II. III. I

U = Yjr+ Yj -f- Y x"+... + 7.z-\-lz' + Z 2" + ...;

c'est la valeur qu'il faudra substituer dans l'équation aux limites

Ù,- Uo=o.

Si l'on veut que x varie aussi, on changera j et s en y — y'x, z — z' X, et l'on ajoutera à Ù le terme V^.

Reprenons l'équation Yj h- Zs — o. S'il n'y a aucune relation donnée par les conditions du problème entre xeiy, leurs variations seront indépendantes l'une de l'autre, et l'on ne pourra vérifier l'équation dont il s'agit qu'en faisant séparément

deux équations qui serviront à déterminer j et z en fonctions de x.

Mais, si les variables j et z étaient liées par une équation de condition entre x, y, z, que nous représenterons par

il faudrait tirer de cette équation la valeur de z en x et y, et la substituer dans l'expression de V; mais, pour faire usage de l'équation

Y X + Zg = o, il suffit d'avoir le rapport entre les variations j et c ; et pour cela, il n'y a qu'à considérer que, la relation entre les quantités X, y, z devant subsister aussi dans l'état varié, l'équation

F(,x,y, z.) = o devra avoir lieu aussi en y mettant ^ + t^ au lieu de ^^ et v + ^y+^y + , ^ :;-i-,:; + L,^^.,. .^u jjg^ de j et ::, qiiellc que soit la quantité /. D'où et de ce qui a été démontré dans les premières Leçons, il est facile de conclure que les dérivées de cette équation relatives aux variations de œ, y, z, devront avoir lieu aussi. De sorte que l'équation de condition F^ j, .) ^ o donnera les équations variées

Or, en regardant .x comme invariable, on a

F(^,j, 2)=jrF'(j) + z F'(2),

puisque l'algorithme des variations est le même que celui des dérivées. Ainsi on aura l'équation

rF'{r] + z F'[z] = o,

d'où l'on tire le rapport de j à ., lequel, étant ensuite substitué dans équation Yj + Zc = o du maximum ou minimum, donnera celle-ci

YF'(2)-ZF'(j) = o,

qui, étant combinée avec l'équation de condition ¥{a;y,z] = o, servira à déterminer les valeurs de r et s en ^r.

Nous avons supposé dans le calcul précédent que ^ ne variait pas Si l'on voulait tenir compte des variations de^, on aurait, à la place de l'équation Yy -f- Zz == o, celle-ci

Or l'équation de condition F(.r, y, =) = o donnerait d'un côte l'equation dérivée

et de l'autre l'équation variée

.rF'{a:)-hrF'{r]-hzF'iz) = o;

substituant dans celle-ci la valeur de F'(^), tirée de la précédente, on aura

Et cette équation, combinée avec l'équation ci-dessus, donnera également l'équation

YF'(z)-ZF'(j) = o.

On voit par là, en général, que la variation de a-, x n'influe que sur l'équation aux limites, et nullement sur l'équation générale du maximum ou minimum.

Supposons maintenant, pour embrasser le problème dans toute son étendue, que l'équation de condition entre oc, y, z contienne aussi les dérivées de y et de :; et soit en général de la forme

¥[x,Y,y',y", ...,z,z', z" , . ..]—.o\ on tirera de là l'équation variée

laquelle, en n'ayant égard qu'aux variations de y, z, se développera ainsi :

Comme les dérivées de z ne paraissent dans cette équation que sous la forme linéaire, il est possible d'en déduire l'expression de z, en employant la méthode des multiplicateurs et prenant successivement les fonctions primitives; mais de cette manière on entre dans des calculs longs et compliques, et il est beaucoup plus simple d'employer les multiplicateurs, de la manière dont on a usé dans la Mécanique analytique, qui est toute fondée sur le calcul des variations.

On se contentera donc de multiplier le premier membre de cette équation par un coefficient indéterminé 1, et de l'ajouter à l'expression précédente de la variation V, en ayant soin en même temps de transformer tous les nouveaux termes de manière (jue les fonctions dérivées des vaiiations j et ^ ne se trouvent que dans des fonctions dérivées

exactes, comme on l'a pratiqué à l'égard des termes de la valeur de Y. On aura ainsi une nouvelle expression de V, dans laquelle on pourra maintenant traiter les variations de y et de z comme indépendantes, à raison de l'indéterminée 1.

Soient, pour abréger,

(Y) = l F'ir) - [l F'(/)]'+ [X F(/')r -. . .,

(Y) = AF'(/)--[ÀF'(/')]' + ..^,

(Y).= XF'(j'')----.

Z) = XF'(.)-[XF'(.')]' + [XF(z")]"-...,

{i] = lY'

Les termes à ajouter à l'expression de la variation Y seront

Donc, puisqu'on peut maintenant regarder les variations y et z comme indépendantes, on aura d'abord, par les principes posés ci-dessus, les deux équations générales du maximum ou minimum

entre lesquelles il faudrait éliminer l'indéterminée >;, et l'équation résultante, combinée avec l'équation de condition, donnera les valeurs de r et z en x.

Ensuite la variation U deviendra

Ù = [Y + (Y)]j+[V + {Y)]jr'-K..,

valeur qu'on substituera dans l'équation aux limites

Ù,-Ùo=:0.

Si l'on veut avoir égard en même temps à la variation de a:, on ajoutera à Ù le terme \cc, et l'on changera les quantités j, z et leurs dérivées en y — y'x, z — z'x, et dans les dérivées de celles-ci.

Il faudrait, à la rigueur, dans ce cas, ajouter à la valeur de V le terme \\^x Y{x, y, . ..)]', d'après les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de x' F(.r, j, ...). Ce ternie se transforme en \\xY[x,y, . . .)\ — \'xY[x, y, ...); mais il disparaît ici en vertu de l'équation Y[x,y, . . .) — o. Il faudrait néanmoins le conserver si l'écjuation de condition n'était donnée que par l'équation variée F(ic, j, ...)= o.

Dans l'équation aux limites, on pourra regarder aussi les variations X, y et :;, ainsi que leurs dérivées, comme indépendantes, à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.

Supposons, par exemple, que l'on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités x, y, y', y", . . ., z, z', z" , . . ., rapportées aux deux limites, c'est-à-dire entre les quantités x^,, j'o, j'^,

Vy, . . . , ^0» "^u» -=0' • • •' '^1 ' y* ' J'i ' J'i ' • • • ' *"! ' ""i ' ~-'i^ • • • ■) et que le maximum ou minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui, prises entre les limites données, satisfont à ces conditions; il faudra que les mêmes équations subsistent dans l'état varié, c'esta-dire en y mettant x + «x, J-\- ly -^ —y-+-..., z -h iz -] z -j- . . .

A la place de ^, j, z; par conséquent on aura aussi les variations de ces équations, comme nous l'avons déjà vu plus haut. Désignons par

^(■^o.Jo.r'o' • ■ ■,Zo,z'^, . . .,xt,x,,x\, . . .,z^,z\, . . .) = o

une de ces équations de condition; elle donnera l'équation variée

X, *' (,r„ ) + r, 4)' ( jo ) + z, fl)' ( :;o ) + .r'o «>' (r'o ) + • • • '

On multipliera cette équation et les autres semblables par des coefficients indéterminé^ a, fi, .. ., et on le^ ajoutera à l'équation des limites données ci-dessus, après quoi on pourra traiter toutes les variations

comme indépendantes, et égaler à zéro chacun de leurs coefficients, ce qui donnera autant d'équations particulières aux limites qu'il y aura de ces variations. On satisfera ensuite à ces équations par le moyen des coefficients arbitraires a, p, ... et des constantes arbitraires qui entreront dans les expressions de y, z en œ.

A l'égard des variations z^, z'^, . . ., Zf, z\, . .., il est bon de remarquer que, la fonction z étant donnée par une équation dérivée, si cette équation est de l'ordre n par rapport à :;, les valeurs de z, z', z", . . ., z'-"~^\ correspondantes à une valeur donnée de ce, seront arbitraires et devront être déterminées par les conditions du problème. Ainsi, en rapportant ces valeurs à la première limite, il faudra regarder les quantités z^^, z'^, ,.., r'y"" comme des fonctions données de^t'o, l'o, y'^, ...; donc les variations r:„, z'^^, . . . seront aussi données en fonctions de

■^0, y„, y\ , multipliées par les variations .r,,, Vo, r^,, — Alors les

variations z,, z\, z], ..., qui se rapportent à la seconde limite, seront absolument indéterminées, et il faudra les faire évanouir en égalant leurs coefficients à zéro.

On pourrait demander que la fonction :; donnée par l'équation de condition fût elle-même un maximum ou un minimum. Il n'y aurait alors qu'à supposer \] = z, et par conséquent V = z'.

On aurait donc dans ce cas

Donc

Les équations générales du maximum ou minimum seraient donc

simplement

(Y] = o, fZ) = o, -

On aurait ensuite

L'équation (Z) = o servira à déterminer la variable 1, et l'équation (Y) = o, combinée avec l'équation donnée ¥{x, y,y', ..., z, z', ...) = o, donnera la valeur de y en ce. Soit z^"^ la plus haute dérivée de z qui entre dans cette équation; l'équation (Z)=o sera linéaire et de Tordre n, par rapport à >^ ; la valeur de 1 contiendra donc autant de constantes arbitraires et linéaires aussi, qui serviront à faire évanouir les variations ;^|, z\, . . . dans l'équation des limites; les variations z^, z[^, . . . étant censées données par la nature du problème, comme nous venons de le remarquer.

Il faudra donc déterminer ces constantes de manière que l'on ait

i + (Z,) = o, (Z,) = o, [i\] = o, et l'on remplira ces conditions en faisant simplement

et de plus

Ceci revient à la solution donnée dans le Tome IV des Mémoires de Turin ( ' ) .

En général, soit V une fonction quelconque des variables x,y, z, /, ... et de leurs dérivées d'un ordre quelconque, à l'exception de x, dont la dérivée soit supposée l'unité; et soient L = o, M = o, ... des équations de condition entre ces variables et leurs dérivées, dont le nombre ne surpasse pas celui des variables diminué de deux unités, afin qu'il reste des relations indéterminées entre les mêmes variables.

Le problème demaximis et minimis, dont il s'agit ici, consiste à déterminer ces relations de manière que la fonction primitive de V devienne un maximum ou un minimum entre des limites données, correspondantes à des valeurs données de x.

(' ) OEuvrcs lie Lngrange, t. 'II, p. Sy.

DES FONCTIONS. i21

Pour le résoudre de la manière la plus générale, on cherchera les variations des fonctions V, L, M, ..., dues aux variations de y, -, /, ..., et désignant ces variations par V, L, IM, . . ., on considérera la formule

V + ^L4-/JtM + . . .,

dans laquelle "k, [j., ... sont supposées des variables indéterminées.

On fera sur cette formule les transformations enseignées plus haut, par lesquelles les fonctions dérivées des variations y, ::, /, ... ne paraissent plus que dans des termes qui sont des fonctions dérivées exactes. Elle deviendra ainsi de la forme