I ■ II. III
+ T^ +Tr-+- T t" +.
on aura l'équation aux limites (U,) — (Ûo) = o, à laquelle on devra satisfaire, indépendamment des variations y, y', . . ., z, z',
Et, pour tenir compte de la variation de x, il n'y aura qu'à changer y, :■, l en y — y' x, z — z'x, t — t' x, et ajouter à la valeur de (Û) le terme Vx.
Comme la nature du problème peut fournir aussi des équations de condition entre les variables x, y, z, t, ..., rapportées à ces limites, désignons par A = o, B = o, ... ces é(]uations de condition, de manière que A, B, . . . soient des fonctions données de Xç^, .r,, Jo» Jo j'o»
On formera les équations variées A = o, B = o, . . ., dues aux variations de chacune des quantités x^, x,, y^, y,, }\, j, , . . ., on ajoutera ces équations multipliées par les coefficients indéterminés a, p, ... à l'équation aux limites.
On aura ainsi l'équation
(Ù,)-(Ù„) + aÀ + (3B-f-... = o,
dans laquelle on égalera séparément à zéro le coefficient de chacune des variations dont il s'agit.
Ces formules servent à répondre à toutes les questions où l'on cherche des maxima ou minima absolus. Voyons aussi comment on y peut rappeler les questions où l'on ne demande que des maxima ou minima relatifs, c'est-à-dire dans lesquelles la fonction primitive d'une fonction donnée ne doit être un maximum ou un minimum entre des limites assignées, qu'autant que les fonctions primitives d'autres fonctions données auront des valeurs données entre les mêmes limites.
Soit u la fonction donnée dont la fonction primitive doit avoir une valeur déterminée entre les limites assignées. Supposons que s soit cette fonction primitive, en sorte que l'on ait l'équation s — u = o. La condition dont il s'agit consiste en ce que la quantité ^i — ^^ doit avoir une valeur donnée; par conséquent, sa variation devra être nulle, ce qui donne l'équation aux limites s^ —s^ = o.
Pour introduire cette condition dans la solution générale du problème de maximis etminimis, je regarde l'équation s' — 11=^0 comme une équation de condition, et je la traite comme les équations de con-
(lition L = o, M = o, Je multiplie par un coefficient variable et
indéterminé a la variation s' — u, et j'ajoute à la formule générale
V + >.L-h...; j'ai
V + 0- ( A-' — M ) + XL + y.M -+- . . . .
Le terme gs' se transforme en ceux-ci : (cr^)' — l's-, et, comme ces termes sont les seuls qui contiennent la variable s, la variation s donnera d'abord l'équation q'^=o, d'où l'on tire c = «, a étant une constante arbitraire.
Ensuite l'autre partie {'^s)' , qui est une dérivée exacte, donnera dans l'expression de (U) le terme ns, et dans l'équation aux limites les termes a[s^ — .v„), à cause de n = a. Mais on a, par les conditions du maximum ou minimum relatif, .v, — ^„ — o. Donc la valeur de (U) ne recevra aucun cliangement.
11 n'y aura donc que la variation —au qui devra être ajoutée à la formule générale, ce qui revient à substituer à la place de la fonction V la fonction V — au, et à chercher les conditions du maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de V — au, a étant une constante quelconque arbitraire.
On trouverait de la même manière que si la fonction primitive de V ne devait être qu'un maximum ou minimum relatif, en supposant que les fonctions primitives de u et de v aient des valeurs déterminées, la question se réduirait au maximum ou minimum absolu de la fonction primitive de V — au — bv, a et b étant des constantes arbitraires.
Ce résultat s'accorde, comme l'on voit, avec celui qu'Euler avait trouvé par la considération des variations des ordonnées successives dans les courbes.
Telles sont les formules générales pour la solution des problèmes de maximis et minimis qui dépendent de la méthode des variations, et l'on voit que ces formules s'étendent à tous les cas; mais dans chaque cas particulier, au lieu d'y appliquer ces formules, il sera quelquefois préférable d'opérer directement sur les fonctions proposées, en suivant la marche que nous venons de tracer.
Quant à la manière de distinguer les maxima des minima, et même de s'assurer de leur existence, nous avons vu qu'elle dépend des variations du second ordre; mais nous n'entrerons pas dans un détail qui nous mènerait trop loin; on peut voir d'ailleurs ce que nous avons dit là-dessus dans la Théorie des fonctions ('). Nous remarquerons seulement qu'en prenant la variation du second ordre de la fonction V, il sera inutile d'avoir éffard aux variations du second ordre de la variable y, parce que, les termes affectés de r, y' , . . - dans l'expression de V étant les mêmes que ceux affectés de j, y' dans V, ces termes doivent disparaître par les conditions du maximum ou minimum, quelle que soit la valeur de j ou de y. Ainsi on aura, pour la variation du second ordre, les mêmes formules que dans l'endroit cité, en changeant seulement aussi y en œ, et par conséquent les mêmes résultats.
Pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous dirons encore un mot des maxima et minima qui dépendent des fonctions de plusieurs variables. La première question de ce genre a été résolue par la méthode des variations, dans le second Volume des Mémoires de Turin (^). Il s'agissait de trouver, parmi toutes les surfaces courbes qui sont terminées par le même périmètre, celle qui est la plus petite possible; problème qui est, par rapport aux surfaces, ce que les problèmes dont on vient de traiter sont par rapport aux lignes.
En nommant z l'ordonnée perpendiculaire aux deux abscisses x et j, et qui est censée fonction de ces deux-ci, et désignant par des traits séparés par une virgule fonctions dérivées de z, prises par rapport à x et j, comme on l'a fait dans la Leçon XIX, la grandeur ou la quadrature de la surface est exprimée par la double fonction primitive de la formule
prise d'abord par rapport à une seule des variables x, y, et ensuite par rapport à l'autre, en substituant pour la première sa valeur donnée par l'équation du contour de la surface. Ainsi le problème con-
( ' ) OEiwres de Lngrnnge, t. IX.
('^) Œuvres de Ln grange, t. I, p. 33 j.
siste à trouver la fonction z de x et y, qui rendra cette double fonction primitive un maximum ou un minimum.
Pour le rendre plus général, nous supposerons qu'on demande de rendre un maximum ou un minimum la double fonction primitive d'une fonction donnée de oc, y, z, z'-, z'', z"-, z'-' , z-" , ....
Désignons cette fonction par V, de manière que l'on ait
et soit U la double fonction primitive de V, qui doit devenir un maximum ou un minimum. Il faudra, par les principes établis ci-dessus, que sa variation U soit nulle. Or, U'''=V;donc, prenant les variations, U''= V. Si l'on dénote de même par des traits placés au bas les fonctions primitives, ainsi qu'on l'a indiqué dans la Leçon XIII, on pourra passer de l'équation précédente à celle-ci qui est inverse, Ù = V, ,, par laquelle on voit que le problème consiste à rendre nulle la double fonction primitive de la variation V.
Or on a, en prenant les variations de z et de ses dérivées,
V = zf[z)+z''f'{z'-] + z"f'{z") + z"'f'[z"-)-i-'z'''f{z'-')+z"'f'{z"')+..., formule que nous représenterons, pour plus de simplicité, par V = Lz + M z''-h^z''+ P2"'+ Qi''' + R3"'+ . . . .
On fera dans cette formule les transformations employées plus haut, par lesquelles les dérivées de la variation :; ne se trouvent que dans des termes qui sont des dérivées exactes.
Ainsi le terme M:;" se changera en (M:;)''— M'':;, le terme Ns'' se changera en (N:;)'' — N''^, et ainsi des autres, en conservant la position des virgules qui séparent les traits relatifs aux variables x et y.
De cette manière on aura la transformée
-+- [Mz -hV'z''-P''z + Qz-'-h...y'
H-(Nz + R2'' -R''i;-Q"2-4-...)'',
On voit d'abord ici qu'il est impossible que la double fonction primitive de V devienne nulle, quelle que soit la variation z, à moins que les termes affectés simplement de z ne disparaissent; ce qui donne d'abord l'équation générale du maximum ou minimum
La première ligne de l'expression de V étant effacée, si l'on prend maintenant les doubles fonctions primitives de part et d'autre, on aura
Comme il n'y a plus ici que des fonctions primitives simples, cbacune d'elles se rapporte uniquement à une des variables a:, y, en regardant l'autre de ces variables comme déterminée par l'équation qui donne la courbe des limites entre lesquelles le maximum ou minimum doit avoir lieu.
Le cas le plus simple est lorsque le contour de la surface représentée par l'équation en oc, y, z est supposé tout à fait donné et invariable. Alors les variations de :; et de ses dérivées sont nulles relativement à la courbe de ce contour, et par conséquent aussi dans toute l'étendue des fonctions primitives simples de la variation U, et la condition de U = o se trouve remplie d'elle-même.
L'équation du maximum ou minimum sera donc, en substituant les valeurs de L, ]\I, . . . ,
/'(^)-[/'(='o]''-[/(^'')]''+[/'(^"or+[f(^''0]''' + iy'(s''')r+..-=o,
(ju'on voit être du genre de celles que nous avons considérées dans les Leçons XIX et XX, et dont les équations primitives contiennent des fonctions arbitraires.
Les cas plus compliqués se résoudront par des considérations analogues à celles que nous avons faites sur les problèmes où l'on ne cherche que des fonctions d'une variable.
Pour donner maintenant quelques applications des méthodes et des
formules que nous venons d'exposer, nous prendrons d'abord le problème le plus simple de ce genre, qui consiste à trouver la ligne la plus courte entre des termes donnés. En supposant que la ligne cherchée soit toute dans un même plan, et prenant x, y pour ses coordonnées, la longueur de la ligne sera exprimée en général par la fonction primitive de l'expression v^i-hj'-' qui, étant représentée par V ou /(x,j, j'j, donnera
Ainsi l'équation générale du maximum ou minimum sera
Ensuite on aura
= h, et de là y=.hx-^
et l'équation aux limites sera
Û, — lJo=o.
L'équation générale donne tout de suite
d où 1 on tire
6 et c étant deux constantes arbitraires; ce qui est l'équation générale de la ligne droite.
Si les deux extrémités de la ligne étaient données, on aurait >'„ = o et j, = o; par conséquent l'équation aux limites aurait lieu sans aucune condition.
En général, l'équation aux limites se réduira à
où « = — ; de sorte que, si la ligne cherchée devait être terminée
des deux côtés ou d'un seul par des lignes perpendiculaires à l'axe des a:*, les variations jo» /( seraient toutes les deux, ou une seulement, arbitraires : dans l'un et l'autre cas, l'équation aux limites donnerait rt = o, et par conséquent 6 = 0; ce qui réduit la ligne la plus courte à une droite parallèle à l'axe.
Si la ligne la plus courte devait être terminée de part et d'autre paideux lignes données droites ou courbes, il faudrait alors tenir compte dans l'équation aux limites des variations de ^ et y à la fois. Il faudra donc mettre dans l'expression de U, y — j'^ à la place de y, et y ajouter le terme \x. On aura ainsi
et, réduisant.
L'équation aux limites étant Û, — Ûo = o, si l'on suppose que les deux limites soient indépendantes l'une de l'autre, on aura séparément U„ = o et U, = o ; et par conséquent
rôro + ^u = o, j J-. + ^-1 = o.
Soit maintenant
l'équation de la ligne qui forme la première limite; elle donnera l'équation variée
mais elle donne aussi l'équation dérivée
de sorte que la combinaison de ces deux équations produira celle-ci
Il faut remarquer, à l'égard de cette équation, que les variations a:-, j
sont censées les mêmes que celles que nous avons désignées ci-dessus par .Tq, y^, parce que ce sont les variations des coordonnées x, y à la première limite; mais la dérivée j' n'est pas la même que la dérivée j,',, quoiqu'elles se rapportent toutes les deux au même point; car celle-ci se rapporte à la ligne la plus courte, et exprime la tangente de l'angle que la tangente à cette ligne fait avec l'axe; au lieu que l'autre se rapporte à la ligne qui sert de limite, et exprime de même la tangente de l'angle que la tangente à cette ligne fait avec le même axe. Nous désignerons cette dérivée par (y'), et, appliquantle chiffre o au bas de chaque lettre pour la rapporter à la première limite, l'équation précédente deviendra
Telle est l'équation de condition qui doit avoir lieu entre les variations jo et^o; ainsi, substituant dans l'équation
rôro + -^o = <»
de la première limite la valeur de jo tirée de l'équation précédente, on aura
et par conséquent
ro(r')o-t-i = o-
Or, y[ et (7'),) étant les tangentes de deux angles, on sait que la tangente de la différence de ces angles est exprimée par la formule
■^° ~,Y A" ; donc, puisque ici le dénominateur devient nul, et par con-
' +To [y )o
séquentla tangente infinie, il s'ensuit que la différence des deux angles
dont il s'agit sera égale à un angle droit.
D'où il est aisé de conclure que les deux lignes, celle qui doit être la plus courte et celle qui forme sa première limite, doivent se couper à ansles droits.
Et, comme l'équation à la seconde limite est tout à fait semblable à l'équation pour la première, on trouvera nécessairement le même résultat relativement à la seconde limite; c'est-à-dire que la ligne la plus
courte devra aussi couper à angles droits la ligne qui formera la secondes limite.
Oa satisfera à ces conditions par le moyen des équations
r« (/)o + 1 = O et /, (j ), + I =: O
et des constantes arbitraires h, c, ce qui n'a aucune difficulté.
Supposons maintenant, pour donner plus de généralité au problème, qu'on demande la ligne la plus courte, sans la condition qu'elle doive être toute dans le même plan; en prenant ce-, y, z pour les trois coordonnées, dont deux j et :; sont censées fonction de la troisième a-, on aura la fonction sj i -h y"- -i- z'- , dont la primitive exprimera la longueur de la ligne chercbée et devra par conséquent être un minimum.
Faisant donc
V = \ii -h y --h z"-,
on aura
formule qui, par les principes établis, se transforme en celle-ci
l'où l'on tire, pour l'équation générale du minimum,
et ensuite, pour l'équation aux limites,
ù^/r+£^ et Ù,-Ùo = o.
Supposons d'abord que la ligne la plus courte ne soit assujettie à aucune condition dans toute son étendue; il faudra alors que les variations j et z demeurent indéterminées, ce qui donnera les deux équations
d'où l'on tire
^ = rt, ^ = b,
a et b étant dos constantes arbitraires; et comme V — y i + J " + ^''» il s'ensuit que/' et s' auront des valeurs constantes qui, étant désignées par c et d, donneront tout de suite
y ^ ex -*- m, z ^^ dx -+- Il ,
m et 71 étant aussi des constantes arbitraires.
Ces deux équations font voir que la ligne cherchée est une droite dont la position est arbitraire.
Il faut maintenant considérer l'équation aux limites, laquelle, si l'on suppose les deux limites indépendantes l'une de l'autre, se partage tout de suite en ces deux-ci
Ùo =0, Û| = o,
savoir,
équations qui auront lieu d'elles-mêmes, si les deux extrémités de la ligne sont supposées données de position, parce qu'alors les variations des ordonnées y et z seront nulles dans ces deux points.
Mais, si la ligne la plus courte doit être comprise entre deux lignes données, alors il faudra, comme nous l'avons fait plus haut, tenir compte des variations des coordonnées *", j, z à l'une et à l'aulrc de ses extrémités.
Pour cela, il faudra d'abord ajouter à la valeur de U le terme Va-, et y changer en même temps J et ; en y —y'oc, z — z'œ. On aura ainsi, à cause de V^ = i -h /'- + :;'-, après les réductions,
et les deux équations aux limites Ùo — o, U, = o deviendront
Supposons que la première limite soit une courbe dont les deux équations soient
la première de ces équations donnera, comme nous l'avons vu plus haut, l'équation variée
et la seconde donnera de même
Tirant de ces deux équations les valeurs de jo et z„ et les substituant dans la première des deux équations ci-dessus, on aura
et, comme la variation a-^ doit demeurer indéterminée, il en résultera cette équation de condition pour la première limite
i+ro(/)o + 2'„(z')„ = o,
à laquelle on satisfera par le moyen d'une des constantes arbitraires c, d, l'autre devant être indéterminée par l'équation de condition de la seconde limite, laquelle sera de même
Mais, si l'on veut savoir ce que ces équations représentent, il n'y a qu'à se rappeler que, dans la théorie du contact des courbes, on démontre qu'en regardant les dérivées dej^ et z'^ comme constantes, les deux équations
r=r'o^-+-F-> z = z'qx + v,
où [j. et V sont aussi des constantes par rapport à xety, représentent la ligne droite qui touche la courbe de la première limite; et que de la même manière les deux équations
représentent la ligne droite qui touche au même point la ligne la plus courte, TT et p étant aussi des constantes par rapport à ce et y.
Or, dans l'application de l'Analyse à la Géométrie, on démontre que les deux droites représentées parées équations, si elles se coupent, font entre elles un angle dont le cosinus est
■+rn(/)o+2o(2')o
v/i-+-/o' + -o'v/' + (r')o + (2'io
{voyez les feuilles de r Analyse de Monge). Donc puisque, dans le cas présent, le numérateur de cette expression devient nul, il s'ensuit que l'angle des deux droites sera droit; par conséquent, il faudra que la ligne la plus courte coupe à angles droits la courbe qui forme la première limite.
On parviendra de la même manière à une conclusion semblable pour l'autre limite. D'où il résulte que la ligne la plus courte qu'on puisse mener entre deux courbes quelconques est toujours la droite qui coupera ces courbes à angle droit. Ce théorème est connu depuis longtemps et se démontre de différentes manières; mais aucune n'est aussi directe que celle que fournit l'analyse précédente.
Mais, si, au lieu d'une simple ligne, il y avait une surface pour servir de limite à la ligne la plus courte, désignant par
la surface de la première limite, elle donnerait cette équation variée
(ju'il faudrait combiner avec l'équation de la première limite trouvée ci-dessus,
Substituant dans l'équation précédente la valeur de x^ tirée de celle-ci, on aura
\}y[r] -r« ^'(^)]ro + [«!>'( z) - z, Ay[x)]z, = o,
d'où, à cause que les variations ju, ^^ doivent demeurer indéterminées, on tire ces deux-ci :
'i>'(r)-ro*i''(^) = o, cî)'(z)-2;(p'(x) = o,
auxquelles il faudra satisfaire par deux des coaslanles arbitraires de la ligne la plus courte.
On trouvera deux équations semblables pour la seconde limite, si elle est aussi formée par une surface donnée.
Pour voir maintenant ce que signifient ces équations, on remarquera que l'équation de la surface
donne la dérivée
dont la primitive, en regardant les coefticients dex', /, :;' comme constants, savoir
représente le plan tangent à cette surface, comme on le sait par la théorie des courbes, a étant une constante arbitraire par rapport ;i •r, y, z.
Substituons dans cette équation les valeurs de •f'Cv) et <!''(-) tirées des deux équations trouvées ci-dessus; elle deviendi-a, en la divisant par tl>'(a) qui est regardée ici comme constante.
D'un autre côté, on sait que cette équation représente aussi un plan perpendiculaire à la droite dont les équations seraient
[voyez les feuilles citées), les quantités y,, et z'^ étant regardées ici comme constantes, ainsi que \). etv. Donc, puisque ces équations sont celles de la tangente à l'extrémité de la ligne la plus courte, (jue nous regardons en général comme une courbe quelconque, il s'ensuit que les deux équations données plus haut expriment que la ligne la plus courte doit rencontrer la surface d.onnée à angles droits.
Et, comme la même conclusion aurait lieu aussi pour l'autre limite, si elle était formée par une surface, il en résulte que la ligne la plus
courte entre deux surfaces données sera encore la droite qui rencontre ces surfaces à angles droits.
Jusqu'ici nous n'avons cherché que la ligne la plus courte parmi toutes les lignes possibles qu'on peut mener entre des points, ou des lignes, ou des surfaces données; problème que la simple Géométrie peut résoudre, parce qu'on sait que dans un plan la ligne la plus courte est la ligne droite. Mais, si l'on demande en général la ligne la plus courte sur une surface quelconque donnée, le problème dépend alors essentiellement de la méthode des variations, et les formules trouvées ci-dessus s'y appliquent avec la même facilité.
Soit
l'équation de la surface donnée; elle donnera l'écjuation variée
laquelle étant combinée avec l'équation générale du maximum ou minimum trouvée plus haut,
produit celle-ci
^1 Fu:
pour l'équation de la ligne la plus courte sur la surface donnée. Ensuite on aura l'équation aux limites
dans laquelle on a en général
iT__/r + 2'2.
et, si l'on veut avoir égard aussi à la variation de x, on aura comme on l'a trouvé plus haut.
Il faudrait ici substituer pour z sa valeur tirée de l'équation variée
Mais, en faisant abstraction de la surface, l'expression précédente de U conduit directement aux mêmes conclusions qu'on a trouvées plus haut relativement aux limites, c'est-à-dire que la ligne la plus courte tracée sur la surface donnée devra aussi couper à angles droits les courbes qui lui serviront de limites.
A l'égard de la nature de la ligne la plus courte sur une surface, elle jouit d'une propriété particulière et caractéristique, par laquelle on peut la déterminer indépendamment de la considération du minimum ; c'est que ses rayons osculateurssont tous perpendiculaires à la surface. En effet, il est clair que cette ligne doit être celle suivant laquelle se dirigera un fil tendu sur la surface donnée, et il est facile de concevoir, en même temps, que le fil tendu ne peut être en équilibre qu'autant que la pression résultante de la tension, et dont la direction est suivant le rayon osculateur, sera perpendiculaire à la surface. Pour voir comment la propriété dont il s'agit résulte de l'équation trouvée pour la ligne la plus courte, nous remarquerons d'abord que l'équation du plan tangent à la surface représentée par l'équation
¥[x,x,z] = o est, comme on l'a vu plus haut,
^F'(x) +jF'(j-) + 2F'(3)+a=:o,
les fonctions F'(a7), F'(j), F'(;) étant regardées comme constantes, ainsi que la quantité oc.
Nous remarquerons ensuite que, si l'on représente par
l'équation du plan du cercle osculateur d'une ligne à double courbure, il faut que cette équation et ses deux dérivées, prime et seconde, aient lieu en prenant les coordonnées x, y, z du plan pour celles de la courbe donnée, et en regardant dans la formation des dérivées les coef-
ficients A, B, C comme constants; c'est ce qui résulte de la théorie du
contact des courbes exposée dans la Théorie des Fonctions (' ).
On aura donc ainsi les deux équations dérivées, dans lesquelles
I + xV/ + B 2' = o, A j" + B :;" = o.
Ar" La dernière donne B — ~, et, cette valeur étant substituée dans la
précédente, on aura
Nous remarquerons de plus qu'il suffit que le plan du cercle osculateur soit perpendiculaire au plan tangent à la surface, pour que le rayon osculateur soit perpendiculaire à la surface, parce que ce rayon est nécessairement perpendiculaire à la courbe tracée sur la surface.
Or on démontre encore dans l'application de l'Analyse à la Géométrie [voyez les feuilles déjà citées) que la condition pour que deux plans représentés par les équations
jtF'(^)+jF'(j) + zF'(z) + a=o, X + Aj+ Bz + C = o
se coupent à angles droits, est renfermée simplement dans l'équation
F'(^) + AF'(7) + BF'(z)=o.
L'équation de la surface
donne aussi l'équation dérivée
d'où l'on tire
Cette valeur, substituée dans l'équation précédente, donnera celle-ci
(A-r')F'(J)-^(B-^')F'(z) = o, ( ' ) OEuvres de Lagrangc, t. IX.
laquelle, en substituant les valeurs de A et B trouvées ci-dessus, devient
Or, si l'on divise le coeffîeient de F'fr) dans cette équation par V-, V
étant \/ 1 + j'"+ -', on a la dérivée de ^i et de même le coefficient de y'{:-) divisé par \- devient la dérivée ^\e^Ç^ comnn! il est facile de s'en
assurer pai' le calcul. Donc, en divisant toute l'équation par Y-, elle pourra se mettre sous la forme
iv) p'ir)-(^y)v'[^] = o.
qui est la même que celle de l'équation que nous avons trouvée pour la ligne la plus courte.
Clairaut a remarqué le premiei', dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1733, que, quelle que soit la figure de la Terre, la ligne (ju'on y tracerait en plantant continuellement des piquets perpendiculaires à l'horizon, de manière qu'ils soient effacés les uns par les autres, comme on l'a pratiqué dans la description de la perpendiculaire à la méridienne de Paris, aurait la propriété d'être la ligne la plus courte entre tous ses points. Ainsi la détermination de cette ligne dépend de l'équation générale qu'on vient de trouver.
En supposant que la Terre soit un sphéroïde de révolution, si l'on prend l'axe des a: pour l'axe de la Terre, dont le centre soit l'origine des coordonnées, et qu'on nomme /■ l'ordonnée de la courbe des méridiens, on aura
Donc, si
est l'équation de cette courbe, elle deviendra celle de la surface du sphéroïde, eny substituant y/j- -h s- pour/-; et, à cause de/' =- — ^ 5
on aura
de sorte que l'équation de la ligne la plus courte sur le sphéroïde deviendra
laquelle est du second ordre, mais dont la primitive du premier ordre
est
zy' — rz'
(i étant une constante quelconque. Cette équation, combinée avec l'équation ¥(x, r) = o, suffira pour construire la courbe.
Ce problème est traité avec beaucoup de détails dans le quatrième Volume des Ouvrages de Jean BernouUi.
Le problème de la ligne la plus courte conduit hatureilement à celui de la surface de la moindre étendue. Nous avons déjà vu plus haut que l'on a alors
d'où l'on tire la variation
laquelle étant comparée à la formule
Li + M 2'' H- N^-'
donne
l't de là résulte l'équation générale
■'z"\'' fz''---'
Cette équation, eu effectuant les dérivations indiquées, se réduit:»
oi-, en prenant successivement les dérivées par rapport à ^ et à y, on
trouve
\\'' = z''z"'-hz''z''',
(le sorte qu'en multipliant l'équation précédente par V, et substituant les valeurs de V^, VV', VV'', on aura après les réductions
ll-h{z'Y\z'"—'2Z''Z''z'''-h[l-h{z''Y-'}z"'=zO.
Et, si l'on aime mieux employer la notation proposée à la fin de la Leçon XIX, on aura, pour l'équation de la moindre surface,
Plonge et Legendre ont trouvé, par des méthodes ingénieuses, l'équation primitive de cette équation du second ordre; mais la forme sous laquelle elle se présente la rend peu susceptible d'applications utiles. ( Voyez les Mémoires de V Académie des Sciences de 1787.)
Pour donner encore un autre exemple, nous reprendrons le problème si connu de la brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente; mais nous la considérerons dans un milieu résistant comme une fonction quelconque de la vitesse.
Soient les abscisses x dirigées verticalement de haut en bas, et par conséquent les ordonnées y horizontales. Si l'on nomme g la force constante de la gravité, - le carré de la vitesse et cp(3) la fonction de la vitesse qui est proportionnelle à la résistance, les principes de la Mécanique donnent l'équation
pour la détermination de r; et le temps, qui doit être un maximum ou un minimum, est exprimé par la fonction primitive de l'expression
En comparant ces formules aux formules générales, on aura
V'i + r'- ni , V
et la fonction Y[x,y,y', z,z', .,.), qui, étant égalée à zéro, donne l'équation de condition, sera
On aura donc
Et de là
Ensuite on aura l'équation variée
et par conséquent
W[z] = io'[z]sJ\+x'-\ F'(2') = i, De là on aura
Y=-r zi. .Y, Y= '■■
D'après ces valeurs, on aura les équations générales
et l'équation aux limites
en faisant
et, si l'on veut tenir compte de la variation de x, on aura
U = [Y + ,Y)](j -/.;•) + [Z + (Z)](z -z'x) + "^^^/^ X. Les deux équations générales se réduisent à celles-ci :
vA
