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la Terre; il faut aussi considérer celle du lieu dont il s'agit, projeté sur le même plan, et c'est en quoi consiste proprement la méthode des projections.

Il parait que Cassini est le premier qui ait proposé et pratiqué cette méthode dans un écrit italien, imprimé à Ferrare en iGG4; depuis, elle a été adoptée et mise en usage par la plupart des Astronomes; on la trouve surtout employée et développée avec beaucoup de détails dans les Tables astronomiques, publiées par La Hire au commencement de ce siècle, et dans celles que Cassini le fils a données en 1740; et il n'y a presque aucun Traité d'Astronomie où elle ne soit expliquée.

2. A considérer cette méthode d'une manière générale, elle ne consiste que dans la représentation en perspective de la marche du centre de l'ombre de la Lune et de celle des différents lieux de la Terre, en conséquence de la rolation diurne.

Comme le lieu de l'œil est arbitraire, ainsi que la position du plan du tableau ou de projection, il convient de les prendre en sorte qu'il en résulte la plus grande simplicité, surtout dans la projection de la route de l'ombre. C'est ce que l'on obtient en plaçant : i° l'œil dans le centre du Soleil, moyennant quoi la projection du centre de l'ombre de la Lune se trouve la même que celle du centre de la Lune, à cause que le centre de l'ombre est nécessairement dans le prolongement de la ligne droite qui passe par les centres du Soleil et de la Lune; 20 en prenant pour le plan de projection un plan perpendiculaire à l'écliptique et a la ligne menée du centre de la Terre au centre du Soleil qu'on nomme communément la ligne des centres, lequel touche en même temps l'orbite de la Lune; car, comme la portion de l'orbite de la Lune, décrite pendant la durée d'une éclipse de Soleil, peut être prise sans erreur sensible pour une ligne droite, le centre de la Lune se trouvera dans le plan de projection, et y décrira une ligne droite dont la position sera facile à déterminer par les éléments de la Lune. De cette manière, toute la difficulté sera réduite à projeter sur le même plan la trace d'un lieu quelconque de la Terre pendant la durée de l'éclipsé.

3. Si le Soleil était à une distance infinie de la Terre, toutes les droites menées des différents points de la surface de la Terre au centre du Soleil seraient parallèles entre elles et à la ligne des centres; elles seraient par conséquent toutes perpendiculaires au plan de projection. On aurait donc le cas de la projection perpendiculaire ou orthographique, qui est de toutes la plus simple et la plus facile à exécuter. Dans ce cas, comme la projection est toujours la même sur tous les plans parallèles, quelle que soit leur distance, il n'y aura qu'à considérer la projection de la surface de la Terre sur le plan du disque terrestre éclairé par le Soleil, c'est-à-dire sur le plan du cercle de latitude qui coupe l'écliptique à 90 degrés de part et d'autre du lieu du Soleil. On ' décrira donc d'abord un cercle qui représente la projection de l'hémisphère éclairé; on mènera dans ce cercle de projection deux diamètres perpendiculaires entre eux, dont l'un représentera l'écliptique, et l'autre le cercle de latitude qui passe par le Soleil. On mènera ensuite un autre diamètre qui fasse avec ce dernier un angle égal à l'angle de position du Soleil dont la tangente est égale à la tangente de l'obliquité de l'écliptique, multipliée par le cosinus de la longitude du Soleil. Ce nouveau diamètre représentera le cercle de déclinaison du Soleil, et sera ce qu'on nomme le méridien universel, parce que, dans tous les lieux de la Terre qui s'y trouvent situés, on compte midi en même temps; le diamètre sera aussi la projection de l'axe de la Terre, en sorte que les pôles et les centres des différents parallèles terrestres se trouveront nécessairement sur ce même diamètre; pour déterminer la position des pèles, il n'y aura qu'à prendre, depuis le centre de la projection, une distance qui soit au rayon de la projection comme le cosinus de l'angle que fait l'axe de la Terre avec le plan de projection, angle qui est évidemment égal à la déclinaison du Soleil, est au sinus total; et, pour déterminer le centre d'un parallèle dont la latitude est donnée, on prendra une distance qui soit à celle du pôle comme le sinus de la latitude donnée est au sinus total. Connaissant ainsi la projection du centre d'un parallèle donné, on pourra tracer celle de tout le parallèle, lequel sera projeté par une ellipse dont le grand axe sera perpendiculaire à la

projection de l'axe de la Terre, et sera égal au diamètre même du parallèle (par conséquent il sera au rayon de la projection, comme le cosinus de la latitude donnée est au sinus total), et dont le petit axe sera au grand, comme le cosinus de l'angle que fait le plan du parallèle avec le plan de projection est au sinus total, c'est-à-dire comme le sinus de la déclinaison du Soleil est au sinus total, à cause que l'angle dont il s'agit est évidemment le complément de celui de l'axe de la Terre avec le plan de projection.

Cette ellipse ainsi tracée devra ensuite être divisée en heures et en minutes, si l'on veut, ce que l'on fera en divisant en autant de parties égales la circonférence d'un cercle décrit sur le grand axe de l'ellipse, et abaissant ensuite de chaque point de division des perpendiculaires sur l'axe; les points d'intersection de ces perpendiculaires avec la circonférence de l'ellipse donneront les divisions des heures et minutes; midi et minuit tomberont aux extrémités du petit axe, et 6 heures se trouveront aux extrémités du grand axe.

De cette manière donc on aura la projection d'un lieu quelconque de la Terre dont la latitude est donnée, à une heure quelconque comptée au méridien de ce même lieu, et il n'y aura plus, pour achever la projection de l'éclipsé, qu'à déterminer le lieu où le centre de la Lune sera dans un instant quelconque dans le même plan de projection.

4. Pour cela, on considérera qu'en prenant la distance de la Lune à la Terre pour l'unité, le rayon de la Terre devient égal à la parallaxe horizontale de la Lune, qui est l'angle sous lequel ce rayon paraît, vu du centre de la Lune; ce sera donc la valeur du rayon du cercle de projection. Ensuite il est clair que, dans cette même hypothèse, les distances du lieu de la Lune dans le plan de projection aux diamètres qui représentent l'écliptique et le cercle de latitude seront égales à très-peu près à la latitude de la Lune et à la différence de sa longitude à celle du Soleil qui, vu du centre de la Terre, répond au centre de la projection. (Il faudrait prendre, à la vérité, à la place de ces angles leurs sinus; mais, la différence étant très-petite, il est plus simple de

prendre les angles mêmes.) Ainsi, connaissant par les Tables deux longitudes et deux latitudes correspondantes de la Lune, pour deux instants donnés, on placera ces deux lieux sur le plan de projection; ensuite on mènera par ces deux points une ligne droite, qui représentera l'orbite relative de la Lune, et l'on divisera cette ligne en parties égales qui représentent les heures et les minutes, en sorte que les instants donnés tombent précisément aux points marqués. On aura, par ce moyen, le lieu du centre de la Lune dans un instant quelconque, ce qui est fondé sur ce que le mouvement relatif de la Lune au Soleil peut êtrepris pour rectiligne et uniforme dans un court espace de temps, tel que celui de la durée d'une éclipse de Soleil.

5. Ce que nous venons de démontrer a lieu dans le cas où la distance du Soleil à la Terre serait réellement infinie. Supposons maintenant que le Soleil soit, ainsi qu'il l'est réellement, à une distance finie, quoique très-grande, de la Terre, et voyons quels sont les changements qui doivent en résulter dans la projection précédente. Et d'abord il est clair que la projection du centre de la Lune doit demeurer la même qu'auparavant, parce que ce centre est supposé placé dans le plan même de projection. Pour ce qui regarde ensuite la projection des lieux de la surface de la Terre, il est facile de concevoir que chaque point projeté devra être placé plus près du centre de la projection, en restant néanmoins sur le môme rayon, et que sa nouvelle distance au centre de la projection devra être à la première dislance, comme la distance du plan de projection au Soleil, c'est-à-dire la distance de la Lune au Soleil, est à la distance du centre de la Terre au Soleil moins la distance du lieu de la Terre dont on cherche la projection au plan passant par le centre «le la Terre et parallèle au plan de projection. Or cette dernière distance, étant toujours nécessairement moindre que le rayon de la Terre, est comme infiniment petite par rapport à celle du Soleil, et peut par conséquent être négligée sans erreur sensible vis-à-vis de celle-ci; donc il ne s'agira que de diminuer la distance entre chaque point projeté, au centre de la projection, dans la raison de la distance du Soleil à- la

Terre, à celle du Soleil à la Lune, c'est-à-dire dans la raison de la parallaxe de la Lune à la différence des parallaxes de la Lune et du Soleil. Or nous avons supposé (n° 4) le rayon de la projection égal à la parallaxe de la Lune; donc ce rayon deviendra égal à la parallaxe de la Lune inoins celle du Soleil, et toutes les autres parties de la projection de la surface de la Terre devront être diminuées dans la même proportion, en conservant entre elles la même position mutuelle. Ainsi il n'y aura qu'à faire d'abord le rayon de la projection égal à la différence des parallaxes horizontales de la Lune et du Soleil, et procéder ensuite de la manière que nous avons expliquée plus haut.

6. La projection que nous venons de détailler représentera donc le mouvement de la Lune et les mouvements particuliers des différents lieux de la Terre, vus du centre du Soleil sur un plan toujours perpendiculaire à la ligne qui joint les centres du Soleil et de la Terre, et touchant l'orbite même de la Lune, en sorte que cette planète soit mue réellement dans ce même plan. Or, si l'on imagine un spectateur placé dans un lieu quelconque de la surface de la Terre, il est visible que ce spectateur rapportera le centre du Soleil sur le plan de projection au même point où un spectateur placé dans le Soleil aurait rapporté le lieu dont il s'agit de la surface de la Terre; et quant au centre de la Lune, il paraîtra aux mêmes points du plan de projection qu'auparavant, puisqu'il est supposé placé réellement dans ce plan. Donc la même projection représentera aussi les positions respectives et la marche combinée des centres de la Lune et du Soleil, pour un spectateur placé sur un endroit quelconque de la surface de la Terre, pourvu que l'on rapporte maintenant au centre du Soleil la projection de ce lieu de la Terre, c'est-à-dire qu'on suppose à chaque instant le centre du Soleil dans la projection de ce même lieu. Or, par l'hypothèse du n°4, il est clair que toutes les parties de la projection sont proportionnelles aux angles sous lesquels ces parties paraîtraient, étant vues du centre de la Terre; donc aussi les distances des centres du Soleil et de la Lune, vues par le spectateur dont on vient de parler, et mesurées sur

la projection, seront proportionnelles aux angles sous lesquels elles paraîtraient, étant vues du centre de la Terre. Si ces distances étaient proportionnelles aux angles sous lesquels elles sont vues par le spectateur placé sur la surface de la Terre, alors leur valeur, mesurée sur l'échelle de la projection, donnerait les vrais angles des distances apparentes des centres du Soleil et de la Lune pour ce spectateur, et, étant comparées aux diamètres apparents de ces deux astres, serviraient à déterminer immédiatement les différentes phases de l'éclipsé pour le lieu de la Terre où le spectateur est supposé placé. Les Astronomes font tacitement cette supposition dans l'usage de la méthode des projections, en prenant les valeurs des distances mesurées sur la projection pour les vraies distances apparentes; l'erreur qu'ils commettent par là est, à la vérité, assez petite, à cause de la petitesse du rapport du rayon de la Terre à celui de l'orbite de la Lune; mais elle empêche toujours que la méthode dont il s'agit ait toute la précision qu'on y peut désirer.

7. Le grand avantage de cette méthode consiste principalement en ce qu'on peut exécuter toutes les opérations et déterminer les circonstances de l'éclipsé avec la règle et le compas, ainsi qu'on le voit dans la plupart des Traités d'Astronomie. On peut aussi, pour plus de précision, calculer les différentes lignes de la projection par la Trigonométrie sphérique; on en trouve la méthode dans les Tables de La Hire et de Cassini et dans les Leçons de La Caille; mais alors le calcul devient presque aussi long que par la méthode ordinaire des parallaxes, et il est moins exact que par cette dernière méthode. On doit dire la même chose de la méthode proposée et employée par l'abbé de La Caille, dans les Mémoires de Paris pour 1 744- Cette méthode consiste à calculer exactement, par les règles ordinaires de la perspective, la position du centre de la Lune et celle d'un lieu donné de la surface de la Terre sur le plan du disque éclairé de la Terre pour plusieurs instants, et à en déduire ensuite, par l'interpolation, les temps où la projection du lieu donné a été à une distance donnée de la projection du centre de la Lune; M. de La Caille croit rectifier par là la méthode des projections, et il faut

avouer que la projection est plus exacte par ses calculs que par les règles ordinaires; mais l'erreur qu'on commet en prenant les distances mesurées sur la projection pour les vraies dislances apparentes a lieu également dans la méthode de cet astronome, et il est étonnant qu'il ne s'en soit pas aperçu. Nous ferons voir ailleurs comment on peut rectifier à cet égard et simplifier même la méthode dont il s'agit.

8. Comme la principale difficulté à laquelle l'usage de la méthode des projections est sujet consiste à décrire les ellipses qui doivent représenter les différents parallèles terrestres; que d'ailleurs ces ellipses doivent être toutes semblables pour une même projection du globe à l'égard du Soleil, c'est-à-dire, pour une même déclinaison du Soleil, mais seulement de différentes grandeurs, et placées à différentes distances du centre de la projection, suivant la latitude du parallèle correspondant, M. deLalande a pensé que ce serait rendre un service essentiel à ceux qui voudraient pratiquer la méthode des projections, et contribuer en même temps à la perfection de cette méthode, en donnant des ellipses déjà tracées et divisées pour différents degrés de déclinaison du Soleil, avec une Table qui indiquerait la valeur du rayon de la projection, ainsi que la distance du centre de l'ellipse au centre de la projection, en parties du grand axe de l'ellipse, pour chaque latitude à laquelle l'ellipse doit répondre; car, comme le rayon de la projection est arbitraire, rien n'empêche de le prendre tel qu'il puisse cadrer à une ellipse déjà tracée, et qu'on suppose devoir représenter un parallèle donné. [Voir les Mémoires de Paris pour 1763.) Cette idée heureuse de M. de Lalande a été adoptée et poussée plus loin par le P. Hell. Nonseulement il a étendu la Table de M. de Lalande à tous les degrés de latitude et à tous les degrés de déclinaison jusqu'au vingt-huitième, (jui est la limite au delà de laquelle aucun astre ne peut être éclipsé par la Lune; mais, ce qui est encore plus important, il a pris la peine de calculer les abscisses et les ordonnées de chaque ellipse pour tous les points qui répondent aux divisions de dix en dix minutes; de sorte qu'on peut, parle moyen de ses Tables, déterminer, avec toute la faci-

lité et l'exactitude possibles, la trace d'un lieu quelconque de la Terre sur le cercle de projection, sans employer les opérations graphiques, toujours sujettes à erreur. Les Tables dont nous venons de parler sont imprimées à la suite des Éphémêrides de l'année 1769, et mériteraient, ce me semble, une place dans les recueils de Tables astronomiques.

9. Feu M. Lambert a proposé un autre moyen de lever les difficultés attachées à la description des ellipses de projection. Comme ces ellipses résultent de la projection orthographique des parallèles terrestres, et que dans la projection stéréographique de la sphère, dans laquelle le plan de projection est un des grands cercles, et l'œil est supposé placé au pôle même de ce grand cercle, tous les cercles de la sphère se trouvent aussi projetés par des cercles, M. Lambert commence par projeter les parallèles terrestres stéréographiquement, en supposant l'œil sur la surface du globe et au nadir du Soleil; ensuite, après avoir divisé les cercles projetés en heures et minutes, ce qui se fait par une construction fort simple, il change la projection stéréographique en orthographique par le moyen de deux échelles, dont l'une est divisée suivant les sinus des angles, et l'autre suivant les tangentes de la moitié de ces angles. En effet, il est visible que, dans la projection orthographique, la distance de la projection d'un point quelconque de la surface de la sphère au centre de la projection est égale au sinus de l'arc compris entre ce point de la sphère et celui qui répond au centre de la projection, et que, dans la projection stéréographique, cette distance est égale a la tangente de la moitié du même arc. Ainsi, en appliquant la distance d'un point quelconque de la projection stéréographique au centre de la projection à l'échelle des tangentes, et prenant ensuite sur l'échelle des sinus la valeur de la distance qui répond au même arc, il n'y aura plus qu'à transporter cette dernière distance sur la projection, en parlant du centre, et en la plaçant sur le même rayon sur lequel on avait pris la première distance. [Voir la deuxième Partie des Bcitnige, etc., douzième Mémoire.) M. Lambert a encore tiré un autre parti de la projection stéréographique. 11 trace d'abord, sur le plan du disque VIL 5i

illuminé, la projection orthographique de la route du centre de la pénombre de la Lune sur la surface du globe, ce qui est facile. 11 change ensuite, par des constructions assez simples, cette projection orthographique en stéréographique, mais faite sur le plan de l'équatcur. Alors il applique sur celte dernière projection celle de l'hémisphère terrestre projeté de même et dessiné sur un papier transparent, en sorte que les deux projections soient visibles à la fois, et, faisant tourner cet hémisphère pour représenter la rotation de la Terre, il a un tableau continuel des lieux de la Terre qui entrent successivement dans l'ombre ou qui en sortent. Cette idée très-ingénieuse peut être appliquée en général à représenter l'état du ciel pour tous les pays de la Terre dans un instant quelconque, et peut être d'une grande utilité dans plusieurs occasions.

10. Voilà un exposé succinct des principes et des artifices principaux de la méthode des projections dont l'usage est si étendu dans toute l'Astronomie. Comme elle est détaillée et employée dans la plupart des Traités d'Astronomie, j'aurais pu me dispenser de l'expliquer ici; mais il m'a paru que la manière dont on la présente ordinairement n'en donne pas une idée assez nette; car, d'un côté, on emploie la projection orthographique pour déterminer la trace elliptique d'un lieu quelconque de la surface de la Terre sur le plan de projection, ce qui semble supposer qu'on regarde le Soleil comme infiniment éloigné de la Terre; de l'autre, on prescrit de faire le rayon de la projection égal à la différence des parallaxes horizontales de la Lune et du Soleil, par la raison que le disque de la Terre projeté dans l'orbe de la Lune, et vu du centre du Soleil, c'est-à-dire vu à une distance très-grande, mais finie, doit paraître de cette grandeur, ce qui est évident de soi-même, mais ce qui paraît en même temps contraire à la première supposition de la projection orthographique. Parmi tant d'auteurs qui se sont copiés successivement, je n'en ai trouvé aucun qui ait remarqué cette contradiction apparente dans la méthode ordinaire des projections, ni qui ait fait voir directement comment la seconde supposition sert à corriger à très-

peu près ce qu'il y a de défectueux dans la première. Je pense que la démonstration que j'en ai donnée ne doit laisser aucun doute sur ce point.

D'ailleurs il me semble que l'idée que l'on donne communément de la projection dans les éclipses est un peu vague et ambiguë. D'abord on suppose un spectateur au centre du Soleil, et l'on décrit sur un plan passant par le centre de la Lune la trace réelle de ce centre et la trace apparente d'un lieu quelconque de la Terre. Ensuite on regarde celte dernière trace comme celle du lieu apparent du Soleil pour un spectateur placé sur la surface de la Terre, et l'on prend les distances mesurées sur la projection entre le lieu apparent du Soleil et le lieu réel de la Lune pour les distances ou angles apparents de ces astres pour le même spectateur, ce qui n'est pas exact, comme nous l'avons déjà observé plus haut.

11. Pour déterminer la juste valeur de ces distances apparentes, on considérera que, le plan de projection étant supposé perpendiculaire à la droite qui joint les centres du Soleil et de la Terre, ce plan sera, à un infiniment petit près, perpendiculaire à toutes les lignes menées des différents points de la surface de la Terre au centre du Soleil. Donc l'angle formé à un point de la surface de la Terre, par une ligne menée de ce point au centre du Soleil, et par une autre ligne menée de ce même point au centre de la Lune, aura pour tangente la distance des points d'intersection de ces deux lignes et du plan de projection, c'està-dire la distance des lieux du Soleil et de la Lune, mesurée sur la projection, divisée par la distance du plan de projection même au point de la surface de la Terre dont il s'agit. Mais, comme dans les petits angles l'are se confond avec sa tangente, que d'ailleurs les différentes lignes de la projection sont déjà exprimées en ares dont le rayon est celui de l'orbite de la Lune, il s'ensuit que la vraie distance apparente des astres sera à la distance mesurée sur la projection, comme le rayon de l'orbite de la Lune ou la distance du centre de la Terre au [dan de projection est à la distance du lieu de la surface de la Terre où est le

spectateur, à ce plan. 11 faut donc augmenter, dans la raison de ces dernières distances, celles qu'on aura mesurées sur la projection, pour avoir les distances apparentes cherchées, et cette augmentation est la même qui a lieu dans le diamètre apparent de la Lune, à raison de sa hauteur, et dont les astronomes ont déjà construit des Tables sous le titre (Y Augmentation du diamètre; en sorte que, après avoir mesuré les distances du Soleil et de la Lune sur la projection, il faudra encore y appliquer une correction semblable à celle du diamètre apparent de la Lune, et dont la valeur peut aller à -^ du total.

12. 11 paraît que cette correction n'avait pas échappé à MM. Cassini et La Hire; car, dans les préceptes de leurs Tables astronomiques, ils prescrivirent de diminuer la somme des demi-diamètres du Soleil et de la Lune de la quantité dont le demi-diamètre de la Lune paraît augmenté par son élévation sur l'horizon, pour pouvoir déterminer exactement sur la projection le commencement et la fin de l'éclipsé. Or il'est visible que c'est la même chose de diminuer la distance qu'on doit observer entre ces astres, avant de l'appliquer à la projection, que d'augmenter dans la même proportion la distance mesurée sur la projection, et de la comparer ensuite à la première distance non altérée. Cependant la plupart des astronomes qui sont venus depuis n'ont eu aucun égard à celte correction, et l'abbé de La Caille, dans le Mémoire déjà cité de 1744» dans lequel il a pris la peine de calculer la projection avec la plus grande rigueur, dit expressément (page 21 5) qu'il n'est pas nécessaire de diminuer la somme des demi-diamètres du Soleil et de la Lune de la quantité dont le demi-diamètre de la Lune paraît augmenté par son élévation sur l'horizon, ainsi que l ont pratiqué MM. Cassini et La Hire, puisqu'il ne s'agit pas ici de ce qui se passe sur une superficie sphèrique, mais sur un plan. Ces dernières paroles font voir, ce me semble, que cet astronome n'avait pas une idée bien nette de la méthode des projections en tant qu'elle s'applique à la théorie des éclipses.

M. de Lalande en parle seulement dans la deuxième édition de son Astronomie, et il prétend qu'il faut appliquer au diamètre du Soleil

l'augmentation de celui de la Lune à diverses hauteurs, par la raison, dit-il, que si le demi-diamètre de la Lune paraît plus grand, l'arc total de la projection HL parait plus grand aussi dans la même proportion; et, si le diamètre du Soleil était augmenté de même, il ne serait plus nécessaire d'avoir égard à l'augmentation de HL; tout resterait proportionnel, la projection, les diamètres, le mouvement horaire (n° 1867). J'avoue que je n'entends pas bien ce raisonnement. 11 est vrai que, si le diamètre apparent du Soleil augmentait comme celui de la Lune, la projection n'aurait besoin d'aucune correction; mais, de ce que le diamètre demeure invariable, il ne s'ensuit pas qu'il faille l'augmenter lorsqu'on veut l'appliquer à la projection; on doit au contraire plutôt le diminuer dans la même proportion, car nous avons vu plus haut que la somme des demi-diamètres observés de la Lune et du Soleil doit être diminuée dans la même proportion que le diamètre de la Lune paraît augmenté; donc le diamètre de la Lune demeurera le même que s'il était vu du centre de la Terre, et le diamètre du Soleil sera seul diminué dans la proportion dont il s'agit.

M. de Lalande remarque ensuite avec raison (n° 1874) que la méthode des projections suppose que la parallaxe de la Lune est proportionnelle au cosinus de la vraie hauteur du Soleil sur l'horizon, au lieu qu'elle est véritablement proportionnelle au cosinus de la hauteur apparente de la Lune, et il montre, par la considération des parallaxes, que l'on peut remédier a ce défaut dans h; cas où les deux centres serinent dans le même vertical, en augmentant la distance apparente des centres, donnée par la projection, a raison de la hauteur de la Lune sur l'horizon. Or nous avons fait voir, en général, que cette correction a lieu également pour toutes les distances des centres, mais à raison de la hauteur du Soleil sur l'horizon.

Feu M. Lambert est celui qui parait avoir le mieux reconnu cette aberration de la méthode ordinaire des projections, et fait sentir la nécessité d'y remédier en appliquant à toutes les distances observées des centres du Soleil et de la Lune, avant de les corn [tarer aux dislances mesurées sur la projection, une correction semblable à celle que

MM. Cassioi et La Hire avaient proposée seulement pour le demi-diamètre de la pénombre.

M. Lambert en a donné un exemple en calculant quelques observations des distances d'Aldébaran à différentes taches de la Lune dans les Ephémérides de 1777, et M. Schulze l'a employée depuis avec succès pour éclaircir quelques difficultés relatives à une éclipse de Soleil observée à la Chine par le P. Hellerstein. {Voir les Ephémérides de 177G et 1778.)

13. Quoique la réduction que nous avons proposé ci-dessus de faire aux distances des centres mesurés sur la projection (11) suffise pour donner à la méthode des projections toute la rigueur qu'on peut désirer, et une rigueur égale à celle qui résulte de la méthode des parallaxes, à une seule circonstance près dont nous parlerons plus bas (n° 18), il faut cependant convenir que, si l'on était obligé d'employer le calcul pour cette réduction, on perdrait un des avantages les plus précieux de la méthode dont il s'agit, celui de pouvoir déterminer toutes les circonstances d'une éclipse par de simples opérations graphiques et par le moyen de la règle et du compas. Cette considération m'a engagé à examiner s'il n'y aurait pas moyen de déduire la correction proposée de la projection même, ou plutôt de la faire entrer dans la construction de la projection, et je vais présenter aux astronomes les résultats de mes recherches sur ce sujet.

14. Je considérerai d'abord la projection telle qu'on l'emploie communément, et, pour n'y rien laisser à désirer du côté de l'exactitude, j'y aurai aussi égard à l'aplatissement de la Terre, ce que personne, ce me semble, n'avait encore fait.

Soit donc ABD le demi-cercle de projection, dans lequel le rayon DC, perpendiculaire au diamètre AB, représente le méridien universel. On prendra d'abord l'arc DP égal à la déclinaison du Soleil au temps de la conjonction; ensuite, étant donnée la latitude du lieu dont on veut décrire le parallèle, on ajoutera à cette latitude la valeur correspondante

POUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES DE SOLEIL, ETC. i()7

de l'angle de la verticale avec le rayon du sphéroïde, angle dont il y a une Table à la page 164 de la troisième Partie du Recueil des Tables astronomiques de l' Académie de Berlin, pour avoir l'angle du rayon du sphéroïde de la Terre passant par le lieu donné, avec le plan de l'équateur. On prendra sur la circonférence de la projection, de part et d'autre du point P, des arcs PE, PF, chacun égaux à ce dernier angle, et l'on tirera la corde EF et les perpendiculaires EG, FH au rayon CD. Ces perpendiculaires intercepteront la partie GH qui sera le petit axe

de l'ellipse, et le grand axe sera égal à la corde EF; ainsi, ayant divisé la ligne GH en deux parties égales au point I, on y mènera par I une perpendiculaire KIM, qu'on fera égale à la corde EF, en sorte que le point 1 se trouve au milieu de la droite KIM. On aura ainsi les deux axes GH et KM de l'ellipse qui sera la projection orthographique du parallèle du lieu proposé. On décrira cette ellipse par les méthodes ordinaires, et on la divisera en heures et minutes suivant les règles connues, en plaçant midi au sommet du petit axe, et comptant les heures de la droite à la gauche. Lorsque la déclinaison du Soleil est septentrionale, c'est la partie inférieure de l'ellipse qui doit servir; au

contraire, ce sera la partie supérieure si la déclinaison du Soleil est méridionale. Nous avons supposé ce dernier cas dans la figure, et en conséquence nous n'avons tracé que la demi-ellipse supérieure Kr/HM. On tirera maintenant le rayon CL qui doit représenter le cercle de latitude, et qui doit faire avec DC l'angle LCD égal à l'angle de position du Soleil. On prendra donc sur la circonférence de la projection l'arc DL égal à l'angle dont il s'agit, et l'on placera le point L à la gauche ou à l'orient de D lorsque le Soleil sera dans les signes descendants, et à la droite ou à l'occident lorsqu'il sera dans les signes ascendants. Ensuite, supposant le rayon de la projection CB égal à la parallaxe horizontale de la Lune pour la latitude proposée moins celle du Soleil (dans l'endroit cité des Tables astronomiques il y a aussi une Table de réduction pour les parallaxes horizontales de la Lune à différentes latitudes), on prendra sur ce rayon une partie égale a la latitude de la Lune, qu'on portera sur le rayon CL en Cl; on tirera par / une perpendiculaire à Cl, sur laquelle on prendra à la gauche de Cl une partie égale au mouvement horaire de la Lune sur l'écliptique moins celui du Soleil, et au bout de cette partie on élèvera une perpendiculaire parallèle à Cl, sur laquelle on prendra une partie égale au mouvement horaire de la Lune en latitude, en plaçant cette partie au-dessus ou au-dessous de la ligne du mouvement horaire en longitude, suivant que la Lune s'approchera du nord ou du midi; on mènera enfin par l'extrémité de cette ligne du mouvement en latitude, que je suppose aboutir en a, et par le point / la droite aie qui représentera l'orbite de la Lune, et la partie al sera l'espace parcouru par la Lune pendant une heure, en sorte que, marquant au point / l'heure et la minute de la conjonction au méridien donné, on pourra diviser toute la partie de l'orbite qui est comprise dans la projection en heures et minutes de temps.

15. Jusqu'ici c'est la projection ordinaire dans laquelle, pour avoir égard à l'aplatissement de la Terre, nous avons supposé que la Terre est un globe dont le rayon est égal à la distance du lieu proposé, pour lequel on fait la projection, au centre de la Terre, mesurée sur le sphéroïde

aplati; car il est évident que le parallèle de ce lieu est alors le même sur ce globe que sur le sphéroïde, et qu'ainsi la projection de ce parallèle doit se faire de la même manière que si la Terre était effectivement sphérique.

Si l'on veut maintenant avoir la distance apparente des centres du Soleil et de la Lune dans un temps quelconque, comme à 2 heures après midi, on tirera par les points d et b du parallèle et de l'orbite, qui répondent à 2 heures, la ligne db, et l'on portera la longueur de cette ligne sur les divisions du rayon de la projection CB; on aura ainsi la distance cherchée exprimée en minutes et même en secondes de degré, si le rayon de la projection est assez grand pour cela. Mais cette distance, pour être exacte, demande encore à être corrigée par la règle du n° 11, laquelle consiste en ce qu'il faut augmenter la distance dont il s'agit, dans la raison de la distance du centre de la Terre au plan de projection à la distance du lieu donné sur la surface de la Terre à ce même plan. Si donc on tire par les points d et b au centre C les rayons Cd, Cb, et que sur le rayon Cd prolongé on prenne la partie C/qui soit à Cd dans la raison des distances dont il s'agit; qu'ensuite on mène par/ la ligneyè parallèle à db : il est clair que la partie fe, interceptée entre les rayons /C et eC, sera la dislance apparente corrigée, qui, étant ensuite portée sur les divisions du rayon CB, donnera la vraie distance apparente cherchée des centres du Soleil et de la Lune.

16. Tout se réduit donc a déterminer sur chaque rayon Cd de l'ellipse Kf/HM le point/, en sorte que les parties/C et dC soient dans la proportion de la distance du centre de la Terre au plan de projection à la distance du lieu de la surface de la Terre, dont d est la projection orthographique, au même plan. Or je dis que tous ces points/, ainsi déterminés, sont aussi sur une ellipse telle que R/NS, laquelle est la projection du même parallèle dont KILM est la projection orthographique, mais pour un spectateur placé au point C du plan de projection, et qui rapporterait les points de la surface de la Terre à un plan passant par son centre, et parallèle au même plan de projection. En effet, il est clair VIL 5a

que la projection orthographique de la surface de la Terre sur ce nouveau plan de projection passant par son centre sera la même que sur le plan ADB qui est censé toucher l'orbe de la Lune; de sorte qu'on peut imaginer que le plan ADB soit celui du disque éclairé de la Terre, et que le lieu de l'œil réponde perpendiculairement au centre C, à une distance de ce centre qui soit au rayon CB comme le rayon de l'orbite de la Lune, ou la distance du plan de projection dans l'orbe de la Lune au centre de la Terre est au rayon même de la Terre. Si donc on cherche par rapport à ce lieu de l'œil la projection d'un point quelconque de la surface de la Terre qui réponde perpendiculairement au point d, c'està-flire qui ait d pour sa projection orthographique, il est d'abord visible que la projection dont il s'agit sera sur le même rayon Ce? qui passe par la projection orthographique; ensuite on aura, par les règles ordinaires de la perspective, cette proportion : comme la distance de l'œil moins celle de l'objet au plan, ainsi la dislance Cd à la distance C/, et le point f sera la projection cherchée. Or cette proportion est la même que celle par laquelle nous avons déjà déterminé ci-dessus le point/; donc, etc. Ainsi, pour déterminer tous les points/ qui doivent répondre à tous les points du parallèle terrestre dont l'ellipse KHM est la projection orthographique, il n'y aura qu'à chercher la projection du même parallèle par rapport à un œil placé perpendiculairement au-dessus du centre C et à une dislance de ce centre qui soit au rayon CB comme la distance de la Lune à la Terre est au rayon de la Terre, et l'on doit voir d'abord par là que la projection cherchée sera aussi une ellipse dont le petit axe sera placé sur le même rayon CD; car cette projection n'est autre chose que la section d'un cône oblique dont la base est le parallèle terrestre et le sommet est le lieu de l'œil, tandis que la projection orthographique est la section faite par le même plan d'un cylindre oblique ayant la même base et le même axe que-le cône.

17. Voyons maintenant comment on doit décrire la nouvelle ellipse

nt il s'agit.

Je prends sur la circonférence de la projection, et du même côté du

point P, lorsque la déclinaison du Soleil est méridionale, ainsi qu'on le suppose dans la figure, l'arc AT égal au double de la parallaxe horizontale de la Lune (il faudrait prendre cet arc de l'autre côté du point P, c'est-à-dire de B en D, si la déclinaison du Soleil était septentrionale), et je tire la corde TB : cette corde coupera le rayon CD en V, en sorte que CB à CV aura la même proportion que la distance de la Lune à la Terre au rayon de la Terre, à cause que l'angle CBV est égal à la parallaxe horizontale de la Lune. Ayant tiré maintenant aux points E et F de la corde EF les rayons CE et CF, on prendra sur ces rayons les parties CY et CX égales chacune à CV, et l'on mènera par B les lignes BYZ, BX; ensuite de quoi on mènera par E la ligne EQ parallèle à ZB, et par F la ligne FN parallèle à XB. Ces deux lignes intercepteront sur le rayon CD la partie QN, qui sera le petit axe de la. nouvelle ellipse, et qu'on divisera en deux parties égales au point 0, pour avoir le centre de l'ellipse. Pour avoir ensuite le grand axe de l'ellipse, on mènera par.O la ligne mn parallèle à la corde EF, et sur la partie mn de cette ligne interceptée entre les lignes EQ et FN, on décrira le demi-cercle mpn; l'ordonnée rectangle 0/>, correspondante au point 0 du diamètre de ce cercle, sera le demi-grand axe cherché, qu'on portera donc en OR et OS, sur la perpendiculaire ROS au rayon CD. Ayant ainsi le petit axe QN et le grand axe RS, on décrira l'ellipse R/NS, qui sera le lieu de tous les points/, et qui servira, par conséquent, à corriger les distances apparentes des deux astres pour tous les lieux de la Terre situés sur le parallèle dont KHM est la projection orthographique, ainsi que nous l'avons montré plus haut.

Pour démontrer cette construction, il suffira de considérer que les deux lignes EQ et NF, étant prolongées à la droite, concourent nécessairement a un point du diamètre ACB prolongé vers B, et que la distance de ce point de concours au centre C sera au rayon CB comme la distance de la Lune à la Terre est au rayon de la Terre; en sorte que ce point de concours sera le lieu de l'œil pour la projection ADB. Le reste est analogue aux procédés de la construction orthographique, et dépend de raisonnements semblables.

kV2 REMARQUES SUR LA MÉTHODE DES PROJECTIONS, ETC.

18. Nous avons dit qu'il fallait diviser le rayon de la projection CB en autant de minutes et de secondes, si l'on veut porter la précision jusque-là, qu'en contient la différence des parallaxes horizontales de la Lune, et du Soleil pour la latitude du parallèle terrestre que l'on a décrit. Or la parallaxe horizontale de la Lune étant différente pour chaque latitude dans le sphéroïde aplati, il faudra faire pour chaque parallèle qu'on voudrait décrire dans la projection une division différente du rayon CB, d'où résultera un changement dans la projection et dans la division de l'orbite de la Lune aie. Voici donc comment on pourra remédier à cet inconvénient, et faire servir la même construction pour toutes les latitudes.

Supposons que le rayon CB soit déjà divisé, et la route aie de la Lune déjà tracée pour une première latitude, et qu'on ait ensuite décrit les deux projections KHM, RNS d'un parallèle qui ait une autre latitude; on prendra sur la ligne Cl la partie Cr, telle que Cr soit à Cl comme la différence des parallaxes de la Lune et du Soleil pour la première latitude est à la différence des parallaxes pour la nouvelle latitude, et l'on tirera qr parallèle à le.

Ensuite, tout le reste de la construction demeurant le même qu'auparavant, pour avoir la distance apparente des centres, à 2 heures, par exemple, on tirera par le point d de l'ellipse et par le point q, qui est l'intersection du rayon Cb et de la droite qr, la ligne dq, et par le point e on tirera la ligne es parallèle à dq; la partie es interceptée entre les deux rayons eb, ce? prolongés, s'il est nécessaire, sera la distance apparente cherchée en parties de la première division de CB, ce qui est facile à démontrer. Au reste, on pourra le plus souvent négliger cette correction et prendre immédiatement fe pour la dislance apparente.

SUR

SUR

(Connaissance des Temps et des Mouvements célestes, à l'usage des Astronomes et des Navigateurs, pour l'an 1817; publiée par le Bureau des Longitudes, i8i5.)

L'importance et la difficulté du calcul des éclipses de Soleil et (Tes autres phénomènes de ce genre ont dû naturellement engager les Géomètres a chercher des méthodes directes et analytiques pour faciliter ce calcul, et lui donner toute la précision et la généralité dont il peut être susceptihle, surtout dans un siècle où l'on a pris'à tâche d'appliquer l'Analyse à toute sorte d'objets. Aussi a-t-on vu éclore dans ces derniers temps plusieurs ouvrages plus ou moins considérables sur cette matière, parmi lesquels on doit compter avec distinction les savantes Recherches de M. Duséjour, imprimées dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris.

Os Recherches, par leur étendue et par le grand nombre d'applications intéressantes et délicates que l'Auteur en a faites, paraissent ne rien laisser à désirer sur le Problème dont il s'agit; il me semble néan-

( *) Ce Mémoire a déjà paru en allemand dans les Ephéméridcx de Berlin pour l'année 1 78a ; nous l'imprimons ici de nom eau (laines le manuscril original dont M. Lagrange lui-même avait bien voulu me faire présent. On a pensé que les personnes qui ne Bavent pas la langue allemande nous sauraient bon gré de leur avoir fourni le moyen de lire un Mémoire dans lequel elles trouveront les Fondements de la plupart îles méthodes anal\ tiques qu'on a publiées depuis sur le calcul des éclipses. (F. Abago.)

moins qu'on ne s'est pas encore appliqué à donner à la solution de ce Problème toute la simplicité et la brièveté qu'on est en droit d'attendre de l'Analyse; et cela me paraît d'autant plus nécessaire, que les Astronomes, accoutumés au calcul trigonométrique et aux méthodes arithmétiques, doivent être peu portés à adopter des méthodes nouvelles dont le principal avantage serait d'être plus directes et plus générales, mais dont les principes et le procédé seraient à la fois moins lumineux et moins faciles. C'est pourquoi j'ai cru qu'après tout ce qu'on avait déjà écrit sur cette matière, ils ne regarderaient pas comme inutiles les recherches que j'y ai faites aussi, et que je vais leur présenter.

Je donnerai d'abord des formules générales et rigoureuses pour déterminer les lieux apparents et les distances apparentes des astres sujets à la parallaxe; je me flatte qu'on trouvera, soit dans ces formules, soit dans la méthode que j'emploie pour y parvenir, toute la simplicité et l'élégance, si j'ose le dire, qu'on y peut désirer.

Je ferai voir ensuite comment on peut rendre l'usage de ces formules très-commode pour la pratique, au moyen de quelques Tables dont la construction est très-facile, et qui, étant une fois calculées, serviront pour tous les lieux de la Terre et pour tous les temps.

Je montrerai enfin l'application de ces formules aux éclipses de Soleil, aux passages des planètes sur son disque, aux occultations des astres par la Lune et aux autres Problèmes de ce genre, et je donnerai pour ces différents objets des méthodes plus simples et plus exactes que celles qu'on a eues jusqu'à présent.

Article Ier. — Méthode la plus simple et la plus directe pour déterminer les distances apparentes des astres sujets à ta parallaxe.

1. La manière la plus simple de déterminer la position d'un point quelconque dans l'espace, par rapport à un point donné, est d'employer des coordonnées rectangles dont l'origine soit au point donné; et celte

manière est d'autant plus commode que, si l'on veut ensuite rapporter le même point à un autre point donné, il n'y a qu'à prendre pour coordonnées rectangles les différences des premières coordonnées et de celles qui déterminent ce second point donné relativement au premier; c'est ce qui est évident de soi-même, à cause de la perpendiculaire mutuelle des coordonnées.

2. Comme les mouvements des planètes sont donnés dans les Tables par rapport à l'écliptique, ce qui se présente de plus naturel pour déterminer la position d'un astre quelconque est de supposer que le centre de la Terre soit l'origine des coordonnées de cet astre; que les abscisses x soient prises dans la ligne de l'équinoxe du printemps, d'où l'on compte les longitudes; que les premières ordonnées y soient perpendiculaires à cette ligne dans le plan de l'écliptique, et du côté de l'orient, et que les secondes ordonnées z soient perpendiculaires à ce plan, du côté du pôle boréal.

Et, si l'on nomme a la longitude de l'astre, b sa latitude, et /• sa distance au centre de la Terre, on aura évidemment

x = rcosa cos/>, y — rsin«cos6, z = rsin6.

3. Les coordonnées x, y, z déterminent le lieu vrai de l'astre par rapport au centre de la Terre; pour avoir celles de son lieu apparent pour un observateur placé sur la surface de la Terre, c'est-à-dire du lieu de l'astre vu par cet observateur, il n'y aura qu'à soustraire des mêmes coordonnées celles qui déterminent la position de l'observateur par rapport au centre de la Terre et au plan de l'écliptique.

Soient donc c, rt, Ç les coordonnées dont il s'agit, qu'on suppose parallèles respectivement aux coordonnées de l'astre .r, v, z, et qui dépendent du lieu de l'observateur sur la surface de la Terre; on aura surle-champ x — £, y — ■/;, z — 'Ç pour les coordonnées du lieu apparent du même astre; en sorte que cet astre paraîtra à l'observateur comme paraîtrait un astre vu du centre de la Terre, dont le lieu vrai serait déterminé par les coordonnées a? — £, y — >j, z — 'Ç.

4. Nous désignerons toujours, dans la suite, les valeurs vraies ou apparentes des mêmes quantités par les mêmes lettres, sans trait ou marquées d'un trait; de sorte que les mêmes formules qu'on trouvera pour les valeurs vraies pourront être appliquées sur-le-champ aux valeurs apparentes, en ne faisant que marquer toutes les lettres d'un trait.

Ainsi, comme nous avons désigné par x, y, z les trois coordonnées rectangles du lieu vrai de l'astre, oc', y', z' seront les coordonnées de son lieu apparent; de sorte qu'on aura

De plus, ayant appelé a la longitude vraie, b la latitude vraie de l'astre, et rsa distance vraie au centre de la Terre, on nommera a, b', r' la longitude apparente, la latitude apparente et la distance apparente du même astre pour un observateur placé au centre de la Terre, qui y verrait cet astre de la même manière que le voit l'observateur placé sur sa surface, et l'on aura, comme dans le n° 2,

a' = r' cosa'cosb', y'— r' s'ma' cosb', z' = r's\nb'.

Par ces formules on pourra déterminer, si l'on veut, les valeurs apparentes a', b', r' par les vraies a, b, r, aussitôt qu'on connaîtra les valeurs des coordonnées £, yj, Ç du lieu de l'observateur.

5. Soient p le rayon de la Terre qui répond au lieu de l'observateur, h l'angle que ce rayon fait avec le plan de l'écliptique dans l'hémisphère boréal, et g l'angle que la projection du même rayon sur ce plan fait avec la ligne de l'équinoxe du printemps du côté de l'orient; il est visible qu'on aura

£ = p cosgcosfi, yi = p singeosh, Ç = psinA.

Or il n'est pas difficile de voir que le point du cercle de l'écliptique où tombe la projection du rayon p est celui qu'on appelle en Astronomie le nonagésime; donc l'angle g sera égal à la longitude du nonagésime pour le lieu donné, et l'angle h sera la distance du nonagésime

au zénith de ce lieu, c'est-à-dire le complément à 90 degrés de la hauteur du nonagésime. Ainsi, connaissant la longitude et la hauteur du nonagésime, on aura sur-le-champ les valeurs des coordonnées cherchées. Or on a déjà des Tables toutes calculées, par lesquelles on peut trouver ces deux éléments pour un temps quelconque et pour une latitude terrestre quelconque; mais la grande étendue de ces Tables, qui occupent deux volumes in-8°, les rend d'un usage peu commun, et l'objet principal de ce Mémoire est de donner des moyens plus simples et plus abrégés de parvenir au même but; c'est pourquoi nous allons déterminer directement les valeurs des coordonnées dont il s'agit.

6. Soient cp l'angle que le rayon de la Terre p, aboutissant au lieu de l'observateur sur la surface, fait avec le plan de l'équateur, et 0 l'angle que la projection du même rayon sur ce plan fait avec la ligne de l'équinoxe du printemps; il est visible que, si l'on veut rapporter le lieu de l'observateur au plan de l'équateur, par le moyen de trois coordonnées rectangles if', •/}', Ç', dont la première % soit prise dans la ligne de l'équinoxe, la seconde n' soit perpendiculaire à cette ligne dans le plan de l'équateur, et la troisième 'Ç' soit perpendiculaire à ce même plan, il est visible, dis-je, qu'on aura des formules analogues aux précédentes,

savoir

%— p cosO coscp, ri'= psinQ COS9, 'Ç = psiny.

Maintenant, comme le plan de l'écliptique coupe celui de l'équateur dans la ligne des équinoxes, et est élevé sur ce même plan d'un angle égal à l'obliquité de l'écliptique, que nous désignerons par co, il est aisé de trouver, par la théorie du changement des coordonnées, que l'on aura, par rapport à l'écliptique,

£ = £'» ri = v/cosm -f- u'sinc.), Ç = Ç'cosw — yj'sinia;

de sorte qu'en substituant il viendra

X = p costf coscp,

yj = p(sinO coso cosro + sincp sinw),

'C, =p(sin9 coso) — sinO coscpsinu),

et il est aisé de voir que ces valeurs sont telles que

comme cela doit être.

7. A l'égard des angles 0 et <p, il est évident que 0 n'est autre chose que l'angle que le méridien du lieu de l'observateur fait avec le colure de l'équinoxe du printemps; c'est par conséquent ce qu'on appelle Yascension droite du milieu du ciel, et qu'on trouve dans toutes les Éphémérides pour tous les jours à midi; c'est, comme l'on sait, la somme de la longitude moyenne du Soleil et du temps moyen converti en degrés, à raison de i5 degrés par heure.

Quant à l'autre angle <p, il est visible que, dans l'hypothèse de la Terre sphérique, cet angle est égal à la latitude terrestre supposée boréale du lieu proposé; mais, dans le cas de la Terre sphéroïdique, si l'on nomme e le rapport du petit axe au grand axe, et que o' soit la latitude terrestre observée, c'est-à-dire l'angle de la verticale avec le plan de l'équateur, on a tangç> = s2 tang-p', d'où l'on tire, par les séries,

9 = <p' sin2cp'n — ! sin4o' — ....

La différence entre 9 et <p' est, comme l'on voit, très-petite dans le cas de la Terre, où 1 — s = -5-3U' suivant Newton; et, dans cette hypothèse, nos Tables astronomiques donnent les valeurs de <p'— cp pour tous les degrés de latitude (t. III, p. i65, 167, col. 4)- Cette différence entre o' et f peut s'appeler la réduction de la latitude observée y', et l'angle m peut se nommer, en conséquence, la latitude réduite, et ce sera celle qu'il faudra toujours employer dans nos formules.

Pour ce qui concerne le rayon p du sphéroïde, en prenant le rayon de l'équateur pour l'unité, on a

et, si l'on substitue à la place de cosaç; sa valeur en 9', laquelle, à

, i— tang2cp , , , i — s' -f- (i 4- £*) COS29'

cause de cosa? = ~-, est égale a — ■ — — ^ -,-> on

r i + tang29 D i + £H + (i-£')cos?.9

trouve

/ 1 -f- e« -f- f 1 — e* ) cos 2 9'

P = V l + £2+(l — £2)COS29' '

d'où l'on peut aisément tirer la valeur de p exprimée par une série très-convergente, qui procède suivant les cosinus des angles multiples de 10 ou de 2<p'.

Dans l'endroit déjà cité des Tables astronomiques, on trouve la valeur de p en toises, pour chaque degré de latitude o'; on y trouve aussi (pages citées, col. 6), en parties du rayon de l'équateur, la valeur de pcosfçs' — f), c'est-à-dire la distance du centre de la Terre au plan horizontal du lieu dont la latitude apparente est f', et cette valeur est proprement celle par laquelle il faut multiplier le sinus de la parallaxe horizontale équatorienne, pour avoir le sinus de la vraie parallaxe horizontale hors de l'équateur.

Dans la suite nous n'aurons pas besoin de cette parallaxe, mais seulement de celle dont le sinus est au sinus de la parallaxe horizontale équatorienne comme p à r, et que nous nommerons, pour la distinguer de l'autre, \aplus grande parallaxe de hauteur. Ainsi, ayant la parallaxe horizontale équatorienne par les Tables, il faudra multiplier son sinus par le nombre correspondant à la latitude du lieu dans la sixième colonne de la Table citée, et de plus, par la sécante de l'angle de la quatrième colonne de la même Table, pour avoir le sinus de la plus grande parallaxe de hauteur.

8. Nous avons supposé jusqu'ici que les trois axes des coordonnées sont : le premier, dans la ligne de l'équinoxe du printemps; le second, perpendiculaire à cette ligne dans le plan de l'écliplique du côté de l'orient; le troisième, perpendiculaire au plan de l'écliptiquc dans l'hémisphère boréal, et que ces trois axes se coupent au centre de la sphère. 4

Pour donner maintenant plus d'étendue à nos formules, nous changerons encore la position de ces axes, en sorte que le premier se trouve

dirigé vers un astre quelconque dont la longitude soit a et la latitude boréale |3; que le second axe soit perpendiculaire à celui-là et placé dans le plan de l'écliptique à l'orient du premier, et que le troisième axe soit perpendiculaire à ces deux-là dans l'hémisphère boréal.

Pour cela, nous commencerons par changer la position des deux premiers axes, en sorte qu'ils demeurent dans l'écliptique, mais qu'ils soient plus avancés vers l'orient d'un angle = a. Et, nommant pour un moment oc', y' les nouvelles coordonnées dans lesquelles les coordonnées x, y doivent se changer par ce déplacement des axes, on aura

visiblement

x' = x cos a + /sina, y'=ycos<x — .rsina.

Maintenant il est clair que l'axe des y' a déjà la position convenable, et qu'il n'y a plus qu'à faire tourner les deux autres axes autour de celui-ci, en sorte que l'axe des x' s'élève vers le pôle boréal de l'écliptique et fasse avec le plan de l'écliptique un angle = |3. Or, nommant x" et z' les nouvelles coordonnées dans lesquelles doivent se changer les coordonnées précédentes x', z, on aura pareillement

x" = ,r'cos[3 -+- z sin (3, z' = z cos|3 — x' s\n (3,

et les coordonnées cherchées seront x", y', z', que nous dénoterons dans la suite par ri, rm, rn, en sorte que

Les substitutions faites, on aura donc

/•/ = [x cosa -+- ysina) cos[3 -+- z sin (3,

rm = y cosa — x sin a,

m = z cos (3 — ( x cos a -\- y sin a ) sin [3.

L'axe des coordonnées ri est dirigé à un point de la sphère dont la longitude est a et la latitude boréale /3; l'axe des coordonnées rm est perpendiculaire au précédent dans le plan de l'écliptique et du côté de l'orient, de sorte que cet axe fait avec la ligne de l'équinoxe du printemps un angle = 90°+ a; enfin l'axe des coordonnées rn est perpendiculaire à ces deux-là dans l'hémisphère boréal, par conséquent cet axe est dans le plan du cercle de latitude |3.

9. Les formules précédentes sont pour le lieu vrai de l'astre; on aura de même pour son lieu apparent (4)

/•'/' = (x'cosa -t- y' sina) cos(3 + z'sin [3,

r'm' = y' cosa — :r'sin a,

r'a' = 2'cos|3 — (.r'cosa: + y' sin a) sin (3;

mettant pour ce', y', z' leurs valeurs x — £, y — vj, z — 'Ç (numéro cité), et faisant, pour abréger,

(i- cosa -+- ri sinal oos(3 -4- £sin[3 ..

P /) cosa — £sina

P 'C eos(3 — (£ cosa + r\ sina) sin (3

75 étant le sinus de la plus grande parallaxe de hauteur de l'astre (3),

on aura

/•'/' =r[l — ml),

r'm'=: r{m — sjw),

r'u' = r[n — cjv).

Ce sont les valeurs des trois coordonnées rectangles du lieu apparent de l'astre, rapportées aux mêmes axes que les coordonnées ri, rm, m du lieu vrai.

Or, comme r' est (hypothèse) la distance du lieu apparent au centre de la sphère, qui est en même temps l'origine des coordonnées, on aura

De plus, à cause de £2 -!- vr ■+- Ç2 = f>2 (6), il est visible qu'on aura

;inssi

10. De là il s'ensuit d'abord qu'en ajoutant ensemble les carrés <b's

42i SUR LE CALCUL DES ÉCLIPSES

équations précédentes et extrayant la racine carrée, on aura

' i — 2 m ( / À -I- ni a -+- n v ) -+- ni2 ,

ce qui sert à déterminer la distance apparente de l'astre par sa distance

vraie.

11. Pour avoir maintenant les valeurs de /, m, n en longitudes et latitudes, il n'y aura qu'à substituer dans les formules du n° 8, pour x, y, z leurs valeurs (2), et, divisant par r, on aura

/ = cos(« — a) cosft cos[3 -h sin6sin(3,

/>2 = sin(a — a) cosb,

ii =sin6cos(3 — cos(a — a)cos6sin(3,

et l'on aura /2 4- m2 + na = i , comme cela doit être.

Quant aux valeurs de X, \x, v, on les trouvera par la substitution de celles de 2, /;, Ç du n° 6 dans les expressions ci-dessus, et il viendra

X= (cosô coscp cosx -+- sinô coscp cos (usina -+- sincp sina sinaj cos|3 -+- (sin9 cosco -^sinô coscp sinw) sin|3,

p= sin(9 coscp cosw cosa -+- sincp sinw cosa — cosô coscp sina,

v = (sincp cos&o — sinô coscp sinw) cos(3

— (cos0 coscp cosa -+- sinô coscp coswsina + sincp sinw sina) sinfs.

12. Cela posé, imaginons un plan qui touche la sphère céleste, dont je suppose le rayon = i, au point auquel se dirige le premier axe des coordonnées, c'est-à-dire l'axe des abscisses ri, et dont la longitude est a, la latitude (3, et supposons que du centre de la sphère on projette sur ce plan les lieux tant vrais qu'apparents des astres, comme aussi les différents cercles de la sphère; il est clair que les lieux ainsi projetés seront dans les points d'intersection des rayons menés vers les lieux des astres avec le plan proposé, et que tous les grands cercles de la sphère seront représentés sur le plan de projection par des lignes

droites, formées par l'intersection des différents plans de ces cercles avec le plan dont il s'agit.

SoitC le point où le plan de projection touche la sphère; qu'on mène par ce point deux droites ED, FH perpendiculaires entre elles, et dont

Sad.

la première représente le cercle de latitude qui passe par le point C, et la seconde représente le grand cercle qui coupe celui-là perpendiculairement dans le même point C. Il est facile de concevoir que toutes les droites perpendiculaires à ED représenteront de même des grands cercles perpendiculaires au cercle de latitude, et que de même toutes les droites perpendiculaires à FG représenteront des grands cercles perpendiculaires au grand cercle représenté par FG. Enfin il est visible que toute droite telle que PR, menée par le point C, représentera un grand cercle faisant avec le cercle de latitude un angle égal à l'angle PCE des deux droites PC, CE.

Soit maintenant P le lieu de l'astre projeté sur le plan dont il s'agit, et soit abaissée de P sur CF la perpendiculaire PF; il est clair que, si cette planète se trouvait justement dans le plan de projection dont la distante au centre de la sphère est supposée = i, on aurait pour 1rs trois coordonnées rectangles du lieu de la planète les quantités i, CF, VII. 54

FP, puisque l'axe des abscisses est supposé passer par le point C, perpendiculairement au plan de projection, et que les deux autres axes sont (hypothèse) parallèles aux lignes FH, DE. Si la planète est hors du plan de projection, mais cependant sur le même rayon qui passe par le point P de ce plan, alors il est visible que ces coordonnées seront plus ou moins grandes, suivant que la planète sera plus ou moins éloignée du centre de la sphère que n'est le point P; mais elles conserveront toujours le même rapport entre elles. Ainsi, prenant une quantité indéterminée h, ces coordonnées seront h, h x CF, h x FP. Mais les coordonnées du lieu vrai de la planète sont ri, rm, m (8) ; donc

h = ri, /(XCF = rm, h X FP = m ; donc

CF=f FP = f

13. Nommons maintenant CF, p et PF, g; les deux quantités/? el q seront donc l'abscisse et l'ordonnée du lieu P de la planète dans le plan de projection, et l'on aura

Pour avoir maintenant le lieu apparent P' de la même planète dans le plan de projection, il n'y aura qu'à marquer les lettres précédentes

d'un trait, et l'on aura

où/?' sera l'abscisse CF', et q' l'ordonnée F'P'. Substituant à la place de /', m', n' leurs valeurs tirées des formules du n° 9, on aura donc

m — ma , n — tsv

l ■ — m\ l — cjÀ

Ainsi l'on pourra déterminer par ces formules la position des lieux vrais et apparents d'un astre quelconque sur le plan de projection. Il ne reste plus qu'à voir comment on pourra déduire de ces positions les distances angulaires des astres vus du centre de la sphère.

14. Et d'abord il est clair que, comme les lieux des astres dans le plan de projection sont aux mêmes points où ce plan est traversé par les rayons menés du centre de la sphère aux mêmes astres, les distances angulaires de ces astres vus du centre de la sphère seront les mêmes que si les astres étaient réellement placés dans le plan de projection. De sorte qu'à cet égard on peut regarder les lieux projetés comme les véritables lieux des astres.

Cela posé, supposons en premier lieu que l'un des astres dont on cherche la distance angulaire soit au point C, et l'autre au point P; il est visible que la distance rectiligne PC de ces astres sera la tangente de la distance angulaire cherchée, puisque le centre de la sphère répond perpendiculairement au point C du plan de projection. De plus, l'arc de grand cercle qui joint les deux astres fera avec la partie boréale du cercle de latitude du premier astre un angle égal à PCE.

Soit $ la distance angulaire des deux astres, et y l'angle de l'arc qui joint ces astres avec le cercle de latitude du premier astre C; on aura

iang<5 = \fp2-^- q2, langy=:"-

Donc, si l'on veut rapporter au même astre C le lieu apparent P' do l'autre astre, et qu'on désigne par §' et 7' les angles analogues à ô et 7, on aura de même

tango' = v/'/2 + q'\ tang/=^~-

Si l'on substitue à la place de p, q et de//, q leurs valeurs (numéro précédent), on aura

iango = -ï — j » tangy = — ,

,. v'( >n — w- y ■+■ (n — 7dv )' , n — mv tangô'= *-*— y 1 ■> tang/=

Par ces formules on aura donc la position des lieux vrais et apparents de l'astre P, dont la longitude est a et la latitude b, par rapport au lieu vrai de l'astre C, dont la longitude est a et la latitude |3.

Ces formules pourront donc être d'usage lorsque la parallaxe de l'astre C sera nulle, comme cela a lieu pour les étoiles fixes, ou du moins lorsqu'elle sera si petite qu'on croira pouvoir la négliger: c'est le cas du Soleil dans un grand nombre d'occasions. Mais, quand on voudra tenir compte également des parallaxes des deux astres, il faudra chercher leur distance angulaire sans supposer que l'un d'eux soit au point C. C'est ce que nous allons faire dans le numéro suivant.

15. Soient donc deux astres P et Q, dont on cherche la distance angulaire vue du centre de la sphère.

Soient pour le premier de ces astres l'abscisse Œ=p, l'ordonnée FP = ^, comme plus haut; et pour le second, soient de même l'abscisse CG = P, l'ordonnée GQ = Q; on aura la distance CP = \jp- H- q2 , la distance CQ = \JV2 -+- Q2 et la distance PQ = v/(P— /?)a + (Q - qY • Or l'angle que l'on cherche est celui qui est formé au centre de la sphère par les deux rayons menés de ce centre aux points P et Q, et il est

visible que ces rayons sont yi -h PC et yi-f-CQ , c'est-à-dire \/i-hp--hq2 et sA + P'-t-Q2.

L'angle dont il s'agit est donc celui qui est compris entre les deux côtés \l 1 h- p2 •+- q2 et v/i + P2 + Q2 d'un triangle rectiligne dont le troisième côté est PQ ou ^(P — PY ■+- (Q — çY- Donc, nommant 2 cet angle, on aura, par la propriété connue des triangles rectilignes,

cosI = i-f-P'+Q' + i+/>' + 9'-(P -/>)'- (Q-?)^

c'est-à-dire

cocv= i+Vp + Qq

d'où l'on tire

y/(i-f-P-+Q2) (i-hp'-hq*) — (i-hVp-hQq)

Or la quantité qui est sous le signe, dans le numérateur de cette formule, se réduit facilement à (P — p)'2 -+- (Q — q)'2 -+- (P</ — Qp)~; donc,

divisant le sinus par le cosinus, on aura

= V(P-p).+ l(j-t).+ |H-Qp).