COS A = 2 COS - = ; — : — H
\ i] sin b sine sin b sine
,. 2sin sin
AX* cos (6 — ej — cosa i i
i — cos A = ■?. sin — 1 =
2 / sin 6 sine sin 6 sine
. a -h b — c . a — 6 -t- e sin sin
. 6 + e-f-a . 6-4-e — a sin — — sin
2° Pour déterminer a par b, c et A, on a
cosa = cos 6 cose -+- sin 6 sine cos \.
Il ne paraît guère possible de réduire immédiatement cette équation
en facteurs pour l'usage des logarithmes; mais on peut y parvenir par le moyen d'un angle subsidiaire.
En effet, si l'on fait
lango,
on aura
dont
or
sine cosA = cosc tangep, cosa = cosc[cosb -+- sinô tangf ;
. . , cos& coscs -+-sino sino cos (b — o
cosb -f- sint» tango = ! I = :
coso coso
donc
cosc cos[b— 9)
cos»
cosep
11 n'est pas difficile de voir que cette transformation revient à la division du triangle en deux triangles rectangles, par une perpendiculaire abaissée de l'angle B sur le côté b, et que 9 est le segment du côté adjacent à l'angle À.
3° Pour déterminer b par a, c et A, il faudrait substituer, dans l'équation principale (A), \Ji — siirô au lieu de cosb, élever ensuite au carré pour faire disparaître le radical, et tirer la valeur de sine par la résolution d'une équation du second degré, ce qui donnerait pour sine une formule compliquée et qui se refuserait au calcul logarithmique. Mais la transformation employée ci-dessus sert aussi a résoudre ce cas; car, ayant déterminé l'angle 9 par l'équation (b), l'équation (c) donnera
, ,, ,,■ . cosa cos 0
[il] cos 0 — 9 = '-•
K ' \ TJ cosc.
22. L'équation (B) entre deux côtés a et b et les angles opposés A et B peut servir : i° a déterminer A par a, b, B, et 20 à déterminer a par b, A, B.
i° Pour déterminer A par a, b, B, on aura
sin<7sinB
sin A = ; — r
smo
2" Pour déterminer a par b, A, B, on aura
s\nh sin A
(/) sin« =
sin H
Ces formules n'ont besoin d'aucune transformation pour l'application des logarithmes.
23. L'équation (C) entre deux côtés a et b, et deux angles A, C, le premier opposé, le second adjacent au côté a, peut servir : i° à déterminer A par a, b, C; i° a déterminer a par b, A, C; 3° à déterminer C par a, b, A; 4° a déterminer b par a, A, C.
i° Pour déterminer A par a, b, C, on aura l'équation
cola sin A .
cotA = : colC cosw;
sine
el, pour la réduire en facteurs, on fera — —, = coto, ou bien
COS Li
g tangacosC = tang©;
donc cota = cosC cot©; et, substituant cette valeur, on aura cotA = cotC(cot9 sin b — cosb)
cotC
. , . • , , cotC sin (6 — <p]
cos 9 sin/; — sin cp cosw) = — — — :
sin o ' sin 9
donc
... cotC sin [b — ©)
(h) cotA = :— i ■"•
sin 9
Cette réduction revient aussi a diviser le triangle en deux rectangles par une perpendiculaire abaissée de l'angle B sur le côté opposé b; el l'angle subsidiaire f est le segment de ce côlé adjacent à l'angle C.
:t50 PROBLÈMES RELATIFS
a° Pour déterminer a par b, A, C, on aura l'équation
coiAsinC . „
COtrt = : — ; h- COlO COSL,
sino
et, pour la réduire en facteurs, on fera
.. cotA
coso
donc, substituant dans l'équation pour cotA sa valeur tangcp cos&, on
aura
cotfl = cot6(sinC tangcp -+- cosC)
colb , . „ . „ , colb cos(C — <p)
'sinCsincp + cosC cos<p) =
coscp v ' " coscp
donc
, , cot6 cos C — 9
(h) cota = K- ±J-
cos 9
Cette réduction revient encore à diviser le triangle en deux rectangles, en abaissant une perpendiculaire de l'angle C sur le côté c, et l'angle subsidiaire <p est le segment de l'angle G adjacent au côté b.
3° Pour déterminer C par a, b, A, il faudrait tirer de l'équation (C) la valeur de sinC ou de cosC par la résolution d'une équation du second degré, et l'on aurait une expression qui contiendrait un radical. Mais la transformation précédente est également utile pour résoudre ces cas; car, ayant trouvé l'angle y par l'équation (i), l'équation (h) donnera
. ,„ . cota coscp
/i cosC — 9 = -, — -•
4° Enfin, pour déterminer b par a, A, C, il faudrait aussi tirer de la même équation (C) la valeur de sine ou cosb par la résolution d'une équation du second degré. Mais la transformation employée pour le premier cas servira aussi pour résoudre celui-ci; car, ayant trouvé l'angle
subsidiaire o par l'équation (g), l'équation (h) donnera
cotAsinœ
[m) sin(6
coïC
24. Enfin l'équation (D) entre les trois angles A, B, C et un côté a servira à déterminer : i° a par A, B, C; 2° A par a, B, C; 3° B par a, A, C. Comme ces trois cas répondent à ceux qui dépendent de l'équation (A), dont l'équation (D) n'est qu'une transformée, on peut y appliquer immédiatement les formules que nous avons données pour ceux-ci dans le n° 21, en y substituant au lieu des côtés a, b, c les suppléments à deux droits des angles A, B, C, et au lieu de ces angles les suppléments à deux droits des côtés opposés a, b, c (18).
Ainsi : i° pour déterminer a par A, B, C, l'équation {a) du n° 21 donnera la transformée
cos - - cos -
— cos - - cos
2° Pour déterminer A para, B, G, on fera les mêmes substitutions dans les formules (b) et (c) du même numéro; et, prenant au lieu de l'angle tp son complément à un droit, on aura ces deux équations
(o) tangC cosrt = coly,
, , cosCsinfB- p
i> cos A — — 5 J-i-
sin 9
3° Les mêmes équations serviront à déterminer B par a, A, C; car, ayant trouvé p par l'équation (o), l'équation (p) donnera
V siniB — o = '-■
K" \ ri cosL;
25. On peut donc, par ces formules, trouver directement un côté OU un angle quelconque par trois parties données, soit côtés ou angles; ce
qui renferme toute la théorie des triangles sphériques. Mais, lorsqu'on a ;i chercher à la fois deux certes par le troisième côté et les deux angles opposés, ou deux angles par le troisième angle et les deux côtés opposés, il est plus commode d'employer les formules trouvées par Neper entre ces cinq parties. Voici la manière la plus simple de parvenir à ces formules :
On a trouvé dans le nG 21
la m
. a -+- (> — c . a — b -h c sin sin
. I> -+- c -+- a . b H- c — a sin sin -
On aura de même pour l'angle B, en changeant A en B et a en b,
. a ■+- b — c . b — a -\- c sin sin
. a -+- b -+- c . a — b -+- c sin sin
donc, multipliant ensemble,
sin
tang - tan'g — = -
sin
si l'on change dans cette équation b en c et B en C, on aura
. sin
lang — lang
2 2 . a -+- b -f- c sin
et changeant dans la même équation a en c et B en C, on aura
- lang —
lang - lang - -
. a + b-hc
sin
donc, ajoutant ensemble, on aura
. sin h sin ■ 2sin-cos
tang -+ tang -j tang- =- - a + b + c " = . a + b + c ' ' sin sin
et, retranchant les mêmes équations l'une de l'autre, on aura
. a — b -f- c . b-\-c — a c . a — b , sin sin — ■ 2Cos-sin ■
tang tang- tang- = = = — ,— ,
&2 °2/ D2 . a-i-b + v . o-+- b -+■ <; ' sin sin
D'un autre côté, on a
. n -f- b -+- c . a -+- b — c . a -+- b c sin 1- sin ■ 2sin cos -
i -+- tang — tang — = -. = -. >
°2 D2 . a-\- b -+- c . a + b-h c sin sin
. a -{- b -h c . a -{- b — c . c a -+- b n sin sin ■ 2Sin-cos •
i — tang — tang - = ; — = ■ ,
D2 °2 . a-h b -h c . a + b -\- c sin sin
A^ B A±B tang-±tangT
Donc, puisque tang = -r ^» on aura ces deux équa-
irpiang— tang —
tions
(') tang-— tang 2=—^rz,
cos
. rt-ft
sm
(*) tang tang- =
sin
On peut déduire des formules semblables de l'équation (n) du n°24, et, sans faire un nouveau calcul, il n'y aura qu'à changer les côtés a, b, c dans les suppléments à deux droits des angles A, B, C, et ces angles VII. 45
dans les suppléments à deux droils des mêmes eôtés. De cette manière on aura sur-le-champ ces deux autres équations
, cos
tang col- =
cos -
. sin
tang cot- —
sin
Ces quatre équations serviront donc à trouver directement, et sans le secours d'aucun angle subsidiaire, les deux angles A et B par les deux côtés opposés a et b, avec l'angle intercepté C, ou ces deux côtés par les angles opposés et par le troisième côté.
26. Avant de terminer ce Mémoire, je crois devoir dire deux mots de la comparaison des triangles sphériques aux. triangles recul ignés. En prenant, ainsi qu'on le fait communément, le rayon de la sphère pour l'unité, il est clair que les arcs qui forment un triangle sphérique expriment naturellement des angles dont on trouve les sinus et cosinus dans les Tables; si le rayon de la sphère n'est pas l'unité, alors, pour avoir la valeur angulaire des côtés du triangle, il faut diviser leur valeur absolue par le rayon. Ainsi, si a, |S( y sont les longueurs absolues des arcs qui forment un triangle sphérique sur la surface d'une sphère dont
le rayon est r, on aura -i -i - pour les angles correspondants à ces
arcs, et ce sont ces quantités qu'il faudra prendre pour les côtés que nous avons désignés par a, b, c, en supposant que A, B, C soient les angles opposés aux arcs a, (3, y dans le triangle proposé.
Or, si le rayon de la sphère devient infiniment grand, sa surface se change en un plan, et le triangle sphérique devient recliligne; d'où il
suit que si, dans les formules des triangles, on substitue partout T> -) à la place de a, b, c, qu'ensuite on suppose r infiniment grand, el
qu'ayant réduit en série les sinus et cosinus de ces angles, on rejette les
termes qui s'évanouissent par la supposition de - = o, on aura le cas
des triangles rectilignes, dans lesquels a, |3, y sont les côtés et A, B, C les angles opposés.
Ainsi, si V= o est une équation entre les sinus et cosinus de a, b, c
et de A, B, C, on substituera, pour sin«, -' ■ 5— ■+-....; pour cosa,
1 — H ^—. — -+-..., et pour s'inb, cash, sine, cosc des valeurs
ir7 2.0.4/''
pareilles, en changeant a en (3, y, et réduisant en série suivant les puissances descendantes de r, ce qui donnera
on aura pour le triangle rectiligne l'équation P=o; car l'équation V = o donne, en multipliant par r'",
et, faisant = o, on a P
On pourrait de cette manière déduire les règles de la Trigonométrie rectiligne des équations fondamentales de la Trigonométrie sphérique; mais cela n'aurait d'utilité que comme exercice de calcul, puisque ce serait démontrer le simple par le composé : nous nous contenterons de remarquer que l'équation (D) du n° 17 donne tout de suite celle-ci
cosA = sinB sinC — cosB cosC,
savoir
cos A = — cos(R — C ,
d'où l'on tire
A = îD-B-C, c'esl-à-dire, A-+-B + C = 2D,
I.) étant l'angle droit; ce qui est la propriété connue des triangles rectilignes.
27. Maintenant, si le rayon r de la sphère, au lieu d'être infiniment grand, est seulement très-grand, le triangle sphériquc ne deviendra pas rectiligne, mais en approchera très-près; et dans ce cas, comme les angles a, b, c qui répondent aux côtés deviennent très-petits, les Tables trigonomélriques ordinaires n'offriraient plus une précision suffisante pour le calcul des côtés et des angles. Il y a donc alors de l'avantage à traiter les triangles sphériqucs comme reetilignes, en ayant égard à la petite correction qui résulte de leur différence.
Le cas dont il s'agit a lieu surtout dans le calcul des triangles qu'on forme sur la surface de la Terre pour mesurer un arc du méridien ; dans ces triangles, les quantités a, |3, y sont les longueurs mêmes des côtés, et r est le rayon de la Terre.
Pour déterminer la correction dont nous venons de parler, nous prendrons l'équation (A) du n° 14, qui sert de fondement à toute la Trigonométrie sphérique, et qui donne
cosa — cosb cosc
