LEÇON QUINZIÈME
COMMENT l'équation PRIMITIVE SINGULIÈRE RÉSULTE DE l'ÉQUATION DÉRIVÉE.
Par les principes que nous venons d'établir, on peut trouver l'équation primitive singulière de toute équation dérivée dont on connaît déjà l'équation primitive de l'ordre immédiatement inférieur, ou dont on est en état de trouver cette équation à l'aide d'un multiplicateur.
Nous allons voir maintenant comment on peut déduire l'équation primitive singulière de l'équation dérivée seule.
Pour cela, il faut examiner ce que l'équation dérivée devient dans le cas de l'équation primitive singulière.
Reprenons le principe fondamental des équations primitives singulières.
Si
est l'équation primitive d'une équation du premier ordre, celle-ci sera le résultat de l'élimination de la constante a, au moyen de son équation dérivée
relative à x et y; et l'équation primitive singulière sera le résultat de l'élimination de la même quantité a, au moyen de l'équation dérivée
F'(a)=:o, relative à a.
Supposons que l'on tire de l'équation
la valeur de a en fonction de x, y, y', que je représenterai par 9(j?, y, j'), et qu'on substitue cette fonction au lieu de a, dans l'équation primitive
Y[x,y,a)z=LO,
on aura une équation en x, y, y' qui sera la dérivée de la proposée. Ainsi, en désignant simplement parc la fonction 9(0?, j,j'), on aura
F(.2:, J, cp) = o
pour l'équation dérivée.
Prenons maintenant la dérivée de celle-ci, et, comme cp est une fonction des variables x, y, y', on aura cette équation
où l'expression ¥'{x, y) est la même chose que le premier membre de l'équation ci-dessus
si ce n'est qu'à la place de a il y a sa valeur 9, tirée de cette même équation; d'où il suit que l'expression dont il s'agit sera identiquement nulle, puisqu'elle est censée être le résultat de la substitution de la valeur de a, qui la rend nulle.
La dérivée de l'équation du premier ordre
se réduira donc simplement à celle-ci
9'F'(9) = o, laquelle se décompose, comme l'on voit, en ces deux-ci,
(p'^o et F'(<p):^o.
La première
cp'=o, savoir, <^'{x,f,y'] = o,
est une équation du second ordre qui donne la valeur de y" en x, y et y.
Cette équation a pour équation primitive 9 égal à une constante arbitraire; ainsi
^ = a el F(^,j, cp)=:o
sont deux équations primitives du premier ordre de la même équation
du second ordre
9'F'(cp)=-o;
donc, par la théorie exposée dans la Leçon XII, éliminant y' de ces deux équations, on aura l'équation primitive de
F(^,J,cp) = o,
dans laquelle a sera la constante arbitraire; mais, comme j' n'est contenue que dans la fonction 9, le résultat de cette élimination sera le même que celui de l'élimination de o; par conséquent ce résultat sera
ce qui redonne la même équation primitive d'où l'on était parti. Considérons maintenant l'autre équation
F'(cp)r=o;
celle-ci satisfait aussi, comme l'on voit, à la même équation du second ordre; mais, comme elle ne contient que les fonctions j et j', elle peut être regardée comme une équation primitive du premier ordre de la même équation, mais sans constante arbitraire. Ainsi, en éliminant y' par le moyen de celle-ci et de l'équation du premier ordre
on aura une nouvelle équation primitive de cette même équation, qui sera nécessairement différente de l'équation primitive
Or, comme la quantité j' n'est contenue que dans la fonction ç, le résultat de l'élimination de y', des deux équations
F'(cp) = o el F{x,y,(f)=o,
sera le même que celui de l'élimination de 9, comme nous l'avons
déjà observé plus liaut; et ce résultat sera évidemment le même que celui de l'élimination de la quantité a des deux équations
F'(a) = o et F(^,j, a) = o.
Donc, par ce qu'on a démontré dans la Leçon précédente, ce résultat donnera l'équation primitive singulière de l'équation dérivée dont
est l'équation primitive ordinaire, a étant la constante arbitraire. D'où l'on doit conclure que l'équation
donnera, par l'élimination de y', la même équation primitive singulière de la proposée du premier ordre
qu'on eût trouvée d'après son équation primitive
suivant les principes et la méthode exposés dans la Leçon précédente.
On voit par là qu'il est toujours possible de mettre l'équation dérivée sous une forme telle que sa dérivée donne elle-même immédiatement l'équation primitive singulière, s'il y en a une; et c'est une observation qui n'avait point encore été faite jusqu'ici.
Reprenons l'équation du premier exemple de la Leçon précédente :
x'^ — nay — a"^ — b = o,
en la regardant comme une équation primitive dont a est la constante arbitraire; pour avoir l'équation dérivée qui ait la propriété dont il
s'agit, il faudra y substituer pour a sa valeur — tirée de la dérivée
X — ay = o.
Ainsi l'équation dérivée dont il s'agit sera
— r- rx — b
En prenant la dérivée de celle-ci, on a
r xyT" X X'Y"
équation qui se réduit à
X \ xr
comme nous l'avons déjà observé dans la Leçon XIÏ. En la mettant sous la forme
I xy" \ I X
on voit qu'elle revient à
9'F'(cp) = o,
en supposant
¥[x,y,a]^= x"^ — lay — a- — b
et prenant pour cp la valeur de a, tirée de l'équation prime
X — ny' ^ O- Le facteur du premier ordre donne l'équation
r-t-^=^0' d'où r' = ~y
valeur qui, étant substituée dans l'équation du premier ordre, la réduit à
