LEÇON SEIZIÈME
EQUATIONS DERIVEES QUI ONT DES EQUATIONS PRIMITIVES SINGULIERES DONNÉES. ANALYSE d'une CLASSE d'ÉQUATIONS DE TOUS LES ORDRES QUI ONT TOUJOURS NÉCESSAIREMENT DES ÉQUATIONS PRIMITIVES SINGULIÈRES.
Si les équations primitives singulières ont moins d'étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu'elles ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu'une même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d'équations dérivées; et c'est un problème indéterminé de trouver une équation dérivée qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme ce problème est curieux, et qu'il peut être utile dans plusieurs occasions, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complément à notre théorie des équations primitives singulières.
Représentons par
une équation primitive entre x, y et deux constantes a et b, dont l'une soit une fonction quelconque de l'autre, ou qui dépendent, en général, l'une de l'autre par l'équation
On aura l'équation dérivée qui en résulte, en éliminant ces deux constantes au moyen des trois équations
Y[x,y,a,b)^o, Y[x,x) = o, A^[a,b)=zo.
Donc, si l'on tire des deux premières les valeurs de a et è en fonctions de X, y, y', et qu'on désigne ces valeurs par
(f[x,x,y] et ^{x,x,j'],
on aura l'équation dérivée en substituant ces fonctions à la place de a et b dans l'équation de condition
Ainsi, en mettant simplement 9 et i pour les fonctions dont il s'agil,
l'équation dérivée sera
ct)(9,^) = o.
Donc, réciproquement, toute équation dérivée de cette forme aura
pour équation primitive
les deux constantes aei b étant liées par l'équation
$(«,&) = 0; et l'on aura en même temps les deux équations
Donc toute valeur de y en x qui satisfera à la même équation
et qui ne rendra pas les fonctions cp et (|/ constantes, ne pourra pas être comprise dans l'équation primitive générale, et sera par conséquent une valeur singulière.
Soit
cette valeur singulière, 2 (.z-) étant une fonction donnée de ^; en substituant 2(^) et l'{o^) au lieu de y et y' dans les fonctions 9 et (L, elles deviendront de simples fonctions de ce; et, éliminant x entre elles, on aura une équation 9 et 'h, qu'on prendra pour l'équation
ainsi l'équation
satisfera à l'équation
mais, ne rendant pas les fonctions 9 et 'h constantes, elle ne sera pas comprise dans l'équation primitive générale, et ne sera, par conséquent, qu'une équation primitive singulière. La solution se réduit donc à ceci : soit
la valeur singulière donnée de y, en fonction de oc. Ayant pris une équation quelconque
en X, y et deux constantes a et b, de cette équation et de son équation
dérivée
on tirera les valeurs de « et Z> en fonctions de x, y, y'; on substituera dans ces valeurs 2(a;) et ^'(-i^) à la place de y et y' , on aura deux équations qui, par l'élimination de x, en donneront une en a et b, que je représente par
Si maintenant on substitue dans cette équation à la place de « et ^ leurs premières valeurs en fonctions de x, y, y', on aura l'équation dérivée dont
sera l'équation primitive singulière, et dont
Y[x,x,a,b)=zo
sera l'équation primitive ordinaire, les constantes a et b étant l'une fonction de l'autre déterminée par l'équation
Prenons, par exemple, l'équation
j2 ax- — b = o;
son équation dérivée sera
yj'—ax — o;
et l'on tire de ces deux équations
Supposons maintenant que l'on ait l'équation primitive singulière
f — Ax — B = o;
elle donne
y 7=1 Ax -+- B, donc
j2 A2^2 + 2 AB^ '}- B2,
et
jj' = A2jr + AB;
de sorte que, par ces substitutions , les valeurs de a et ^ deviendront
a = A--\ •> b = AJix -hB-;
d'où l'on tire, en éliminant x, cette équation en a et h,
savoir,
ah-B'-a — A-h = Q.
Donc, substituant ici les premières valeurs de a et 6 en a?, j, y' , on aura l'équation du premier ordre
^[r--xyy')-B'^-^-A'^[r''- xyf]=o,
dont celle-ci
sera l'équation primitive singulière.
Son équation primitive ordinaire sera
y- — ax- — b ^ o,
en supposant entre a et ^l'équation ci-dessus
fie sorte que, comme cette équation donne
a — Al'équation primitive sera
r- — ax- — Tô =^ o>
■^ rt — A-
a étant la constante arbitraire.
En effet, si l'on cherche l'équation primitive singulière d'après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à a,
o; d'où l'on tire
Substituant cette valeur dans la même équation, on aura
f-^ A-x-zp -lAHx — B-= o,
ce qui donne
X = '±.Ax±B,
où les signes ambigus sont à volonté.
En général, il est facile de voir qu'on aura le même résultat
en substituant d'abord, dans l'équation supposée
F{x,f,a,b) = o, la valeur donnée
et éliminant ensuite x par le moyen de son équation prime, relative
Or. si l'équation
donne
et qu'on substitue cette valeur à la place de b, il s'ensuivra que l'équation
aura lieu en même temps que son équation prime relative à x. Mais, a étant alors une fonction de a--, l'équation prime relative k x et a doit avoir lieu; donc la partie relative à a aura lieu aussi en particulier; ce qui est le caractère de l'équation primitive singulière.
Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en x, y, a et h, il n'y aura qu'à éliminer j au moyen de l'équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer x par celle-ci et par son équation prime relative à J7; on aura sur-le-champ une équation en a Qi h qui sera l'équation de condition
par laquelle il faudra déterminer l'une des deux constantes a onb par l'autre. Ensuite on pourra, d'après la même équation primitive, chercher, si l'on veut, l'équation dérivée par l'élimination de la constante arbitraire.
Dans l'exemple précédent, en substituant Aa; -+- B pour y dans
l'équation
y- — ax- — b = o,
on a
(A^— a):r2 + 2ABjr + B2- b = o,
dont l'équation prime est
(A2— a)^ + AB = o;
celle-ci donne
AB
et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-champ l'équation de condition
(A2-fl){B2-Z>)— A2B2=o,
comme plus haut.
En prenant d'autres équations en x, y, a et b, et opérant de la même manière, on trouvera autant d'équations du premier ordre qu'on voudra, dont la même équation
sera l'équation primitive singulière.
On voit aussi que la même équation en x, y, a eih pourra donner telle équation primitive singulière qu'on voudra, suivant la relation qu'on établira entre les constantes a et h.
Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes a, b d'une équation donnée en x, y, a et b, pour que cette équation soit l'équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.
On peut appliquer la même méthode à la recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l'équation primitive singulière sera donnée.
Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par
On prendra une équation quelconque en x, y, et trois constantes arbitraires a, b, c.
On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde les valeurs de a, b, c en fonctions de x, y, y' et y".
On substituera dans ces fonctions les valeurs de y' et y" en x et j, tirées de l'équation primitive donnée, c'est-à-dire — f{^,y) à la place de y', et —/'{x) +f'{y)f{oc,y) à la place de y"; on aura a, b, c exprimées en fonctions de x et y, ce qui donnera trois équations, d'où, éliminant x et y, il résultera une équation en a, b, c, que je représenterai par
(î>(rt, b,c) — o.
Cette équation, en y substituant les premières valeurs de a, b, c en fonctions de x, y, y', y", sera l'équation du second ordre dont la proposée
sera l'équation primitive singulière, et l'équation en oc, y, a, b, c en sera l'équation primitive en^et j, en supposant entre les trois constantes a, h, c la relation donnée par l'équation
Si l'équation singulière donnée était du second ordre, on prendrait une équation en x et j, et quatre constantes a, b, c, d, et ainsi de suite.
Supposons que l'équation primitive singulière soit
y' = A r, et prenons l'équation
Y X- — bx — c = o,
d'où l'on tire les deux dérivées, prime et seconde, /' — ax — b = o, y" — a = o ; ces trois équations donnent
a^y'' , b ^=^y' — xy", c =zy — xy' + ' y" .
Mais la proposée donne
y' = A j, y" =ky'— A^j ;
donc, substituant ces valeurs, on aura
/ A2 \ a = A^j^-, b zz^ ky[\ — A.r), c=:j(i — k.x -\ x'^\.
Eliminant ^et y, on trouve l'équation
a- + k- [b- — Q.ac) := o,
dans laquelle, en substituant les premières valeurs de a, b, c, il vieni l'équation du second ordre
y"- — ik-yy" -{- k-y'-^=o, dont la proposée y' =z Xy sera l'équation primitive singulière, et
l'équation supposée
y X- — bx — c = o
sera l'équation primitive en x et 7, en supposant l'équation
rt- + A- ( 6- — 2 ac ) = o ; de sorte que, comme cette équation donne
on aura
y X- — bx — — — 7— = o ,
•^ 1 ' zA-a
a et b étant les deux constantes arbitraires. Les équations de la forme
<î>(rt, b, c, . ..] = o,
que nous venons de considérer, dans lesquelles les quantités a,b,c, ... sont les valeurs en x, y, y', ... des constantes a, b, c, .. ., tirées d'une équation primitive
Y[x,y,a,h,c, . ..) = 0 et de ses dérivées
constituent une classe remarquable d'équations dérivées qui ont toujours une équation primitive singulière, parce que la dérivée d'une équation de cette classe a nécessairement un facteur du même ordre que l'équation.
Pour le démontrer, soit d'abord
une équation quelconque en x, y et deux constantes a et b.
En regardant ces constantes comme arbitraires, l'équation dont il s'agit sera la primitive d'une équation du second ordre en x, y, y' etj" , qui résultera de l'élimination de a et b au moyen des deux équa-
lions dérivées
et cette équation pourra toujours, comme nous l'avons vu, se mettre sous la forme
Maintenant, si l'on commence par tirer les valeurs de a et b des deux
équations
¥{x,j',a,b] = o ei F'(^,j) = o,
et que ces valeurs soient représentées par les fonctions
il est clair que les deux équations
a = o[x,x,y) et b = d>[x,x,f),
où a et b sont des constantes arbitraires, seront les deux équations primitives du premier ordre de l'équation précédente
/'+/(jc,j,j') = o;
par conséquent, leurs dérivées
o'{x,r,r')—o et '\,'{x',x,y)=:o
devront coïncider avec cette même équation, en donnant la même valeur de y" en oc, y et y' .
Or
et
suivant la notation abrégée que nous avons adoptée; donc on aura
expressions dej", qui seront nécessairement identiques. On aura donc
o'[x,y)= 9'ir')f{^>r>r')>
par conséquent, si l'on substitue ces valeurs dans les expressions précédentes des fonctions dérivées 9'(^, j, y'), '\i'{a-,y,y), c'est-à-dire de a' et b', et, regardant maintenant a et b comme fonctions de œ, y, y', on aura
b'='Y[r')ir"-^fi^,r,r')l
Cela posé, soit <E>(r/,/y)=o une équation du premier ordre; sa dérivée sera
et, par la substitution des valeurs de a', b' qu'on vient de trouver, elle
deviendra
[9'(j)cî>'(a) + ^'(/)<ï>'(6)][/' + /(^,j,/)]=.o.
Cette équation a, comme l'on voit, deux facteurs, l'un qui n'est que du premier ordre, comme l'équation proposée; l'autre qui contient y, et qui donne proprement l'équation dérivée du second ordre.
Celui-ci donne l'équation
de laquelle résultent
par les formules trouvées plus haut, de sorte que les fonctions a et b seront constantes.
Prenant donc a et b pour des constantes arbitraires, on aura ces deux équations primitives du premier ordre
d'où, éliminant la fonction dérivée j', on aura une équation en oc, y, a et b, qui sera l'équation primitive de la proposée, et qui sera évidemment la même que l'équation
'¥[x,y,a, 6) = o, d'où l'on avait déduit les fonctions ^[oc,y,y) et 'i^{œ, y,y').
Mais il faudra que les constantes a et Z» de cette équation satisfassent à la condition
donnée par l'équation proposée; ce qui les réduira à une seule, qui sera par conséquent la constante arbitraire de l'équation primitive ûv la proposée.
Le facteur du premier ordre
donnera, de son côté, l'équation en œ, y et y',
en supposant qu'on y mette pour a et b leurs valeurs (f{x,y,y') et <\i{x,y,y'); et cette équation, d'après la théorie exposée dans la Leçon précédente, donnera sur-le-cliamp l'équation primitive singulière de la même équation proposée, en éliminant/' par le moyen de ces deux équations.
Or il est facile de voir que, si l'on représente par
la fonction donnée ^{a, b), dans laquelle
et
le facteur dont il s'agit se réduira simplement à ^'{y), puisque les expressions ^'{y') et 4''(j') ne sont que les fonctions dérivées de a et b, prises par rapport à y' seule.
Ainsi on aura la primitive singulière de l'équation
dans le cas où elle est réductible à la forme
en éliminant r' de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à y seule.
En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l'on a une équation du second ordre, représentée par
dont le premier membre puisse être une fonction quelconque 4'(a, b, c) de trois fonctions a, b, c, déterminées par une équation quelconque
F[x,y, a, b, c] =: o entre œ, y, a, b, c, et par ses deux équations dérivées
prises en regardant a, b, c comme constantes, l'équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l'élimination de j", au moyen de son équation dérivée
relative à y".
Et l'on aura l'équation primitive en x et r, par l'équation même
en prenant les constantes a, b, c de manière qu'elles satisfassent à
l'équation donnée
de sorte qu'il en restera deux d'arbitraires.
Et de même pour les équations des ordres supérieurs.
Prenons l'équation
