LEÇON QUATORZIÈME

DKS VALEURS SINGULIERES QUI SATISFONT AUX EQUATIONS DERIVEES ET QUI NE SONT PAS COMPRISES DANS LES ÉQUATIONS PRIMITIVES. THÉORIE DES ÉQUATIONS PRIMITIVES SINGULIÈRES.

La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. Il y a néanmoins des équations dérivées auxquelles satisfont les valeurs (jue j'appelle singulières, parce qu'elles ne sont pas comprises dans leurs équations primitives. Ces sortes de valeurs se sont présentées aux géomètres presque dès la naissance du Calcul différentiel; mais, comme la théorie des constantes arbitraires n'était guère connue alors, on n'a pas d'abord regardé ces valeurs comme formant une exception aux règles générales du Calcul différentiel. Euler est le premier qui les ait envisagées sous ce point de vue et qui ait donné des règles pour les distinguer des intégrales ordinaires.

Depuis, on a reconnu qu'elles dépendent de la théorie générale des équations différentielles ou dérivées, et qu'elles servent à la compléter; c'est ce que nous allons développer avec toute l'étendue qu'exige l'importance de la matière.

Considérons une équation quelconque du premier ordre, représentée par

et supposons qu'elle soit dérivée de l'équation primitive

a étant la constante arbitraire.

Suivant la théorie générale, cette équation

¥[x,x,a]=zo

donnera l'équation dérivée

qui se réduit à la forme

conformément à la notation que nous avons employée jusqu'ici ; et ces deux équations, étant combinées ensemble de manière que la constante a disparaisse, produiront la suivante

Maintenant il est clair que le résultat de l'élimination de a sera le même, quelle que soit la quantité a, soit constante ou variable, pourvu que les deux équations

Y[x,x,a) = o, V'[x) + r' V[y] — o soient les mêmes. Donc aussi la même équation

pourra résulter de l'équation

en supposant a variable et fonction de x, pourvu que l'équalidii dérivée

soit également

Mais, en regardant a comme une fonction de x, on a

ainsi la condition dont il s'agit aura lieu si le terme a'¥'{a) disparaît; d'où il suit que la valeur de y, tirée de l'équation primitive

satisfera également à l'équation du premier ordre

en prenant pour a une fonction de x déterminée par l'équation

Cette équation donne ou

a' =: o, ou F'(«) — - o.

L'équation a'= o donne a égal à une constante quelconque; c'est le cas de l'équation primitive ordinaire, dans lequel a est la constante arbitraire.

Mais l'autre équation

dans laquelle F'(a) est une fonction de jc, y et a, donnera, par la résolution, la valeur de a en ^r et j; et, cette valeur étant substituée

dans l'équation primitive

ou aura une nouvelle équation en x et y, sans constante arbitraire, qui conduira également à la même équation dérivée, et qui sera nécessairement différente de l'équation primitive ordinaire, puisque dans celle-ci la quantité a est une constante arbitraire, et que dans l'autre elle devient une fonction de x et y.

Donc, en général, si l'on élimine a des deux équations

F(jc,j, a) = o, F'(a) = o,

on aura l'équation qui renfermera les valeurs singulières de y, qui peuvent satisfaire à l'équation dérivée

dont

est l'équation primitive ordinaire.

Nous appellerons cette équation équation primitwe singulière, pour la distinguer de l'équation primitive ordinaire, que nous appellerons aussi équation primitive complète.

11 faut seulement remarquer que, comme l'essence de cette équation consiste en ce que la valeur de a est une fonction variable, si l'équation

par laquelle on doit déterminer a, donnait pour a une quantité constante, ou bien une telle fonction de x et y qui devint égale à une constante en vertu de l'équation

dans laquelle on doit substituer cette valeur de a, ou qui, dans cette substitution, donnât le même résultat qu'on aurait par une valeur constante de a, alors cette équation cesserait d'être une équation primitive singulière, et ne serait plus qu'un cas particulier de l'équation primitive ordinaire.

Nous avons trouvé (Leçon XII) que l'équation du premier ordre

y' \Jx- -{-y- — b — yy^' — ^ = o

a pour équation primitive