Enfin la même équation trouvée ci-dessus

cosa s\nb — sina cosb cosC -+- sine cosA, donne, en changeant a en b et A en B,

sina cosb= cosasinôcosC -+- sinccosB.

Substituant cette valeur de sinacosè dans la même équation, on a cosa sinô = cosa sïnb cos2C + sine cosB cosC -t- sinecosA,

savoir

cosasin6sin2C = sinc(cosB cosC -+- cosA);

substituons pour sine sa valeur — ^— — > tirée de l'équation (B), en

changeant a en c et A en G; divisons ensuite par s'mb sinC et multiplions par sinB, on aura

cosa sinBsinC = cosB cosC -+- cosA, savoir

(D) cosA = — cosB cosC -f- sinB sinC cosa.

18. Cette formule est, comme l'on voit, tout à fait analogue à la formule (A) du n° 14, d'où nous sommes partis; les angles A, B, C ont pris la place des côtés a, b, c, et réciproquement; el les cosinus sont devenus négatifs, les sinus demeurant positifs, ce qui indique que les côtés sont devenus les suppléments à deux droits des angles, et les angles les suppléments à deux droits des côtés. Ainsi toutes les formules qui résultent de la formule (A) seront vraies aussi, en y faisant a-* mêmes changements.

Il résulte de là cette propriété connue des triangles sphériques, que tout triangle sphérique peut être changé en un autre dont les côtés el les angles soient respectivement suppléments des angles et des côtés du premier; et l'on sait que ce nouveau triangle, qu'on nomme supplémentaire, est celui qui est formé sur la sphère par les trois pôles des arcs vu. 44

qui forment les côtés du triangle donné, en joignant ces pôles par des arcs de grand cercle; ce qui se démontre facilement par une construction fort simple.

19. Les quatre équations (A), (B), (C), (D) que nous venons de trouver renferment la solution de toutes les questions de la Trigonométrie sphérique; car, comme il n'y a dans un triangle sphérique que six éléments, les trois côtés et les trois angles, et que trois de ces éléments suffisent pour déterminer le triangle, il est clair que les relations les plus simples ne peuvent être qu'entre quatre éléments; or toutes les combinaisons dilférentes qu'on peut faire des six éléments, pris quatre à quatre, se réduisent à ces quatre-ci :

i° Entre trois côtés et un angle : cette relation est donnée par l'équation (A);

2° Entre deux côtés et deux angles, qui peuvent être opposés respectivement aux deux côtés, ou l'un opposé, l'autre adjacent au même côté, ce qui fait deux cas : la relation entre deux côtés et les deux angles opposés est donnée par l'équation (B);

3° Entre deux côtés et deux angles, dont l'un opposé et l'autre adjacent au même côté donné : cette relation est contenue dans l'équation (C);

4° Entre trois angles et un côté : cette relation est donnée par l'équation (D).

20. Si l'on suppose l'angle A droit, les équations précédentes se simplifient et donnent celles-ci

cosrt = cosb cosc,

s\nb sma = - — -, sinb

coi« = coït cosC,

cos« = cotB cotC;

et, si l'on suppose l'angle C droit, les équations (C) et (D) donnent en-

AUX TRIANGLES SPHËKIQUES. 347

core ces deux-ci

cotA = cota sin6,

cosA = sinB cosa.

Ces six équations donnent directement la solution de tous les cas des triangles sphériques rectangles; et, comme elles sont sous une forme très-commode pour l'emploi des logarithmes, on s'en sert communément dans la Trigonométrie en décomposant tous les triangles en triangles rectangles, par l'abaissement d'une perpendiculaire. Mais on peut également résoudre tous les cas par les quatre équations générales en réduisant ces équations en facteurs, au moyen des transformations que nous allons exposer.

21. L'équation (A) entre les trois côtés a, b, c et un angle A opposé au côté a peut servir à déterminer : i° A par a, b, c; 2° a par b, c et A ; 3° b par a, c et A.

i° Pour déterminer A par a, b, c, on aura

cosa — cos 6 cos e

cos A = : — : — : 1

sin 6 sine

d'où l'on tire

. b -t- c — a . b -4- c -+- a ,i * 2sin sin

/ AV COSa — COS 0-4- ci 2 ?.