Exemple IV. — Soit l'équation générale

a — 6d? -I- t'.r5 — dx* 4- ex* — fx* 4- . . . on aura

6# ; c.r- — dx* -4- f .r4 — /.'r1 4- . . . ,

et, par conséquent,

Y ex — dx- 4- ea?3 — /Je* 4- . . .

C'X- — 20dx3 4- ( rf2 4- '. Cl ' '

crx* — 3c dx' -+-...

Dont

m I m ! <p+*(* m ■ iut""\"</ m î ,i ./

• li li"' ' ■ li

■2k MÉTHODE POUK RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS

m Hm -+- 5){m + 4)#""+"3c3 (m + 6) (m -4- 5)am+i. lied

Si m est éffal à 1 , on aura

A />3 />s fc5 />'

2 rt3 c- 5 a" cd 3 r/5 ( d1 -+- 2 ce ,

r> a* r 2 1 a5 cv/

c'esl la formule connue de Newton pour le retour des suites. 15. Considérons maintenant l'équation générale

o [x) étant une fonction quelconque de x\ comparant celte équation

avec l'équation

a — bx -+- bx\ = o

du n° 1 1 , ou bien

T — x ■+- xi = 0,

on aura

rt .. <o(x)

x = T et £ = î-i— i :

donc, si l'on dénote par p une des racines de l'équation proposée, on aura, par la formule (Y) du numéro cité,

en faisant, après les différentiations, x = 2.

Or, puisque mxm ' t= , ? il est visible que la formule précédente

>eul

mettre

>ous (

■elle

forme

pmz=

d ( x" dx

'in-

,d(x' i dx

D'où il est facile de conclure qu'une fonction quelconque de/?, comme i (p), sera exprimée de la manière suivante

pourvu (ju'on change, comme nous l'avons dit, X en y après avoir exécuté les différentiations indiquées, ce qui fournit le théorème suivant, qui est très-remarquable par sa simplicité et par sa généralité.