Soit donc proposée l'équation générale

xm — A x'"-' 4- Ba?m -' — Cr™-3 4- . . . 4- K ' = o ;

il s'agit de prouver que celle équation, lorsque m est un nombre pair plus grand que 2, peut toujours se décomposer en deux autres équations dont les coefficients soient des quantités réelles. Supposons que

x" — Mx"-' 4- N x"-2 — Px"-J+ . . . -+- V = o

soit un des facteurs de l'équation dont il s'agit; l'autre facteur sera de la forme

xm-,, ]\l'.rm- " ' -4- Wx"-" ' — V'x"-"-" 4- . . o,

el pour déterminer les coefficients M, N, P, . . . , M', N', P , . . . , qui s<mi au nombre de m, il n'y aura qu'à multiplier ces Avux facteurs ensemble, • t égaler ensuite chaque terme du produit au terme de l'équation proposée dans lequel x aura le même exposant; on aura par la /// équations qui serviront à déterminer tous les coefficients inconnus des facteurs supposés.

On peut aiis^i considérer simplement le facteur

et remarquer que, comme il doit diviser exactement l'équation proposée, si l'on fait la division à la manière ordinaire et qu'on la pousse jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste où l'inconnue x monte à des puissances moindres que x", et qui par conséquent ne puisse plus donner des puissances entières de x dans le quotient, ce reste devra être nul de luimême, et indépendamment de la valeur de x; de sorte que, désignant ce reste par

[JL SC"-' H- V Xn~2 + 5T X"-3 -+- . . . -h V,

il faudra qu'on ait à la fois les équations

y = o, v = o, rs = o, . . . , u = o,

lesquelles, étant au nombre de n, serviront à déterminer les n coefficients indéterminés M, N, P, . . . , V du facteur proposé.

4. Telles sont les méthodes qui se présentent naturellement pour décomposer une équation quelconque en deux autres de degrés inférieurs; mais pour notre objet il n'est pas nécessaire d'exécuter cette décomposition, il suffit de faire voir qu'elle est possible sans tomber dans des quantités imaginaires.

Or si l'on suppose que dans les équations qui renferment les indéterminées M, N, P,. . . on élimine toutes ces indéterminées hors une quelconque, par exemple M, on aura une équation finale en M qui montera à un degré d'autant plus élevé que le nombre de ces équations sera plus grand, et la question se réduira à savoir : i° si cette équation aura au moins une racine réelle; 20 si les valeurs des autres indéterminées N, P,... correspondantes à cette racine seront réelles aussi.

5. Quant à la première condition, on ne peut être assuré de son existence que lorsque l'équation finale sera d'un degré impair, ou d'un degré pair, mais avec le dernier terme négatif (1). A l'égard de la seconde, elle parait d'abord une suite nécessaire de la première; car, comme on a entre les indéterminées M, N, P, Q,... autant d'équations qu'il y a de ces indéterminées, il semble qu'on puisse toujours par les méthodes ordinaires

de l'élimination parvenir à exprimer, par des fonctions rationnelles d'une quelconque de ces indéterminées, les valeurs de toutes les autres; auquel cas il est clair que les valeurs de celles-ci seront nécessairement réelles dès que la valeur de celle-là sera réelle. »

C'est en effet ce que la plupart des Analystes ont toujours supposé, et sur quoi M. Euler et M. le chevalier de Foncenex ont fondé principalement leurs démonstrations du Théorème dont il s'agit. Mais quoique cette proposition soit vraie, en général, il se trouve cependant des cas où elle devient absolument fausse, comme nous l'avons déjà fait voir dans le n° 102 de nos Réflexions sur la résolution algébrique des équations {').

Supposons en effet qu'on soit parvenu par des éliminations réitérées à une équation entre les indéterminées M et N de la forme

PN-Q = o,

P et Q étant des fonctions rationnelles de M; on aura donc par là N — ~, en sorte que N sera toujours réelle dès que .M le sera; mais s'il arrive que la valeur réelle de M soit telle, que les quantités P et Q s'évanouissent à la fois, on aura N= -■> ce qui ne fera rien connaître; dans ce cas il sera donc douteux si à la valeur réelle de M répond une valeur réelle de N ou non; en effet, l'expression indéterminée qu'on trouve pour N est une marque que cette quantité ne peut pas être donnée simplement par une équation du premier degré, mais qu'elle doit dépendre d'une équation d'un degré supérieur, en sorte qu'à la même valeur de M puissent repondre différentes valeurs de N.

6. Pour éclaircir ceci par un Exemple, je suppose qu'on ait l'équation du quatrième degré

x* — Ax> -+- Bx< -Cx + D = o,

et qu'on veuille la décomposer en deux du second degré, représentées par

x2 — Mx + N o,

(*) OEwrei de Lagrange, i. III. p, 38i,

on trouvera, en comparant le produit de ces deux-ci terme à terme avec celle-là, ces quatre équations