j' — xy" ) X — ly" = o
d'où l'on tire
Cette valeur, étant substituée dans la proposée, donnera l'équation
quelle se réduit tout de suite à celle-ci
•^ ai + ^-r i6li-hx-)
L'équation du troisième ordre
[^ + 2 ( J' - Xf ) X - 2/' J /" = O,
que nous venons de trouver pour la dérivée de la proposée du second ordre, donne naturellement
d'où l'on tire successivement, par les fonctions primitives,
y = a, x' ^ ax -T- b
et
a, b, c étant des constantes arbitraires, relativement à l'équation
mais, comme la proposée n'est que du second ordre, elle aura une constante arbitraire de moins; et, en y substituant les valeurs précédentes de y y y, y, elle devient
ce qui donne c=:^a^-\-b-, de manière que l'équation primitive en x et r devient
y=z-x-^bx'^a--v- b-,
comme on l'a vu plus baut.
Ainsi, dans ce cas, les deux facteurs de la dérivée de l'équation proposée donnent directement, l'un, l'équation primitive singulière du premier ordre; l'autre, l'équation primitive en x et y, comme nous l'avons déjà vu ci-dessus dans un autre exemple.
Nous avons vu, au commencement de cette Leçon, que l'équation dérivée d'une équation primitive
peut être représentée par
où 9 est mis pour 9(,r, j, y'), cette fonction étant la valeur de a, tirée
(le l'équation prime
et nous avons vu en même temps que l'équation primitive singulière rend la fonction F'(9) nulle.
Supposons, ce qui est toujours possible, que l'équation dérivée proposée soit réduite h la forme
donc, si, dans l'équation
on substitue à la place de y' sa valeur —f[x,y), elle deviendra nécessairement identique; par conséquent ses deux équations dérivées, relatives l'une à a? et l'autre à y, auront lieu chacune en particulier. On aura donc ainsi, puisque la quantité y' n'est contenue que dans la fonction 9, ces deux équations, dans lesquelles F'(^), F'(j) et F'('p) dénotent, comme à l'ordinaire, les fonctions dérivées de F(^, j, 9), prises relativement à x^ y et 9,
F'(^)-F(9)9'(/)/'(^) = o, F'(j)-F(cp)9'(/)/'(j) = o,
d'où l'on tire
Or l'équation primitive singulière rend
donc elle rendra infinies les deux fonctions /'(^i?) et /'(y).
Ce qui fournit un caractère fort simple pour reconnaître si une valeur qui satisfait, sans constante arbitraire, à une équation dérivée donnée, est une valeur singulière ou simplement un cas particulier de la valeur générale.
Cette propriété peut servir aussi à trouver les valeurs singulières dont une équation dérivée est susceptible; car, si l'équation qui rend
/'(.z) et/'(j) infinies satisfait en même temps à la proposée
elle en sera l'équation primitive singulière. L'équation
slx--^y-— b—x
qu'on a déjà considérée plus haut, donne
d'où l'on tire
y/x- + j- — /> — y sJx- +/•- — b{^x- -+- y- ~ b — y}'
\Jx- -+- y- — b{ sjx''^ + y- — b — y) Ces deux quantités deviennent infinies par la supposition de
\Jx- -+- y- — b — y =: o,
ainsi que par celle de
\Jx-^-{-y^ — b = o;
la première donne
valeur qui ne peut satisfaire à la proposée qu'en faisant
la seconde donne
équation qui satisfait à la proposée, et qui en est, par conséquent, l'équation primitive singulière, comme on l'a déjà vu plus haut.
Appliquons la même théorie aux équations du second ordre; on a vu qu'elles peuvent être représentées par
F'(^,j,/, cp) = o, en supposant que
soit l'équation primitive du premier ordre, et que cp ou (p(x, y, y') soit la valeur de a tirée de l'équation prime
On a vu, en même temps, que l'équation primitive singulière est
donnée alors par l'équation
Supposons maintenant que l'équation proposée soit réduite à la
forme
Donc, si dans l'équation
F'(.îf^,r,r'»9) = o
on substitue pour j" sa valeur —/{x, y, y'), on aura une équation identique dont, par conséquent, la dérivée aura lieu par rapport à chacune des variables œ, y, y' en particulier.
Ainsi, comme la fonction y" n'est contenue que dans la fonction cp, on aura ces trois équations :
d'où l'on tire
L'équation primitive singulière étant donnée par l'équation
F'(?) = o, il s'ensuit qu'elle rendra infinies les trois fonctions dérivées /'(a;),
En général, on pourra prouver de la même manière que, si l'on a une équation de l'ordre w"'™^, réduite à la forme
son équation primitive singulière rendra infinies les fonctions dérivées f\jc),f'[y),f'[y'), . . ., jusqu'à la suivante inclusivement, /'(y'"~''). Pour confirmer, a posteriori, ce que nous venons de démontrer, considéroiis une équation du premier ordre, telle que
à laquelle satisfasse une valeur singulière de y, que nous désignerons par X, fonction de x.
On aura donc, par l'hypothèse,
et, pour que la valeur X ne soit pas comprise parmi les valeurs de y, données par l'équation primitive, il faudra qu'en supposant, en général,
z étant une nouvelle variable, la valeur de z, tirée de l'équation primitive ordinaire, ne puisse jamais être nulle. Substituons donc X -h s au lieu de y dans l'équation proposée; on
aura
Développons la fonction /(j?, X -h 2) suivant les puissances de z ; on aura généralement, en rapportant les fonctions dérivées à la seule variable X,
/(^,X-l-.)=/(^,X) + z/'(X) + ^/"(X)+...; donc, faisant cette substitution, on aura, à cause de
l'équation
qui sert à déterminer s en oc.
Or, si la quantité z pouvait devenir nulle, elle pourrait aussi être très petite.
Supposons-la d'abord très petite, et cherchons-en la valeur par appi'oximation.
Pour cela, on négligera d'abord, vis-à-vis du terme qui contient z, les suivants qui contiennent z^, z^, ..., comme étant beaucoup plus petits, et l'on aura, pour la première approximation, l'équation
laquelle, étant divisée par z, a pour équation primitive
lz-^Xz= /f ,
en prenant X pour la fonction primitive de/'(X), prise par rapporta la variable a-, dont X est une fonction donnée, et k pour une constante arbitraire; de là on tire
z = e = e''.e = ae , en faisant a = e*.
Ayant ainsi la première valeur approchée de z, on la substituera dans les termes négligés, et l'on pourra trouver une seconde valeur plus approchée, et ainsi de suite.
De cette manière, la valeur de z contiendra la constante arbitraire a, et elle deviendra nulle en faisant a = o; par conséquent, X ne sera pas une valeur singulière, contre l'hypothèse.
On doit conclure de là que, pour que X soit une valeur singulière non comprise dans la valeur générale, il faut que le développement de /{ce, X-h z) contienne d'autres puissances de z que les puissances entières et positives.
Supposons donc que ce développement donne, en général,
f{x, X-hz]= f[x, X) + Pz"' + Qz" H- . . . ,
m, n, ... étant des nombres quelconques qui vont en augmentant, et P, Q, . . ., (les fonctions de ar; on aura l'équation en :;
:;' + Ps'«+ Q2« + . . . = o.
On aura donc aussi, pour la première approximation,
équation qui, étant divisée par s'", a pour équation primitive
en prenant V pour la fonction primitive de P, et k pour la constante arbitraire.
Or, pour que X soit une valeur singulière de y, il faut que la valeur :; = o, qui y répond, ne puisse pas être contenue dans cette équation, en donnant à k une valeur quelconque constante.
11 faut donc que l'exposant i — m de z soit un nombre positif; car, s'il était négatif, :;' '" deviendrait infini lorsque z = o, ai répondrait à la supposition de k infini.
S'il était nul, on aurait le cas que nous venons d'examiner, où m^^i, et où ô = o répond aussi à k infini.
Au contraire, lorsque i — m est positif, 3 = 0 donne aussi
et l'équation devient alors
laquelle ne peut pas subsister, parce que la valeur de k ne serait plus constante.
Donc, pour que X puisse être une valeur singulière de j, il faut que le développement de/(^, X + s) contienne une puissances'" dans laquelle m < i .
En considérant la fonction /(ir,j), son développement, lorsqu'on y met j 4- 3 à la place de y, est, en général, f[x,y) 4- ^ /'{y) + . . . ; donc, suivant la théorie que nous avons exposée dans la Leçon hui- X. 28
tième, pour que ce développement donne, dans le cas de j= X, une puissance de z moindre que la première, il faudra que, dans ce cas, la valeur de/'(7), c'est-à-dire de/'(X), devienne infinie. Or l'équation proposée donne
et, prenant les fonctions dérivées,
donc
Par conséquent on aura, lorsque j' = X,
/'(j)=oo et /'(^)=co,
comme nous l'avons trouvé par la nature même des équations dérivées. Dans l'exemple ci-dessus, où
\jx'^ -\- y'^ — b ^ y
la valeur singulière de y est sjb —oc^; ainsi
et substituant sjb—œ'^-+-z à la place de y, la fonction dont il s'agit devient
V 2 Z \Jb — X--+- z- — \/b — x- — z laquelle, étant développée suivant les puissances de z, donne
où l'on voit que le second terme du développement contient la puissance s/z, dont l'exposant - est moindre que l'unité.
D'ailleurs, nous avons déjà vu que les valeurs de f'[y) et /'(a?) deviennent infinies lorsque
L'analyse par laquelle nous venons de prouver que le développement de/(.r,j + G) doit contenir une puissance de s moindre que la première, lorsqu'on donne à y une valeur singulière, est due à Euler, qui a donné ainsi le premier critère général pour reconnaître si une valeur, qui satisfait à une équation différentielle, est ou non une valeur singulière non comprise dans l'intégrale. [Voyez le premier Volume de son Calcul intégral, Problème 72.)
Il restait à déduire de là la règle que, dans ce cas, la valeur de f'[y) devient nécessairement infinie; c'est ce que Laplace a fait depuis dans le Mémoire déjà cité sur les solutions particulières des équations différentielles, imprimé dans le Recueil de l'Académie des Sciences, pour l'année 1772.
