Nous venons de trouver les formules

n = 15 — /.m, p = m — fj.n, q ■=. n — vp, . . . , b = A — 7,a, c == a — u.b, d = b — vc, ....

Si l'on substitue ces valeurs dans les expressions des nombres N, P, Q,... du n° 19, il viendra, à cause de B« — km — ± i, en étant l'ambiguïté des signes qui affectent tous les termes,

N ^ 1, P = i -+- w.N, Q = N -4- v P, R = P + S7Q, S = Q-l-pR,

formules qui font voir que les nombres N, P, Q,... vont nécessairement en augmentant, tandis que les nombres a, b, c, d,... et m, n, p, y,... vont en diminuant.

Ces formules peuvent aussi servir à déterminer directement la valeur de ces nombres lorsque les coelficienls )., \x, v,... seront connus; et ces mêmes nombres N, P, Q,... serviront à exprimer d'une manière simple

les différences des fractions — , -ri- ■■ et de la fraction T (19).

au A v '

22. Maintenant, comme les nombres m, n, p,..., ainsi que les nombres a, b, c,..., doivent aller en diminuant, il est évident que par la continuation des mêmes opérations on parviendra a des termes nuls.

Supposons donc, par exemple, qu'on ait f= o; alors l'équation rf — es = + i (19) deviendra — es = ^ i ; donc il faudra prendre le signe supérieur et faire c =■ i , s = \ .

Donc l'équation 13/ — As = qp S du même numéro deviendra, en prenant le signe supérieur, — A = — S, savoir, S = A.

Ensuite l'équation qui la précède, Be — A/==±R, donnera B — A/==R; donc, puisque B est <A, pour que R soil positif, il faudra faire r—o, et l'on aura R = B,

23. Ayant ainsi les valeurs des deux derniers termes de la série N, P, Q,..., on pourra trouver les valeurs de tous les précédents, ainsi que celles des nombres X, p., . . . , par les formules du n° 21,

X = N, i = P — ;aN, N = Q-vP, P = R njQ, Q = S-pR, ....

En effet, ayant trouvé S = A et R = B, on aura Q = A — pB; mais Q doit être < R, par l'équation P = R — srQ; donc, Q devant être <C B, il est visible que Q ne pourra être que le reste de la division de A par B, et a en sera le quotient; ainsi l'on aura Q.

Ensuite l'équation P = R — wQ = B — wQ fait voir de même (à cause que P doit être < Q par l'équation qui précède, N = Q — vP) que P ne peut être que le reste de la division de R par Q, et que zs en sera le quotient.

Pareillement l'équation N = Q — vP, dans laquelle N doit être < P en vertu de l'équation i — P — jj.N qui précède, fait voir que N ne peut être que le reste de la division de Q par P, et que v en sera le quotient.

Enfin l équation i = P — u.N donnera p. = — N— ■> et l'équation X = N donnera la valeur de X.

24. Les nombres X, p, v, sr,... étant ainsi connus, on pourra trouver directement les nombres m, n, p,..., et a, b, c, d, ..., par le moyen des formules du n" 21 .

En effet ces formules donnent

m = ij.n-\-p, n — vp -\-(], p = xnq-\-r, ç = p/-4-5, ..., « zzj;.i + 6', b — vc + d, c =i nsd -+- e, d = pe +f, • ■ • ;

et, comme on a trouvé (22)/= o, e = i, $= i, r — <>, on aura, en remontant successivement, les valeurs de d, c, b, a et q, p, n, m.

.Mais on peut faire toutes ces opérations a la fois, comme on le voit par l'Exemple suivant.

25. Soit proposée la fraction — -^» en sorte que l'on ait À= iio'3 et £5 = 887; on disposera le calcul ainsi :

1 A — oB = 1 io3 oA— iB=z — 887 1 1 A — iB= 216 4

ig3A —

1 io3B =

Les deux premières équations sont toujours iA — oB = A et oA — iB = — B\ Pour en déduire la troisième, on cherche combien B est contenu en A; ici c'est une fois, et l'on met 1 a côté de la seconde équation; ensuite on ajoute cette équation, multipliée par le même nombre 1, à la précédente, et l'on aura la troisième équation iA — iB = 216. On cherche de nouveau combien le nombre 216 est contenu dans le précédent 887, c'est 4 fois; ainsi l'on met 4 à côté de cette équation, et le produit de cette équation par 4» ajouté à la précédente, donnera la suivante 4A — 5B = — 23, et ainsi de suite.

On voit d'abord, par ce procédé, que les nombres de la troisième colonne sont les restes, et ceux de la quatrième les quotients des différentes divisions qui ont lieu dans l'opération connue pour chercher le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres de la troisième colonne; de sorte que, ces nombres étant supposés premiers entre eux, il s'ensuit qu'on doit nécessairement parvenir à un reste égal à l'unité, ce qui donnera sur-le-champ une équation de la forme m A — «B — ± 1;

ainsi, on aura nécessairement de cette manière une solution de cette équation, et par conséquent des valeurs convenables de m et a, d'où

l'on pourrait tirer successivement celles de n, p, </,... et de b, c, d

par la méthode du n° 20.

26. Mais, en rapprochant ces opérations de celles auxquelles notre analyse nous a conduits ci-dessus (23), il est facile de voir que les coclïicients de A dans la première colonne sont tous les nombres m, n, p,..., et les coefficients de B dans la seconde colonne sont les nombres correspondants a, b, c,..., ces nombres étant disposés à rebours; en sorte que les premiers m et a soient les avant-derniers, savoir, 193 et 248.

On doit voir en même temps que les nombres qui forment la troisième colonne sont les nombres 1, N, P, Q, . . . , disposés aussi à rebours et pris alternativement en plus et en moins, de manière qu'on aura N = 4> P=5,Q = 9

Enfin les nombres de la quatrième colonne seront les nombres >., y..

v pris également à rebours; en sorte que l'on aura X == 4» fi ==■ ' .

Ainsi l'on aura tout de suite les fractions les plus approchantes de la fraction donnée, et conçues en termes toujours plus petits, en supposant la troisième colonne nulle et prenant successivement pour - les valeurs qui résultent de cette supposition.

Dans le cas de l'Exemple précédent, où la fraction donnée est — -„•> les fractions convergentes seront donc

—7— » -7— » — - 1 77; 1 -pi -1 - ■240 143 <j7 40 5 1 1

cl les équations 193 A — 240 B = — 1 , 1 15 A — i43B = 4. • • • font voir que l'erreur de la première de ces fractions est en excès, celle de la seconde en défaut, et ainsi de suite.

Si l'on voulait avoir une première fraction en défaut, on prendrait (16

il- ,• 887 — iq3 . 6q4 • 11 ■ • 1

la traction — 5 --y-, savoir ^, et, si 1 on voulait de même avoir une

1 ioû — 3.4° o"^

seconde fraction en excès, on prendrait la fraction '? ~ '1^> savoir

— » et ainsi des autres,

27. Au reste, si l'on met les formules du n° 21 sous la forme

N lX+V P-V+P' Q=raH"Q' R=P^