IX

où y. est l'exposant du terme auquel on veut s'arrêter.

Nous finirons par remarquer que les mêmes formules peuvent servir à développer une fonction quelconque, suivant les puissances de sa variable; car en faisant x = o, /{œ -\- i) devient simplement /(«') et peut représenter une fonction quelconque d'une variable i.

Or il est visible que les valeurs àe f[x), f'[x), f"[x), .. ., lorsque jT = o, doivent coïncider avec celles def{i),f'{i),/"{i), . . ., lorsque i= o.

Donc, si l'on dénote simplement par yj /',/", ... les valeurs de

/(0'/'(^^'/ (0' •••' lorsque i = o, on aura en général

et si l'on veut s'arrêter au terme a'*'"^, alors, comme le terme suivant

serait

il n'y aura qu'à substituer à la place de /^ la plus grande et la plus petite valeur de/^{i), ou des valeurs plus grandes ou plus petites que celles-ci, et l'on aura les limites du reste du développement.

Ainsi le développement sera exact tant que ces limites auront des valeurs finies. Si l'une d'elles devenait infinie, le reste de la série pourrait aussi devenir infini, et le développement deviendrait fautif. 11 faudra donc alors, ou s'arrêter à un terme précédent, ou n'attribuer à i que des valeurs telles, que /^{i) ne devienne pas infinie depuis i =z o jusqu'à cette valeur.

Puisque ces limites répondent à la plus grande et à la plus petite valeur def^{i), en prenant i depuis zéro jusqu'à la valeur donnée, il est clair que la valeur exacte du reste du développement de la fonction/(/) répondra à une valeur intermédiaire de /^{i), qui pourra être représentée par/i^(y), en prenant pour y une quantité entre zéro et i. Il suit de là qu'on pourra toujours représenter d'une manière finie le développement d'une fonction quelconque /{i), en y introduisant une quantité inconnue j moindre que i. Ainsi on a ce théorème analytique, remarquable par sa simplicité,

/(-i=/+.-/'+|/'+^/-+...+.^3'^;;„/^-+;:^/^(yi.

où/, /',/", . . . sont les valeurs de/{i), f'{i), f"[i), ••, en y faisant i=z o, l'exposant [j. étant quelconque.

On a par là une démonstration rigoureuse de cette proposition qu'on s'était contenté de supposer jusqu'ici : savoir que, dans le développement d'une fonction, on peut donner à la variable, suivant laquelle est ordonné le développement, une valeur assez petite pour qu'un terme quelconque de la série soit plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent; car il est clair qu'il suffit pour cela de faire voir qu'on peut

toujours prendre « assez petit pour que l'on ait