III
cl que <y soit la valeur de v, on aura l'expression d'une fonction quelconque ty(q), en mettant dans la formule (I) q à la place de p, y à la
place de -r, ^ ^ à la place de f (y), et faisant ensuite y = i après les
diiïerontiations.
Donc, puisque q =y= — •> on aura
( d, f £\ = ,l ( v-) + ?(«■>•) -y (r) l gy(«rmr)
' \a/ ce 2a! c/)-
i f/'9(aj)34/'(,)-) , r rfs9(a.r)4+'(r)
?. 3. a3 dy1 2.3.4. a1 °0 3
où la variable y doit être supposée égale à 1 après toutes les différen-
liations.
18. Donc, comme i- (y) = I 'b'(y)dy, si l'on prend la fraction
VLr).
.[.-.ti?2]
el qu'on la développe suivant les puissances de s, ce qui donnera
? S'1 en
qu'ensuite on v chauffe - en / dy, z en > ~2 en
1 ' v z J ' :>. dy 2.3 a)
:— — — -> et ainsi des autres puissances de -; et qu'après avoir exécuté les dilïérentiations indiquées de cette manière on fasse y = 1, on aura
la valeur de <1> ( — )' x étant une des racines de l'équation (H),
y. — X -+- cp.r = o.
Ainsi l'on pourra faire en sorte que la série qui représente la valeur de 'M — ) s0'lt ordonnée par rapport à telle lettre qu'on voudra; car pour cela il n'y aura qu'à ordonner, par rapport à cette même lettre, la série
résultante de la fraction — -, :-, comme on va le voir dans les
9 (<xx)
Exemples suivants.
19. Exemple V. - Reprenons l'équation générale de l'Exemple IV,
savoir
o = a — bx -f- ex1 — dxs -+- e-r4 — fa ■'■' -(-...,
et comparant avec l'équation (H), on aura, après avoir divise par />,
a , . ex2 — dx3 -f- ex* — fxh -f- . . .
Doue
ç(«y) cm-- da'jr* ea?y* fa' )'
de sorte que la fraction
sera
r« r2 rfa3 r3 ea3 ) '
Réduisons cette fraction en série, el supposons d'abord que la série soil ordonnée par rapport à la lettre b, il est clair qu'à cause que les dimensions de y et y sont partout les mêmes, cette série sera de la forme suivante
Pr1 Qr» Rr4 Sr6
i\r sorte qu'en multipliant en croix et comparant les termes, on trouvera
I» = acz,
Q = a dz .
R = a ez -f- acz P,
S = a*fz -+- a'dz P -i- acz Q,
T = aà£z -+- a*ez P -f aù/zi) ■+■ aczR,
Or, si l'on développe ces valeurs en les ordonnant par rapport aux puis-
sauces de z, il est facile de voir qu'elles seront exprimées de celle ma
nière
P =Az,
Q = Bz,
R = Cz + C, z\
S =Dz +D,z2,
T =Ez +E,**+ E22J,
el l'on trouvera
A = ac,
H = «2tf,
C = a3e, Ci = «t'A,
E = a5g-, E, = ase A 4- a2iB + acC, Ej = acC,
Donc, on aura,
-JW = 4W+A B Ç+Ç^
z<f[ay) 1 z h4'niri 63 • T lJ j 6< ' ' [- '
— ^— r + (r) -+- gi r f (.>•) -■■■•
Donc, changeant - en / dy, z en - t-»-- (18), on aura
+ £r24*'(r) D , D, i rf|>»+'(r)]
où il n'y aura plus qu'à faire y = i , après avoir exécuté les différentialions qui ne sont qu'indiquées.
Or, comme les coefficients A, H, G,... ne renferment point la lettre h, il est clair que cette série sera ordonnée relativement aux puissances négatives de b.
Si l'on fait <j> (y) = ym, ce qui donne >y (y) = my'n~l, on aura
//'" JT'" m A /// R '2 2
mE m(m + 5) + m(» + 4)(» + 5)
El si l'on t'ait 4 î'jk) = l°g,>', d'où -J/ ( y) = — ? on aura
. . - C -+- - C, I) + ^ I), E + - E, 4 il| Ea
, or \ Is 2 2 ?. > . i
'0ST = , + F"ÎÏ+ b< -F—H -ftT-
20. Les séries que nous venons de trouver sont ordonnées relativement aux puissances de b\ si l'on voulait qu'elles le fussent relativemenl à celles de a, il n'y aura qu'à ordonner de celle manière la série résultante de la fraction
en )-' da2 1 ea? y
/,- ir Ir
Or, comme chaque puissance de a y est toujours multipliée par une pa reille puissance de y, il est clair que la série aura celle forme
on trouvera
l + pT+QTxRT S1F
K(.ezy dzy et |
M) METHODE POUK RESOUDRE LES EQUATIONS
Or, en développant ces valeurs suivant les dimensions de -jp elles se trouveronl exprimées de cette manière
De sorte que l'on aura
B, = çA,
C, = — rfA + cB,
D, = eA — dB-hcC,
C = cfi„
D3=cC„
Donc, on aura,
z r, fii^zii
*^ + «^flr)
. /Djà D,zr6 , D2z2j' D3z3)-; ,
D'où l'on déduira fi 8) la formule générale
c, . rf[,r^'(r)l + ç» . l <*'[rn>-)] 1
6* 2 r/r 6e a.3 rfya
D, i (t[rKy(,r)] + D, j rf'tv^'f.r)! i' 2 rfp /): 2.3 r//'
D, j rf»[.Vtj/(,r)| 1 />s * 2.3.4 "V;
où il faudra l'aire y = 1 Soient, par exemple,
<\>{y) = ym et >Y(x) = mx
on trouvera
\ mi'. m ( m -t- 4 ) Ci /» ( /?' +■ { ) ( /» + 5 ) < !.. \ a ~b~ ïb1 2.3.63 ]P
[/m F) m (m -i-5)l), wi(m -4-5)(m-t-6)Da ~T~ 2./>2 2. 3. /»■■
m (iwh- 5)(m-+- 6 ) ( /» -1- 7 ) pa 1 a<
te MÉTHODE POUR RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS
Donc, si m = r, on aura, en multipliant par tî
C 5 Ci 5.6.C,T«
[~D , 6D, 6.7.D, 6.7.8.D3~lg5 + [à " 2"^ + 2.3.6' + 2.3.4.6' 1 !>■
Et si l'on fait ty{y) = logv, on trouvera, à cause de logy = o lorsque
,ogT /r &
B 3B,\ <r 7T + il7] 62
C 4 Ci 4 -5. G 1 a
b ib' 2.3. b3 ) b
D 5D, 5.(1. D, 5.6.T.DA a*
Au reste, les valeurs de #'" que nous venons de trouver dans ce numéro et dans le précédent sont les mêmes pour le fond que celle que nous avons déjà trouvée plus haut dans l'Exemple IV; mais ces valeurs, et surtout la dernière, sont mises ici sous une forme plus simple el plus commode, par laquelle on voit clairement la loi de la série, en sorte qu'il est très-aisé d'en calculer les différents termes et de la continuer autant qu'on voudra.
