Etant donné le produit continuel

( x -+- 1 ) ( x -+- 2 ) ( x ■+ 3 ) ( x + 4 ! • • • * ■ v ■+- n — ' ! > on propose de le développer suivant les puissances de x.

Il est visible qu'on aura

et pour déterminer facilement les coefficients A', A", A on remarquera que l'équation précédente devant être identique subsistera égale-

ment en y mettant x -h i à la place de x; c'est pourquoi on aura aussi

(ar + 2) (jr -f- 3) (# + 4) (■» H- 5). . .{x -+- n)

donc, multipliant toute cette équation para; -+- 1, et la comparant ensuite à la précédente multipliée par x -t- n, on en tirera celle-ci

( x -+- n 1 1 x" ' + A'^""2 -+- \"x" -3 + A^x"-4 +...-+- Af-1 '

= (jf-m)» + A.'{x ■+- 1 )"-' -+- k"{x -h i)"-2 -h A'" ( x + i)"-3 -4- . . . -+- A'"-" (x + i i,

c'est-à-dire, en développant les termes et les ordonnant par rapport à x,

f n n — i ) ( n — ?. ) (n — l) in — 2 ) ~]

-f- ;^ h ! ' A -f- ( « — 2 j A -t- A ar"-1 -4-

Donc, puisque cette équation est identique, on aura, en comparant terme à terme,

n\'-h\"= ntn~ '-' 4-(«-!)A'4-A',

d'où l'on tire

. „ nin — t)(n— 2 // 1 // a . ,

,.„, /' " 1 n- a « — 3 // 1 » — 2)(it — 3)., (»—»)(»— 3

et ainsi de suite.