X -+- ix, y devient par là

y+ixy -t- ~^y -i-..-.

De la même manière, y, qui est aussi fonction de x, deviendra

y + ixy'^-~y"-i-...,

vos LEÇONS SUR LE CALCUL

et V deviendra

Donc l'accroissement total de r sera exprimé par

/ (j -+- arx'] H- ^ Cr -+- 2x/ -h-x-'y']-h...,

où l'on voit que y -j-xj', y -+- 2irj' f- a^'^j", ... sont les variations totales de j, dans le cas où l'on a égard à la variation ce de .r.

Désignant, pour un moment, ces variations par (y), (y), ..., pour les distinguer des variations y, y, ... qui ont lieu lorsque oc est nul, on aura

donc

et, prenant les dérivées par rapport à x,

Ce sont les valeurs qu'il faudra substituer à la place de y, y', y", ... dans la variation V prise en regardant a:- comme invariable. Donc, si l'on a égard à la variation de x, l'expression de V trouvée ci-dessus deviendra, en mettant simplement y au lieu de (y),

N(r— r'-^f) -hV[y~y'x)' + Q[y-r'x)"-v-¥.[y-fx-]"'-^ . . .+ (V;c)'.

Ainsi les termes de la transformée, qui seront multipliés par les variations y etx, sans être des dérivées exactes, seront simplement

(N P' + Q"-.lV" + ...)(j^-/x),

d'où l'on voit que l'équation générale

trouvée d'après la seule variation de y, satisfait en même temps à la variation de x. Donc cette variation n'influera que sur l'équation aux

DES FONCTIONS. VOÎ)

limites T, ~i\^o, dans laquelle il faudra ajouter à la valeur de Ù le terme \a\ et y changer j en v— y'a-.

On peut parvenir au même résultat d'une manière moins simple, mais plus directe, en considérant immédiatement les variations de .v et de ses dérivées.

Pour cela, il faut d'abord dépouiller la fonction V de la sup{)osition de ^•'= I, pour pouvoir tenir compte des variations de .t', r", .. ., ce qui se fait en substituant, comme on l'a vu dans les Leçons précé-

dénies, — au lieu de y', ——/— au lieu de y", et ainsi de suite, en multipliant la fonction V par x' pour qu'elle puisse être la fonction dérivée de U.

Soit, pour abréger,

il faudra dans V substituer p, q, /•,... à la place de y' , y", y'", . . .;

moyennant quoi cette quantité deviendra fonction dey,/;, y et

l'on aura la dérivée

\' = Mx' + N/ + Vp'+Qq' + l\r'-h. . . ,

qui se réduit à

\'=z (M + N/> H- P^ H- Qr + lu -f- . ..]x\ et la variation

V = Mi: -4- Nj -h P/) -;- Q ry -i- Il r -|-

Ainsi tout consiste à trouver les valeurs des variations/;, q, r, .... Or, p étant = ~, on aura

■ y y^x' y' — px' __ [r ~ px)' + f)' X (;■ ~ px]'

îÂf tX- " wV vC ^Xf

à cause de^ = v-

On peut faire ici x' — i, et l'on aura simplement

De même, a étant — — ,? on aura

■ p' p'x' __ />'— g. y' __ If} ^ r/.rY+ q' x [p — qx]'

J ,yr,l ^y^r • Art' A(. yy'

Mais la valeur de p donne

p-qx = [y~px)'\

donc, faisant cette substitution, et supposant x' — \, ce qui est permis

ici, il viendra

'q = [r — px]"+vx.

On trouvera de la même manière

r^={y — px)" + ^x, et ainsi de suite.

Par ces substitutions, la variation V deviendra

(M4-P^-t-Qr + Ri + ...)^ + Nr+P(j-/;^)'+Q(j-/^x)" + R(/-/;^)"'+... = (M + N/? -t- P^ + Qr + R5 + ...)^

+ N [y - px) + P(r - p^y + Q(r - p^y + iM.r - /'^■j'" + • • • • Or on a trouvé ci-dessus

M + N/7 + P(/ +Q/-4-.. .=zz X-;

d'ailleurs /? — —,; donc, faisant ces substitutions et supposant icia:'= i , on aura simplement

C'est la valeur complète de la variation de Y, déduite des variations de a; et de j et de leurs dérivées.

Mais on a vu qu'il faut mettre V^' à la place de V; donc on aura V.r'-r-Vx' à substituer à la place de V dans les formules données plus

haut; donc, mettant ici la valeur de V qu'on vient de trouver, et observant que

on aura, en faisant x' ~ r, le même résultat auquel on est parvenu cidessus par une autre voie.

Au reste, en regardant la quantité V comme une fonction de ao, y et de leurs dérivées x', x", ..., y, y", ..., on pourra traiter les variations de X comme on a fait celles de y.

Dans ce cas, la fonction V étant représentée par

j yXf X , X , . . . , y , y , y ,...j,

on trouverait les termes

xf'[x) + x' f'{x' ) + x"f'[x") H- . . .

à ajouter à la variation Y; et, en désignant ces termes par la formule

nx -h px' -\- qx" -h rx"' -)-...,

on parviendrait, par des opérations relatives à la variation x et analogues à celles qu'on a employées pour la variation j^ à la transformée

De sorte que la partie de la valeur de V qui ne serait pas une dérivée exacte serait

(N — P' -^ Q" — R"'-t- ...]y-v-[n-p'-hq"— r'" -t- . . .)^-

Lorsque y est censée une fonction de x, et qu'on peut par conséquent faire x'= i, nous venons de voir que la variation simultanée de X et de y donne, pour la partie de V qui n'est pas une dérivée exacte, la formule

Il faut donc alors que la formule précédente coïncide avec celle-ci, et que l'on ait par conséquent

hl2 LEÇONS SUR LE CALCUL

D'où l'on voit que l'équation

« — p' -\- q" — /•'" + . . . = o, que donnerait la variation de x, est toujours équivalente à l'équation

qui provient de la variation de y.

En effet, nous avons déjà trouvé par une autre voie, dans la Leçon précédente, que ces équations ont toujours lieu à la fois.

Un des avantages du calcul des variations est de pouvoir faire varier indistinctement les indéterminées x ou y et leurs différentielles; et l'identité des équations du maximum ou minimum, déduites de l'une et de l'autre de ces variations, a été un des premiers résultats de ce calcul auquel les anciennes méthodes n'auraient pu conduire. Mais les démonstrations qu'on en a données dans le second et le quatrième Volume des Mémoires de Tarin (' ) sont moins directes que celle qui se déduit des formules qui représentent cette double variation, et que nous venons d'exposer d'après Euler. Voyez le Tome III de son Calcul intégral.

Considérons maintenant le problème dans toute sa généralité, et d'abord, soit, comme ci-dessus,

• V =/(^, j,r', /',;■'", ...); on aura

Soit, de plus, pour abréger,

(') Œuvres de Lngrange, t. I, p. 335, cl t. II, p. 37.

DES FONCTIONS. k\:]

La variation V, dans le cas où .r ne varie pas, sera

V = Yj- + (Yj)'+ (Vy ) + ( Yr"ï + • • -,

où les termes qui ne sont pas sous la forme de fonctions dérivées doivenl s'évanouir, ce qui donne d'abord, comme on l'a vu, l'équation i;énérale Y = o.

Ensuite, ii cause de Y= U', on aura la variation de l,