Vj

COSl î

COs(3 = ^— -

cosy

y/'.slni

Dans la parabole la distance a devient infinie, ce qui fait disparaître,

dans les expressions de m et de cosa, le terme -» et b devient double de la distance périhélie.

A l'égard des comètes rétrogrades, on sait qu'on peut les regarder comme directes, c'est-à-dire allant toujours dans le même sens, mais avec une inclinaison plus grande que l'angle droit. Ainsi, pour les comètes directes qui vont dans le même sens du mouvement circulaire primitif, l'angle i devra être pris dans le premier quart de cercle, et pour les comètes rétrogrades qui vont en sens opposé, l'angle i devra être pris dans le second quart de cercle.

Pour les comètes directes, cost sera donc positif, et l'on voit que la plus grande valeur de m, en supposant l'orbite parabolique, sera \ 3; mais, pour les comètes rétrogrades, cosi sera négatif, et la plus grande valeur de m ira à^5, si le demi-paramètre ne surpasse pas la distance primitive r; en général, le maximum de m sera, pour les comètes rétrogrades, l/3 + 2i/-- Ainsi m~\J'5 est la limite qui sépare les co-

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mêles directes d'avec les rétrogrades; au-dessous elles sont directes, et au-dessus rétrogrades. Ces résultats me paraissent mériter l'attention des géomètres par leur simplicité; je ne sache pas qu'on les trouve dans aucun des ouvrages connus.

Si l'on veut avoir une solution générale, on supposera que l'orbite primitive est une ellipse quelconque, ayant A pour demi-axe ou distance moyenne, et B pour demi-paramètre; et, faisant, pour abréger,

on aura

4 2cosiy/^-J-^-aAH

;zz= '

Et si, au lieu des angles a et |3 qui se rapportent au rayon vecteur et à une perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l'orbite primitive, on voulait employer les angles a', /3' que la direction de l'impulsion fait avec la normale et avec la tangente de l'orbite primitive elliptique, on

aurait

COSa

i hs/r-Rc0SI'\rr

,'bB a. h ■+- cosi \/ — —

cos3'= -. \ ,

l'angle y demeurant le même.

Dans le cas du cercle, les quantités A et B deviennent = r, ce qui donne H = o, et l'on a les premières formules. Lorsque l'ellipse est très-peu excentrique, les quantités A et B sont très-peu différentes de r, et la quantité H est une quantité très-petite de l'ordre de l'excentricité; les premières formules sont alors très-approchées; et, comme ce cas est celui de toutes les planètes connues, ces formules sont suffisantes pour notre objet.

En prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l'unité, et sa vitesse moyenne pour l'unité des vitesses, on sait que la vitesse d'une planète quelconque, qui décrirait autour du Soleil un cercle de

rayon /•, est exprimée par -=; ainsi, pour que cette planète ou une por-

tion de cette planète change tout à coup son orbite circulaire en une orbite elliptique quelconque, il faudra qu'elle reçoive une impulsion

qui lui imprime une vitesse exprimée par — • Pour que ce phénomène

ait lieu, il suffit donc de supposer que, par l'action d'un fluide élastique quelconque développé dans l'intérieur de la planète par des causes accidentelles, il se fait une explosion par laquelle la planète éclate en deux ou plusieurs morceaux; chacun de ces morceaux décrira ensuite

une orbite elliptique ou parabolique, conformément à la vitesse — que

l'explosion lui aura imprimée. Je fais ici abstraction de l'attraction

mutuelle des parties de la planète, laquelle, lorsque ces parties ne sont

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pas très-petites et ne se séparent pas avec une grande vitesse, peut altérer un peu les éléments de leurs orbites.

La vitesse moyenne de la Terre, dans son orbite autour du Soleil, est à peu près de 7 lieues par seconde. La vitesse d'un boulet de 24, au sortir du canon, est d'environ 1400 pieds ou 233 toises par seconde, laquelle est aussi à peu près celle d'un point de l'équateur dans le mouvement diurne de la Terre, celle-ci n'étant que de 5 toises plus grande. Prenons pour l'unité cette vitesse d'un boulet qui est à très-peu près d'un dixième de lieue par seconde; la vitesse de la Terre dans son orbite sera exprimée par le nombre 70, et la vitesse produite par l'explosion

d'une planète devra être ^-p--, et, comme nous avons vu que le maxiimim de m est de \J'5 pour les comètes directes, et de \J 5 pour les rétrogrades, les maxima des vitesses seront à peu près — — et — =■• Pour la

Terre r=i; mais pour Saturne ''=9, et pour Uranus r = ig. Ainsi, si l'on supposait que des planètes placées au delà d'Uranus, à une distance du Soleil r = joo, eussent éclaté, il n'aurait fallu qu'une explosion capable de produire des vitesses moindres que 12 ou i5 fois celle d'un boulet pour en faire des comètes elliptiques ou paraboliques, suivant toutes les dimensions et les directions possibles. Des vitesses plus grandes que ces limites en auraient fait des comètes hyperboliques qui auraient disparu après leur première apparition.

Si l'on veut que les morceaux de la planète brisée continuent à se mouvoir dans des orbites à peu près égales à celle de la planète, mais placées différemment, il n'y aura qu'à faire dans nos formules a = b = r, et l'on aura

m=zism-i coscc = o, cosp = — sin-î cosy = cos-5

«étant l'inclinaison de la nouvelle orbite sur la première. Cela est à peu près le cas des quatre petites planètes; et, comme la plus grande valeur

de i est de 38° pour Pallas, ce qui donne 2sin - =0, 48384, à peu près \,

et que pour ces planètes on a r = 2,7, les vitesses 2- dues à l'explo-

sion seront moindres que 20.

Par rapport à la Terre, si l'on suppose qu'un morceau égal à sa millième partie, et qui sera par conséquent égal à un globe ayant pour diamètre la dixième partie de celui de la Terre, en soit détaché et lancé avec une vitesse capable d'en faire une comète parabolique, cette vitesse

devra être exprimée par 70 W3 — 1 \J \ • cosi, et le maximum sera,

comme nous l'avons trouvé plus haut, de 121 ou 1 56, suivant que la comète devra être directe ou rétrograde; mais, dans ce cas, il faudrait ajouter à cette vitesse celle qui sera nécessaire pour vaincre l'action de la gravité ou l'attraction de la Terre, laquelle doit diminuer l'effet de l'explosion et changer un peu les éléments de l'orbite. Il serait difficile de déterminer ces altérations; mais il est évident que cette vitesse additionnelle ne peut pas être plus grande que celle qu'il faudrait donner à ud projectile pour qu'il pût aller à l'infini, abstraction faite de la résistance de l'air. Celle-ci est la même que la vitesse que le projectile devrait recevoir pour décrire une parabole autour de la Terre, et elle est à la vitesse avec laquelle il pourrait décrire un cercle à la même distance de la Terre comme \J 1 à 1, ainsi que Newton l'a démontré. Or on sait, depuis Huyghens, que pour que la force centrifuge soit à la surface de la Terre égale à la gravité, il faut que la vitesse de circulation soit 17 fois plus grande que la vitesse de rotation d'un point de l'équatcur; ainsi, en prenant pour l'unité cette dernière vitesse, qui diflère peu de celle d'un boulet, la vitesse imprimée au projectile devra être exprimée par 17 \/2, ou par 24 à peu près. Il faudra donc augmenter de 24 les nombres 121 et r 56, ce qui porterait les maxima des vitesses d'impulsion à i45 et 180.

Mais le reste de la Terre ne recevrait par la même explosion qu'une vitesse en sens contraire mille fois moindre, laquelle ne produirait que des variations presque insensibles sur son orbite; mais le choc des matières brisées et le soulèvement subit des eaux de la mer pourraient

causer tous les bouleversements qu'on observe à la surface de la Terre; il en pourrait même résulter quelque changement dans son axe de rotation; mais cela doit faire l'objet d'un autre Problème.

Enfin, si l'explosion se faisait de manière que la planète fût brisée en deux morceaux presque égaux et qui reçussent des vitesses renfermées dans les limites données, ces morceaux deviendraient des comètes, dont les éléments dépendraient des vitesses imprimées et de leurs directions. Le cas le plus simple est celui où l'explosion se ferait dans une direction perpendiculaire au mouvement de la planète, supposé circulaire, et produirait, dans deux sens opposés, des vitesses égales à celle de la planète; les deux morceaux décriraient nécessairement des orbites paraboliques. Ce résultat aurait lieu aussi en regardant l'orbite de la planète comme elliptique, {nais seulement dans ses moyennes distances au Soleil, comme on le voit par les dernières formules, en y faisant cosj3'= o et m = i . Si l'explosion se faisait dans les autres points de l'orbite, les deux paraboles seraient changées en ellipses ou hyperboles dont le grand axe ia serait déterminé par l'équation

i i i ia A /'

A étant la distance moyenne de la planète au Soleil, et r la distance au Soleil du point de l'orbite où l'explosion arriverait. Ainsi, dans les parties supérieures de l'orbite où r >> A, les nouvelles orbites seraient des ellipses très-excentriques, et, dans les parties inférieures où r<A, (dles deviendraient des hyperboles peu différentes de la parabole.

Dans le cas où l'orbite de la planète est elliptique, la valeur de m qui donne la limite entre les comètes directes et les rétrogrades sera, en faisant a infini et cosi = o,