A -f- I </' • 2. '».../ i • rfic

Si X = i , on aura donc

x'dy x3d2y

/. x1 dy

S.dx-

c'est la série que M. Jean Bernoulli a donnée dans les Actes de Leipsick de 1694.

SUR LA

Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettre! de Berlin, année 1772.)

Il semble que les Analystes aient toujours regardé comme vraie cette proposition, que tontes les racines imaginaires des équations peuvent se réduire à la forme

A + BV-T,

A et ïi étant des quantités réelles; mais ce n'est que dans ces derniers temps qu'on est parvenu à la démontrer d'une manière rigoureuse et générale.

La première démonstration qu'on ait donnée de ce beau Théorème est celle qui se trouve dans les Mémoires de cette Académie pour l'année 1 jid, et qui est due à M. d'Alembert. Cette démonstration est très-ingénieuse et ne laisse, ce me semble, rien a désirer du cote de l'exactitude; mais elle est indirecte, étant tirée de la considération des courbes et des suites infinies, et elle porte naturellement à croire qu'on peut arriver au même but par une analyse plus simple, fondée uniquement sur la théorie

des équations. En elle) , comme le radical imaginaire v 1 peut avoir indifféremment le signe H- ou —, il est clair que s'il y a dans une équation quelconque une racine qui soit représentée par A f H y/ — I, il devra \

en avoir en même temps une autre qui le soit par A — By-i; ainsi chaque facteur imaginaire tel que x — A — B y/ — i sera toujours accompagné du facteur correspondant ^r — A + B y — i, en sorte que le produit de ces facteurs sera

x2— 2Ax + A2-+-B-',

qui est un facteur du second degré tout réel.

D'où il suit que toute équation pourra se décomposer en des facteurs réels du premier ou du second degré. Or cette proposition parait de nature a pouvoir être démontrée par les seuls principes de la théorie des équations, et il est clair qu'il suffit pour cela de prouver que toute équation d'un degré plus haut que le second peut toujours se partager en deux autres équations dont les coefficients soient des quantités réelles. C'est l'objet que M. Euler s'est proposé dans les savantes recherches qu'il a données, dans les Mémoires de 1749» sur les racines imaginaires des équations. Il y considère séparément le cas où l'exposant de l'équation est une puissance de 2, et celui où cet exposant est une puissance de 2 multipliée par un nombre quelconque impair; et dans ce dernier cas il trouve que toute équation du degré i" m (m étant un nombre impair peut être divisée par une équation du degré 2" dont le coefficient du second terme soit déterminé par une équation d'un degré impair, laquelle aura par conséquent toujours une racine réelle. De la M. Euler conclut d'abord que les coefficients des autres termes auront aussi des valeurs réelles, parce qu'il suppose qu'en éliminant successivement les puissances de ces coefficients plus hautes que la première, à l'aide des différentes équations de condition qu'on aura entre tous les coefficients, on puisse toujours parvenir à déterminer les coefficients dont il s'agit par des fonctions rationnelles de celui du second terme. Cette réduction parait en effet toujours possible en général; il se trouve néanmoins des cas particuliers où elle ne saurait avoir lieu, et dans lesquels par conséquent la démonstration de M. Euler sera insuffisante; mais cette démonstration est surtout insuffisante à l'égard du premier cas, où le degré de l'équation proposée est supposé être une puissance de 2.

La résolution de ce cas parait d'abord beaucoup plus difficile; car lorsqu'on cherche à diviser une équation du degré in par' une autre équation d'un degré inférieur quelconque, on parvient toujours à des équations de degrés pairs pour la détermination de ses coefficients; de sorte que pour pouvoir s'assurer que l'un de ces coefficients sera réel il faut que l'équation dont il dépend ait son dernier terme négatif. Quand on décompose une équation du quatrième degré, dont le second terme est évanoui, en deux autres du second degré suivant la méthode de Descartes, on trouve que les coefficients des seconds termes de ces diviseurs sont donnés par une équation du sixième degré, dont le dernier terme est essentiellement négatif, étant égal à un carré affecté du signe — . Cette observation a porté M. Euler à penser que la même chose pourrait avoir lieu dans toute équation dont le degré sera une puissance de 2, et où le second terme sera pareillement évanoui, lorsqu'on cherchera à la décomposer en deux autres d'un degré moindre de la moitié. M. Euler tâche de démontrer, par la nature même des racines de l'équation qui doit servir à déterminer les coefficients des seconds termes de ces diviseurs, que cette ('([nation aura toujours pour dernier terme un carré avec le signe négatif; mais il faut avouer que son raisonnement est peu concluant, ainsi que M. le chevalier de Foncenex l'a déjà remarqué dans le premier volume des Miscellanea Taurinensia, et comme nous le montrerons encore avec plus de détail dans ce Mémoire.

Cette raison a même engagé l'habile Géomètre dont nous venons de parler a prendre un autre chemin pour parvenir à une démonstration exacte du même Théorème, el l'on ne saurait disconvenir que celle qu'il a donnée dans le volume cité n'ait l'avantage de l'élégance et de la simplicité; mais, d'un autre côté, elle est aussi sujette à quelques-unes des difficultés qui oui lieu dans celle de M. Euler, et qui viennent de ce qu'on \ suppose faussement que dès que l'un des coefficients d'un diviseur d'une équation quelconque est ceci, tous les autres doivent l'être

aussi.

Il parait donc, par tout ce que nous venons de dire, que le Théorème

dont il s'agit n'a pas encore été démontré d'une manière aussi directe el 111 61

aussi rigoureuse qu'on pourrait le désirer. Comme je me suis depuis quelque temps particulièrement appliqué à perfectionner la théorie des équations, j'ai cru devoir aussi m'attachera la discussion d'un point si important de celte théorie : c'est l'objet que je me suis proposé dans ce Mémoire. En suppléant à ce qui manque à la démonstration de M. Euler, je tacherai de l'aire en sorte qu'il ne reste plus de difficulté ni d'incertitude sur cette matière.

1 . On sait que toute équation d'un degré impair a nécessairement une racine réelle positive si son dernier terme est négatif, ou une racine réelle négative si son dernier terme est positif, et de plus que toute équation d'un degré pair a nécessairement deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative, lorsque son dernier terme est négatif.

Ces Théorèmes sont si connus, que nous ne croyons pas devoir nous arrêter à les démontrer; il est vrai que la démonstration qu'on en donne ordinairement est peu naturelle, étant tirée de la considération des lignes courbes; mais nous en avons donné ailleurs une plus directe, déduite des seuls principes de la composition des équations [voyez les Mémoires pour l'année 1767 (*)].

Hors les cas précédents on n'a point encore de caractère général par lequel on puisse reconnaître à priori si une équation a des racines réelles ou non. Nous nous proposons de donner dans une autre occasion nos recherches sur ce point, qu'on peut regarder comme un des plus importants de la théorie des équations.

2. Cela posé, il est d'abord clair que toute équation d'un degré impair telle que

xm+\ __ \ xnm , jj^wi-i C.r2'"-2 + . . . — K = o

pourra s'abaisser à un degré moindre d'une unité, c'est-à-dire au degré pair immédiatement inférieur.

Car, comme on est assuré que cette équation doit avoir une racine

(*) OEuvres <lc Lagrange, t. II, p. 5ji.

réelle, si l'on dénote cette racine par a, on aura

«2"< --i Art2"' -+- Ba2"—' — Crt2"'-2 + . . . — K — o,

donc

K = a2'"+1 — Art2"' -i- Brt2"'-' — Crt2m-2 -4-. . .,

ce qui étant substitué dans l'équation précédente, on aura celle-ci

( x2ni+' — a2"'^' | — A ( x2'" — a2'" \ -+- B | .r2'"-' — rt2'"-') — C ( a?5"1-5 — rt:'"- 2 4- . . . .= o,

laquelle se décompose naturellement en ces deux-ci

x — a = o, x"" 4- (a — A) jt2"'- ' 4- a2 — Art -+- B j^r2"-2 4- («3 — Art2 4- Ba — C x2"—3 -4-...= o.

Ainsi il suffira de considérer les équations de degrés pairs.