X- — b — iny — a-^ o
la valeur de j' = - dans la proposée du premier ordre, et l'on aura
Considérons les équations du second ordre. Soit
Y{x,x,f,a)=zo
l'équation primitive du premier ordre d'une équation dérivée du second.
En éliminant a au moyen de l'équation
on aura l'équation du second ordre; et, en l'éliminant au moyen de
l'équation
on aura l'équation primitive singulière.
Soit (s^[x. Y, y , y"), ou simplement o, la valeur de a en fonction de X, y, y , y", tirée de l'équation
en substituant cette valeur dans l'équation primitive, on aura une équation dérivée de la forme
et, si l'on prend l'équation dérivée de celle-ci, il est visible que la partie Y'[x, y, y'), relative à la variation de x, y, y', sera identiquement nulle, puisque la quantité <p, qui y est regardée comme constante, est supposée déterminée par l'équation même
Il ne restera donc que l'équation
cp' F'(cp)=ro,
qui se décompose en
(p'^o ei F'((p) = o.
L'équation
sera du troisième ordre, et donnera la valeur de y'". Son équation primitive sera évidemment
cp = «,
en prenant a pour une constante quelconque. Eliminant y", qui est
contenu dans 9, au moyen de l'équation dérivée
on aura le même résultat que par l'élimination de o; c'est-à-dire,
équation primitive.
L'autre équation
donnera aussi, par l'élimination de j", le même résultat que par l'élimination de 9, et, par conséquent, le même résultat que par l'élimination de a, au moyen des équations
F'(a) = o et 'Ç [x,y,y-' ,a]^=o,
(jui sont les mêmes en y changeant a en 9,
Donc ce résultat sera l'équation primitive singulière de l'équation
du second ordre dont
est l'équation primitive du premier ordre. L'équation du second ordre
que nous avons considérée dans les Leçons précédentes, a pour dérivée
qu'on peut mettre sous cette forme
Le facteur j"— —9 n'étant que du même ordre que la proposée, donnera, par l'élimination de y, une équation primitive singulière de celle-ci; car, en faisant j" — — = o, on a
valeur qui, étant substituée dans la proposée, donne
r- — ■ — - +1 = 0, savoir, X- — y~ - = o,
comme nous l'avons trouvé dans la Leçon précédente. L'autre facteur donnera l'équation du troisième ordre
qui, étant divisée par x, a pour primitive du second ordre
a étant une constante arbitraire; celle-ci donne
^ ~ a' substituant cette valeur dans la proposée, on a
— h 1 = 0, OU X- — iay'-\-a-^o,
équation primitive, comme on l'a vu dans la Leçon citée.
Le même procédé s'applique aux équations d'un ordre quelconque; et l'on en peut conclure, en général, que toute équation dérivée est susceptible d'une forme telle que sa dérivée ait deux facteurs, dont l'un réponde à l'équation primitive ordinaire, et dont l'autre donne immédiatement l'équation primitive singulière, s'il y en a une; ce qui jette un nouveau jour sur la nature des équations primitives singulières : car il est évident que les deux facteurs deJ'équation dérivée, étant indépendants l'un de l'autre, doivent satisfaire cbacun en particulier à cette équation, et par conséquent aussi à son équation primitive proposée.
En même temps on voit que le facteur qui donne l'équation primitive singulière, et qui est du même ordre que la proposée, ne pourra pas satisfaire aux équations des ordres supérieurs, puisqu'il ne satisfait pas à celle qui résulte de l'autre facteur, et qui contient seule les fonctions dérivées d'un ordre plus élevé que la proposée.
Je considère maintenant que, comme toute équation dérivée du premier ordre, telle que
ne peut être que le résultat de l'élimination de la constante arbitraire a, au moyen de l'équation primitive
F(^,j, a) = o, et de sa dérivée
ainsi que nous l'avons vu dans la Leçon XII, et que l'équation
est déjà le résultat de cette élimination par ce que nous avons démontré plus haut; il suit, de la théorie connue de l'élimination, que, si les deux équations
/(•^.r»r') = o ei F(^,j, cp) = o
ne sont pas identiques, elles ne peuvent différer que par un facteur qui affectera l'une des deux, et qui ne pourra être qu'une fonction de X, y et y' .
Supposons donc que M soit un pareil facteur, en sorte qu'on ait l'équation identique
On aura donc, en prenant les fonctions dérivées,
mais nous avons déjà vu que la dérivée de Y{x,y, ç) se réduit à ç'F'((p); donc, substituant 9'F'((p) pour F'(a;, j, 9), et mettant à la place de F{x,y, çp) sa valeur ■' ^ m ^^ ^^^^
c'est la forme générale de la dérivée de la fonction /(.r, j, j') qui est le premier membre de l'équation proposée.
On voit par là qu'étant proposée l'équation du premier ordre
on pourra satisfaire à sa dérivée
indépendamment de la valeur de y", par le moyen de l'équation du
même ordre
combinée avec la proposée; de sorte que ces deux équations pourront être regardées également comme des équations primitives du premier ordre de la même équation dérivée
du second ordre. Par conséquent il n'y aura qu'à éliminer y' entre elles pour avoir une équation primitive de la proposée, laquelle ne sera qu'une primitive singulière, comme nous l'avons démontré cidessus.
Maintenant, si dans la fonction dérivée /'(^, v, j') on sépare la partie affectée de j", elle devient y" /'{y') -\-f'{x,y), suivant la notation que nous avons adoptée. Ainsi la dérivée de l'équation proposée
f[x,x,y') = o sera
et il est visible qu'on ne peut satisfaire à cette équation indépendamment de la valeur de y", qu'en égalant séparément à zéro les deux fonctions /'(y) et/'(^, j); il est facile de voir, en effet, par la comparaison de l'expression précédente de /'(a?, y, y') avec la forme générale trouvée ci-dessus, que les deux équations
emportent ces deux-ci et réciproquement.
On aura donc l'équation primitive singulière de la proposée
en faisant, dans sa dérivée
les deux équations séparées
et éliminant la fonction y' au moyen de la proposée.
Si les deux résultats donnent la même équation entre x et j, ce sera l'équation primitive singulière; sinon ce sera une marque que la proposée n'admet pas d'équation primitive de cette espèce.
Lorsque les deux fonctions/'(y) et/'(^, j) ont un facteur commun, ce facteur égalé à zéro remplit les deux conditions, et donne l'équation primitive singulière par l'élimination de y', au moyen de la proposée : c'est le cas où celle-ci est de la forme
comme nous l'avons vu au commencement de cette Leçon. Il y a, au reste, une forme plus générale que celle-ci, où la dérivée est toujours décomposable en deux facteurs dont l'un donne l'équation primitive singulière; nous en parlerons plus bas.
L'équation du premier ordre
y' -[x- — b) — 2 xyy' — x'^ = o,
qui est la même que nous avons considérée au commencement de cette Leçon, mais multipliée par j'^, a pour dérivée
2[j'(x2 — 6) — xy^y" — i [yy' -\-x) — o.
On voit ici que les deux fonctions y\x- — h) — xy et jj'-h x n'ont aucun facteur commun; cependant, si on les fait chacune séparément égale à zéro, elles donnent ces deux valeurs de y', savoir.
xy
deux-ci
et ;, qui, étant substituées dans la proposée, donnent ces
lesquelles se réduisent à la même, savoir,
Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l'avions déjà trouvé.
Je remarque maintenant que l'équation du premier ordre
ayant pour dérivée
donne en général
^ ~ f'ir')
Mais nous venons de voir que, dans le cas de l'équation primitive singulière, on a séparément
donc on aura, dans ce cas,
ce qui donne cette règle générale et fort simple pour trouver l'équation primitive singulière de toute équation du premier ordre lorsqu'il y en a une.
Cherchez, en prenant les fonctions dérivées, la valeur de la fonction seconde y", et supposez-la égale à zéro divisé par zéro, vous aurez deux équations en x, y et y', qui, étant combinées avec la proposée, donneront, par l'élimination de y', deux autres équations en x et y. Si elles ont un facteur commun, ce sera l'équation primitive singulière de la proposée.
On peut appliquer ce procédé à l'exemple que nous avons traité ci-dessus.
Soit encore l'équation du premier ordre
( xf' — y)[ xy — 2 j) + ^^ = o ; sa dérivée sera
xl^ixf — '^y']'y'' — xy'- 4-/'/'+ "^x- =: o, d'où l'on tire
x[ixy'~ly]
Faisant cette expression = -, on aura les deux équations
xy^ — yy' — 3 :r- = o, 2 xy' — 3^-' = o,
d'où il faudra éliminer j' par le moyen de la proposée, La seconde donne
^ - ix'
cette valeur, substituée d'abord dans la première, donne celle-ci
et, substituée dans la proposée, elle donne
— —. — f- ar^ = o;
ces deux équations se réduisent, comme l'on voit, l'une et l'autre à celle-ci
qui sera, par conséquent, l'équation primitive singulière de la proposée.
On peut s'en assurer, en effet, par l'équation primitive qui est
x"y — ax = 0,
où a est la constante arbitraire. Sa dérivée relative à a sera
laquelle donne
a- ■^:^ X et a ^ v^;
et l'équation primitive devient, par la substitution de cette valeur,
y — IX \Jx = o, ou >'- — ^x^ =■ o;
la même que nous venons de trouver.
Il est facile de voir, par l'expression générale de y", que non seulement cette expression devient- en vertu de l'équation primitive singulière, mais que les expressions des fonctions suivantes r'", j'^, . . . deviendront aussi - en les réduisant d'abord en simples fonctions de y',
y", ..., tirées de l'équation proposée, et substituant ensuite la valeur de y en x, donnée par l'équation primitive singulière.
On peut regarder cette propriété de l'équation primitive singulière comme son vrai caractère distinctif; et l'on peut se convaincre d'ailleurs que son existence dépend, en effet, de ce que les valeurs des fonctions y", y'", • • • des ordres supérieurs à la proposée demeurent indéterminées.
Car, si ces valeurs ne devenaient pas indéterminées dans le cas de l'équation primitive singulière, on pourrait, dans ce cas même, employer la formule générale donnée dans la Leçon XII
dans laquelle j", j"', j"", . , . sont les valeurs qui répondent à a? = o; et la quantité j", qwi est la constante arbitraire, recevrait alors une valeur particulière dépendante de cette équation; de sorte que la valeur de y en x, au lieu d'être une valeur singulière, ne serait plus, contre l'hypothèse, qu'un cas particulier de la valeur générale.
Il arrive donc ici ce qui a lieu dans les formules générales, lorsqu'il
y a des cas qu'elles ne peuvent pas représenter : elles donnent alors zéro divisé par zéro; c'est, pour ainsi dire, le moyen que l'analyse emploie pour échapper aux contradictions; les racines imaginaires n'indiquent pas, à proprement parler, une contradiction, mais une impossibilité.
Cette théorie s'applique également aux équations des ordres supérieurs au premier, et fournit des conclusions semblables.
En représentant par
l'équation primitive du premier ordre d'une équation du second ordre, nous avons vu que celle-ci peut se réduire à
F(^,j,/, cp) =0,
et que sa dérivée sera alors
Or, quelle que puisse être la forme sous laquelle une équation proposée du second ordre pourra se présenter, comme, en dernière analyse, elle doit toujours être le résultat de la même élimination qui donne l'équation
il s'ensuit qu'elle ne pourra être que celle-ci multipliée par une fonction quelconque du même ordre ou d'un ordre inférieur. Ainsi, si l'équation proposée est
f{x,jr,x',y")=o, on aura nécessairement
M étant une fonction de ce, y, y' , y".
De là, en prenant les fonctions dérivées, et mettant F'((p).cp' pour Y'[x, y, y' , <!^), on aura, comme plus haut, l'équation
D'où il est aisé de conclure que l'on pourra satisfaire à la dérivée
de la proposée, indépendamment de la valeur de la fonction tierce j'", au moyen des deux équations du second ordre
F'(<p) = o, et f{x,f,f,x") = o,
dont la seconde est la proposée; et qu'on aura l'équation primitive singulière de celle-ci, en éliminant y" des mêmes équations. Or, la dérivée de la proposée étant de la forme
on n'y peut satisfaire, indépendamment de la valeur de y'", que par les deux équations séparées
/'(/') = o, et f'{x,r,r'] = o.
Il faudra donc éliminer y" de chacune de ces deux équations, au moyen de la proposée
et, si les deux résultats donnent une même équation, ce sera l'équation primitive singulière de la proposée.
On voit, en même temps, que puisqu'on a, en général,
les deux équations dont il s'agit rendent la valeur de y'" égale à -; de
sorte que l'on peut regarder la condition de y'" = - comme «elle qui
détermine l'équation primitive singulière de la proposée du second ordre.
En appliquant les mêmes principes aux équations d'un ordre quelconque fi'"'"'-', on en conclura que, pour trouver son équation primitive singulière, si elle en a une, il faudra tirer de sa dérivée la valeur de la
fonction y'"^'^ de l'ordre suivant, et la faire =-? en égalant séparé-
o ment le numérateur et le dénominateur à zéro, et éliminer ensuite de ces deux équations la fonction y' au moyen de la proposée.
Si ces deux éliminations donnent un même résultat, ce sera l'équation cherchée.
Nous avons vu plus haut que l'équation du second ordre
a pour dérivée une équation résoluble en facteurs dont l'un, qui n'est que du second ordre, donne sur-le-champ l'équation primitive singulière par l'élimination de j". Mais, si la même équation était proposée
sous la forme
xy"- — "^y'y" + x =zo,
sa dérivée
^.[xy" — y')y"' — j"2 + i = o
ne présenterait plus de facteur.
Or elle donne
Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur, on a ces deux équations
y"'- — ! = o et xy" — j-' = o.
La première donne y" =±i; ce qui, étant substitué dans la proposée, donne
i[xzhy')=^o ou y- — x-=io..
La deuxième donne
dont la substitution dans la proposée donne
— - 1-^ = 0, savoir, r''^ — x'^^=o.
Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l'avons déjà trouvé.
Considérons encore l'équation du second ordre
r-^y+^r"-ir'-^r"y'-r"'^o.
Prenons les fonctions dérivées pour avoir la valeur dey'"; on trouvera
c'est-à-dire.
d'où l'on voit que y'" deviendra - en égalant à zéro le facteur par lequel
il est multiplié.
On aura ainsi cette seule condition
