...,
et, par la même raison, on aura la seconde fraction convergente ti en prenant pour n et b les deux derniers termes de la série
L = o, M = i, N = vM + L, P^sjN + M, ...,
et ainsi de suite ; les nombres X, [L, v, . . . étant les dénominateurs de la fraction continue, pris à rebours, c'est-à-dire à commencer par le dernier.
30. Ainsi, ayant trouvé pour la fraction — ^ cette suite de quotients
ou de dénominateurs i, /j, 9, 2, 1, 1, 4, on pourra former les séries
suivantes
o, 1, 4» 5, 9, a3, 216, 887, iio3,
o, 1, 1, 3, 2.8, ii5, i43, etc.,
où chaque terme est composé du terme précédent multiplié par le nombre qui est au-dessus, et de celui qui le précède; et l'on voit que la première série redonne les deux termes de la fraction proposée, que la seconde donne les deux termes de la première fraction convergente
-y-» que la troisième série donne les termes de la seconde fraction 240 a
1 15 convergente -rr» et ainsi de suite. Les nombres placés au-dessus des
termes de ces séries sont, comme l'on voit, les dénominateurs de la fraction continue, écrits par ordre à commencer du dernier, ou de l'avant-dernier, ou du second avant le dernier, etc.
31. Nous avons considéré le Problème de la réduction des fractions à d'autres plus simples, d'une manière générale, et nous avons dérivé d'un même principe la théorie des fractions décimales, considérée dans un système quelconque de numération; la théorie d'une autre espèce de fractions peu connues, que feu Lambert a, je crois, proposées le premier, et qui ont l'avantage singulier de former des suites plus convergentes qu'aucune série géométrique; enfin la théorie des fractions continues, qui avait toujours été traitée jusqu'ici d'une manière isolée. Le seul objet de cet écrit a été de montrer comment ces différentes théories pouvaient être rapprochées et présentées sous un même point de vue.
