X- -hf- — b = o
équation qui satisfait également à l'équation du premier ordre. En efîet, cette équation donne
y-^ b — X- et yy' ■= — x; ces valeurs substituées dans l'équation
y' \/x- -+-y- — b — yy — x = o
la rendent identique.
Comme on sait, par la théorie des équations, que l'équation dérivée
relative ka, contient la condition qui rend égales deux des racines de
l'équation
ordonnée par rapport à a, il s'ensuit que la valeur singulière de y, dans cette équation, a la propriété de donner à l'équation en a une racine double.
On voit, en eflfet, que l'équation
a- -H 2 «r — X- -h b = o acquiert une racine double, en faisant
Si l'équation primitive était
(x- + y- — b) [y- — 2ay] -{- [x- — b]a- = o, a étant la constante arbitraire, l'équation dérivée relative à a seiait
— y[x- -T- y- — b) + [x- — 6)rt = o,
d'où l'on tire
valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne
et, par conséquent.
pour l'équation primitive singulière.
Mais, de ce que cette équation rend la valeur même de a nulle, il suit qu'elle ne sera qu'un cas particulier de l'équation primitive; en eflet elle résulte de celle-ci, en y faisant « = o.
On peut appliquer aux équations des ordres supérieurs au premleila théorie que nous venons de donner sur les équations dérivées de cet ordre.
En effet, si
est l'équation primitive de l'équation de l'ordre n
a étant la constante arbitraire, celle-ci doit résulter de l'élimination de a entre l'équation primitive et son équation dérivée; et il est évident que le résultat de cette élimination sera le même, soit que la quantité. a soit constante ou variable, pourvu que les deux équations soient de la même forme.
Or l'équation primitive
est la même dans l'un et dans l'autre cas : son équation dérivée est, dans le cas de a constante,
et, dans le cas où a serait une fonction quelconque de .r, elle sera
donc les deux équations deviendront identiques si l'on détermine a do manière que le terme a'Y'[a) disparaisse.
Faisant donc
on a ou
et par conséquent a égal à une constante, ce qui est le cas ordinaire;
ou
ce qui donnera une valeur de a en x et y, laquelle, étant substituée dans l'équation primitive
donnera une équation du même ordre, qui satisfera également à l'équation
elle pourra donc être regardée aussi comme une équation primitive singulière sans constante arbitraire.
L'équation du second ordre
a pour équation primitive du premier ordre
ay -1- a- = o.
comme on peut s'en assurer en éliminant a au moyen de son équation dérivée
X — Ctf":= o.
Si l'on prend l'équation dérivée relativement à a, on a
(l'oîi l'on tire
valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne celle-ci
x- — y-^o, d"où r'=^±:x.
Cette valeur de y satisfait aussi à l'équation pi'oposée; mais c'est une valeur singulière, puisqu'elle n'est pas contenue dans ré(jiiali(!ii primitive.
Si l'on cherche l'équation primitive de l'équation du premier ordre
x- — 2rtj-' -I- a- = o, il est facile de trouver celle-ci
-^ laf -h a-x -\- b -^ o,
où b est la nouvelle constante arbitraire.
Si maintenant on élimine a de ces deux équations, on aura la suivante
qui sera par conséquent l'autre équation primitive du premier oi'drc de la proposée.
On peut donc aussi chercher une équation primitive singulière d'après cette équation-ci, en prenant son équation dérivée relativement à b, et l'on trouvera
d'où l'on tire
Substituant cette valeur dans l'équation précédente, elle devient
4 (r — xf]^{x-^ — /2 ) — o.
ilk LEÇONS SUR LE CALCUL
Cette équation donne ces deux-ci
y — j^y ^ o el X- ^ y-=^ o.
La première ne satisfait pas à la proposée, car elle donne
et, de là,
La seconde donne
c'est la même que nous avons trouvée ci-dessus.
Ainsi les deux équations primitives du premier ordre ne donnent que la même équation singulière.
Il serait cependant naturel de penser que des équations primitives différentes devraient donner aussi différentes valeurs sinsrulières; mais MOUS allons démontrer, a priori, que l'on a toujours la même équation primitive singulière, de quelque équation primitive qu'on la déduise; ce qu'on ne savait pas jusqu'ici.
Considérons une équation du second ordre, représentée en général par
et dont l'équation primitive entre x et y soit
a et h étant les deux constantes arbitraires.
Par la théorie générale, on aura ses deux équations primitives du premier ordre, en éliminant a ou h, par le moyen de cette même équation et de sa première équation dérivée
a et h étant ici regardées comme constantes.
Comme la fonction dérivée F'(.r, y) renferme, outre les constantes a et h, la fonction y, désignons-la par cp(j:', r, r', a, h).
Ainsi on aura les deux constantes primitives du premier ordre, en substituant alternativement, dans la même équation
la valeur de h en or, y, a, et la valeur de a en oc, y et b, tirées de la
même équation
Ensuite on aura les équations primitives singulières, en éliminant a de la première par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à a, et en éliminant h de la seconde par le moyen de son équation dérivée, prise relativement à h.
Considérons d'abord, dans l'équation
la quantité b comme une fonction de x, y, a, déterminée par l'équation
Y[x,y,a,b] = o; son équation dérivée, prise relativement à a, sera
en supposant que b' soit la fonction dérivée de b, prise relativemenl à a; or, comme b est une fonction de «, déterminée par l'équation
on aura la valeur de //, en prenant la dérivée de cette équation par rapport à a, opération qui donne
Si maintenant on élimine b' de ces deux équations, on a
cp'(fl) Y[b] — o'[b) F'(«)=:o.
Cette équation, étant combinée avec les deux
Y{x,y,a,b] — o et (i^[x, y,y' ,a,b] = o,
donnera, par l'élimination de a et h, l'équation singulière résultant de l'équation dérivée relative à a.
En legardant de même a comme fonction de h dans l'équation
on aura également l'équaùon dérivée relative à b
et la valeur de a dépendra alors de l'équation dérivée relativement
de sorte que, par l'élimination de a' , on aura pareillement
çVOF'(^)-?'(*)F'(«)-o.
Ainsi l'équation primitive singulière, déduite de l'équation dérivée relative à h, sera encore le résultat de l'élimination de a et b, par le moyen de l'équation précédente et des équations
y[x,y,a,b] — o, cp(x, j, /, «, i ; = o.
Donc ce résultat sera le même dans les deux cas, puisque les équations sont les mêmes.
Il suit de là qu'on peut trouver directement l'équation })rimitive singulière d'une équation du second ordre, au moyen de son équation primitive complète, sans connaître en particulier les deux équations primitives du premier ordi'e; car, soit
cette équation, où a et h sont les deux constantes arbitraires; il n'y aura qu'à éliminer a, b et //, au moyen des quatre équations
Y[x,x, a, b)=. (), o[x,y,y' ,n,b] ^o, ¥[a) + b' V'^b) = o, <f'[a) + b' cf'[b] = o, en supposant
On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs, et en tirer des conclusions semblables. Ainsi, si
est supposée l'équation primitive entre ce et y, et les trois constantes arbitraires a, b, c d'une équation dérivée du troisième ordre, les trois équations primitives du second ordre donneront une même équation primitive singulière de ce même ordre, qui ne sera que le résultat de l'élimination de a, b, c et de b' , c' , au moyen de ces six équations
<]^[x,y,y',f,a,b,c]=io,
¥[a] + b' F'(6) + c' F'(c) = o, <p'(a) + b' 9'(6) + c' 9'(c) = o, ^'[a]-hb' ']^'{b] + c' 4/'(c) = o,
en supposant
et ainsi de suite.
Ainsi l'équation du second ordre
ayant, comme on l'a vu ci-dessus, pour équation primitive entremet y, l'équation
— lay -^ a- X -\- b ^ o,
où rt et 6 sont les constantes arbitraires, on aura tout de suite l'équation primitive singulière du premier ordre, en combinant cette équation avec son équation dérivée ordinaire, et avec les deux dérivées de celles-ci, prises par rapport à a, et en regardant b comme fonction de X, y, y' et a, de manière que les quantités a, b et b' disparaissent. X. a3
Pour donner plus de généralité à cet exemple, en conservant la constante h dans l'équation dérivée, je donnerai d'abord à l'équation primitive la forme
o o 3 6 — 6ar
cl j'aurai pour sa dérivée
6ar' 36 — Gar ix ■— 3= o.
Prenant maintenant les dérivées de l'une et de l'autre relativement
à a, il viendra
^ Gy 36'
ba — 1 = o,
Qy 6 j' 3 6'
l-t- vt» «A
b étant supposé fonction de a.
En éliminant d'abord h', on a
~^=o, dou a=y',
les deux premières donnent ensuite, en éliminant h,
„ l>a- — Gar'
substituant la valeur de a, il vient
'^x — =:= o, ou y'- — x-^^o,
comme plus haut.
Soit encore l'équation du second ordre
y — xy'+~ y" — [y' — xy" f-f^ — o,
dont l'équation primitive en x ç.iy est
r X- — ox — a'^ ~ b- ;= o.
Si l'on élimine tour à tour a et è de cette équation, au moyen de son équation dérivée
y' — ax — /^ =3 o, on a ces deux-ci
j + ( ■ a- 1 a;2 — (i — la^xy — a- —j'- == o,
^ [h+y\x (b-rr ^. o.
En prenant l'équation dérivée de la première relativement à a, on trouve
I ia\x'^-\-ix'f — 2«3i=o;
d'où résulte
4(i + ^-) valeur qui, étant substituée dans la même équation, donne
y — xy — r - + ^-^ —^!-- = o.
De même l'équation dérivée de la seconde, relativement à h, sera
d'où l'on tire
et la substitution de cette valeur donnera
ces deux équations reviennent au même, car elles se réduisent l'une et l'autre à celle-ci
qui est, par conséquent, l'équation primitive singulière de la proposée du second ordre.
On aura le même résultat en éliminant immédiatement a, h et h\ au moyen de l'équation primitive
Y x"^ — hx — a- — b- = o,
de sa première dérivée
y' — ax — t = o
et de leurs deux dérivées par rapport à a,
\-- ia-\-[x -\- ih)b' ^o, x-hb' = o.
Ces deux-ci donnent, eu éliminant b',
\- -ia — ix -{- ■2b)x ^ o.
En combinant celle-ci avec la seconde, on trouve
x--[- ^xy' . 4.7"' — -^^
et, ces valeurs étant substituées dans la première, il vient
comme ci-dessus.
Si de l'équation primitive
Y[x,y',x', . . .,yin-*\n] = o
on tire la valeur de a en fonction de
et qu'on la désigne par
il est clair qu'en substituant cette fonction à la place de a, dans la
même équation, elle deviendra nécessairement identique ; par conséquent ses équations dérivées, relatives à
en particulier, auront lieu aussi. On aura donc
F'(j) + F'(a) ^'lr)=:o, F'(/) + F'(«)<I>'(/) = o,
OÙ j'ai conservé, sous le signe F', la lettre a à la place de sa valeur
De là on déduira
Donc, puisque la quantité F'(a) devient nulle dans le cas de l'équation primitive singulière, il s'ensuit que, dans ce même cas, les valeurs de
deviendront chacune infinie.
Ce caractère fournit aussi un moyen général de trouver l'équation primitive singulière; et ce moyen est surtout utile, lorsque l'équation primitive est sous la forme
^{x,r,y,x", . . .,j(«-o) = ff,
laquelle paraît échapper à la règle générale établie ci-dessus, car on aurait ici
et, (le là,
d'où l'on ne pourrait rien conclure relativement à l'équation primitive singulière.
Il faut néanmoins observer que, quoiqu'il soit vrai que l'équation primitive singulière rend les fonctions
cï>'(.^), <î>'(j), $'(/), ...
intinies, on n'en doit pas conclure que toute équation qui rendra ces (|uantités infinies sera une équation primitive singulière; il faudra, de plus, que cette équation ne rende pas la fonction
égale à une constante, car on n'aurait alors qu'un cas particulier de l'équation primitive générale.
Par exemple, si
on aura
l'une et l'autre de ces quantités deviennent infinies, en faisant y — x=o, pourvu que m <^i .
Mais cette équation
rend la valeur de $(^, j) égale à zéro ou à l'infini, suivant que m est positif ou négatif; donc elle ne peut pas être une équation primitive singulière.
Prenons l'équation du premier exemple
x"^ — laf -h a- — l) = o; elle donne
a=^ — f-\- \Jx- -+- y- — b, donc
<l)(.r, j) = — jr + \Jx- + y^ — b.
et, de là,
\jx^ + y^ — b
sjx-^y-— b
où l'on voit que ces deux fonctions deviennent infinies par l'équation
primitive singulière
Nous avons trouvé plus haut cette équation du premier ordre
pour l'équation primitive singulière de l'équation du second ordre
en dégageant la fonction j', on a
ix -\- x^ J \ -\- X- J i6r -h Ax- -i~ x''
et, divisant ^^v -^sj li^y -^ l\x'- -\- x' , on obtient
Sy' -\- ^x -\- ix^
\l iQy + ^x"^ + x''
équation dont les deux membres sont des fonctions dérivées exactes. En prenant leurs fonctions primitives, et ajoutant la constante arbitraire k, on aura l'équation primitive
^ liîy -t- ^x- -\~ x'^ ^ X \J i -\- X- -\- l{\J i + X- ^ x) + k ,
comme il est facile de s'en assurer en prenant les fonctions dérivées
de ses deux membres.
Cette équation est, comme l'on voit, bien différente de l'équation
primitive complète
y X- — bx — d^ — b'-^=^o ;
mais elle satisfait également à l'équation proposée du second ordre, parce qu'elle satisfait, en général, à l'équation du premier ordre, qui satisfait à celle du second ordre, comme primitive singulière.
Mais cette équation du premier ordre peut avoir elle-même une primitive singulière qu'il est bon de chercher.
Comme la constante k est débarrassée des variables jc et v, on a immédiatement
(le sorte que, en désignant cette fonction par <î>(ar, y), et prenant les fonctions dérivées relatives à x ou r, on aura sur-le-champ
donc, supposant cette quantité infinie, on aura l'équation
pour l'équation primitive singulière de l'équation du premier ordre, qui est déjà elle-même une primitive singulière de la proposée du second ordre.
Elle satisfait, en effet, comme on peut s'en assurer, à l'équation du premier ordre; mais elle ne satisfait plus à celle du second ordre.
On aurait pu aussi déduire immédiatement cette même équation singulière de l'équation primitive entre x ti y
y X- — bx — a^ — b- ^^o,
en déterminant « et ^ par ses deux équations dérivées relatives à a et b.
On aura ainsi
-X- + 10^= o, X -h ib = o,
d'où l'on tire
substituant ces valeurs dans l'équation précédente, elle deviendrait
se X-
rn- -7: + -7- =o.
Il n'est pas difficile, en effet, de démontrer, par la théorie générale des équations primitives singulières, que ces sortes d'équations primitives singulières doubles résultent de l'équation primitive
en éliminant les deux constantes a et b par les deux équations particulières
F'(a) = o, et Y'{h) = o.
Et par là il est aisé de voir la raison pourquoi elles ne satisfont pas, en général, à l'équation du second ordre, dont
est l'équation primitive complète avec les deux constantes arbitraires « et b.
Car soit
cette équation du second ordre; elle résulte, comme nous l'avons vu, de l'élimination de a et 6 regardées comme constantes, au moyen des trois équations
Mais, lorsqu'on regarde a et b comme des fonctions de x et y,
l'équation dérivée de
n'est plus simplement
mais elle devient
laquelle se réduit cependant à
en déterminant a et 6 par les deux conditions
F{a] — o, el ¥'{b) = o,
qui sont celles de l'équation primitive singulière double.
Comme la fonction dérivée Y'{x, y), étant développée, renferme les variables x, y, y' et les deux constantes a et b, désignons-la par (ù[x, y, y\ a, b); il est clair que la troisième équation
où a ei b sont regardées comme constantes, sera représentée par
mais, dans le cas où ces quantités sont variables, elle deviendra
(jui ne se réduit plus à
parce que les deux fonctions <p'(a) et ç'(6) ne sont pas nulles. Ainsi il est impossible que l'équation
dans laquelle a et b sont des fonctions de x et j, déterminées par les
conditions
satisfasse généralement à l'équation du second ordre qui résulte de la même équation par l'élimination des quantités a et b, au moyen de ses deux dérivées, première et seconde, prises en regardant a et b comme constantes.
On peut étendre cette théorie aux équations primitives des équations des ordres supérieurs.
Ainsi, si l'on a l'équation primitive
F{x,jr,a, b,c] — o,
où a, h, c sont trois constantes arbitraires, et qu'on détermine ces trois quantités par les trois conditions
on aura une équation primitive singulière triple, qui sera, par conséquent, la primitive. singulière d'une équation du premier ordre, qui sera elle-même la primitive singulière d'une autre du second ordre, laquelle sera enfin la primitive singulière de l'équation du troisième ordre, dont la même équation
sera la primitive ordinaire complète avec les trois constantes arbitraires a, b, c; mais cette équation primitive singulière triple ne satisfera ni à l'équation du troisième ordre, ni même à sa primitive singulière du second ordre.
Nous avons démontré plus baut que les fonctions ^'[x], 4''(y), O'(r'), . . ., (I)'( yf"-'') ont des valeurs infinies dans le cas de l'équation primitive singulière de la dérivée, dont
est la primitive ordinaire, avec la constante arbitraire a.
On peut conclure de là, tout de suite, que tout multiplicateur qui rendra une équation de l'ordre quelconque ii, telle que
une dérivée exacte d'une équation de l'ordre inférieur n — i, deviendra nécessairement infini en vertu de l'équation primitive singulière de la même équation.
Car soit M ce multiplicateur : on aura donc, par l'bypothèse,
M[rW+f[x,y,y, ...,7(«-0)]=,,4)'(^,j,y, ...,j(«-0);
et l'équation primitive sera
^[x,y,y', ...,j(«-") = rt.
Or,
Donc
par conséquent la quantité M deviendra infinie par la substitution de la valeur dey'~'' donnée par l'équation primitive singulière.
Cette conclusion suit aussi directement de la forme même des multiplicateurs, que nous avons donnée dans la Leçon XIII. En effet, si l'équation est du premier ordre, comme
elle n'aura qu'une équation primitive, telle que
et tous les multiplicateurs de cette équation sont nécessairement
renfermés dans la formule „, .■ ? $(a) étant une fonction quel-
conque de a, en supposant qu'on substitue pour a sa valeur tirée de
la même équation
donc, puisque l'équation primitive singulière rend la fonction ^\a) nulle, tous les multiplicateurs deviendront aussi infinis. Si l'équation dérivée est du second ordre, comme
elle peut avoir deux équations primitives différentes, chacune du premier ordre, telles que
F[x,j,y' ,a) = o et 'è[x,y,y-' ,h) = o; et la formule générale des multiplicateurs sera
4>(a, b) étant une fonction quelconque de a et b, c'est-à-dire de leurs valeurs déterminées par les équations précédentes.
Or l'équation primitive singulière rend nulle chacune des deux fonctions dérivées F'(rt), F'(/>); donc tous les multiplicateurs deviendront infinis dans le cas de cette équation, et ainsi de suite.
Par exemple, l'équation
qui est la même que celle qu'on a considérée ci-dessus, a, pour l'un de ses multiplicateurs, la quantité
En supposant ce multiplicateur infini, on a
pour son équation primitive singulière; ce qui s'accorde avec ce qu'on a déjà trouvé.
On a donc ainsi un nouveau moyen de trouver les équations primitives singulières par les multiplicateurs.
Mais, quoiqu'il soit prouvé que tout multiplicateur doit devenir infini par l'équation primitive singulière, on ne peut pas dire, réciproquement, que toute équation qui rendra un multiplicateur infini sera une équation singulière. En effet, la formule générale des multiplicateurs étant pour le premier ordre ^ J , -^ > il est évident que sa valeur peut devenir infinie sans que l'on ait
car pour cela il suffit que l'une ou l'autre des fonctions $(«), F'(y) reçoive une valeur infinie.
Au reste, on peut se convaincre aussi, par ce raisonnement fort simple, que l'équation primitive singulière doit rendre infini tout
multiplicateur d'une équation d'un ordre quelconque n, de la forme
Car, M étant un multiplicateur de cette équation, on aura
et l'équation deviendra dont la primitive sera
a étant une constante arbitraire.
Maintenant l'équation primitive singulière doit satisfaire à la proposée
et ne doit pas être comprise dans sa primitive complète
Donc la valeur de jC'-'^ tirée de la primitive singulière, étant substituée dans la fonction <\>[x,y, y', . . ., j'"~'^), ne doit pas la rendre égale à une constante; par conséquent elle ne devra pas rendre nulle sa dérivée (^'{x, y, y, . . ., j'"~'^).
Donc cette valeur doit rendre nulle la quantité
y<"^-\-f[x,x,y', ...,r("-"), et ne doit pas rendre nulle la quantité
ce qui ne peut avoir lieu qu'autant qu'elle rendra la quantité M infinie.
C'est à peu près de cette manière que Laplace a démontré le premier cette proposition importante, que d'autres géomètres avaieni entrevue, mais dont on n'avait pas encore donné une démonstration rigoureuse. Voir son Mémoire sur les Solutions parlirulières . parmi ceux de l'Académie des Sciences de 1772.
