Donc
1" Comme le nombre des quantités x', x", x , » 2" est anf on sail
que le nombre de toutes les permutations possibles sera représenté par
mais il est visible que les fonctions fx, v, rs,... ne changent point de forme en faisant toutes les permutations possibles entre les n quantités x ', x", x'",..., x'">, permutations dont le nombre est exprimé par i.2.3...n, et qu'il en est de même à l'égard des permutations entre les autres n quantités x{n+{), x{n+2), x{n^\..., x{2,l); donc, puisque chacune de ces permutations se combine avec toutes les autres dans le nombre total des combinaisons i .2.3. . .in, il s'ensuit que pour avoir le nombre des combinaisons utiles, c'est-à-dire qui donnent des expressions différentes de u, il faudra diviser deux fois le nombre i.a. 3... aw par le nombre i.2.3...n, ce qui donnera celui-ci
i . 2 . 3 ... 2 n . . ■in (in — i ) ( i n — 2 )...(» + i
ou bien
nombre qui, en supposant m= 2' et par conséquent n = ir~\ sera impairement pair, comme nous l'avons vu dans le n° 16.
20 II est clair que si l'on échange à la fois les quantités x', x", x'",..., x{n) en x{n^\ x{n+2), a?("+3) , . . . , x^"', dans les expressions de a, v, sr,..., ces expressions changeront simplement de signes sans changer de valeur; donc toutes les valeurs particulières de la fonction u seront deux à deux égales et de signes contraires; de sorte que l'équation en u, dont le degré doit être impairement pair, manquera de toutes les puissances impaires, et pourra se transformer par la supposition de ir = t en une équation en t d'un degré impair.
3° On peut démontrer, par un raisonnement analogue à celui des nos 22 et 23, que le dernier terme de la transformée en t dont nous parlons sera toujours négatif, étant nécessairement égal au carré d'une fonction rationnelle des coefficients A, B, C,... de l'équation proposée, affecté du signe — . Car il est d'abord clair que si l'on supposait simplement u = \j., on aurait le cas des numéros cités, puisque les lettres a, b, c, d,... dans les formules de ces numéros désignent les mêmes quantités
que nous avons représentées ci-dessus par ce', x", ce'", . . . , x{2">, e'est-àdire les racines de l'équation proposée.
De plus, en examinant les raisonnements des mêmes numéros, il n'est pas difficile de voir qu'ils ne tiennent pas à la forme particulière de la fonction a, mais seulement à la propriété qu'a cette fonction de demeurer la même, tandis qu'on échange entre elles les racines x', x", x'"
x(n), ou les racines x[n+,), x(n+2), x{n+3),..., x1-2'^, et de devenir négative quand on échange les premières racines dans les dernières; or cette propriété a lieu également dans les autres fonctions v,rs,..., et dans la fonction générale ajx-h&v-f-ctff-t-..., comme nous l'avons déjà observé plus haut; de sorte qu'on peut hardiment appliquer à l'équation ci-dessus en u ou en t les mêmes conclusions qu'on a trouvées dans les numéros cités.
30. On est donc assuré que l'équation en t aura toujours une racine réelle positive, et que par conséquent la quantité u = \t aura toujours au moins une valeur réelle. Or, dès qu'on connaîtra la valeur de la quantité u, on pourra déterminer par son moyen les valeurs des autres quantités y, /3, y,..., jx, v, w,..., lesquelles sont, ainsi que la quantité u, représentées par des fonctions des mêmes racines x', x", x'",...; et de ce que nous avons démontré ailleurs [ Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771 (*)], il s'ensuit que chacune de ces quantités y., |3, 7,..., a, v, rs,... sera donnée par une équation du premier Av^vv seulement, si la valeur de u est une racine inégale de l'équation en u\ mais si celte valeur est une racine égale, alors chacune des quantités y, ['j, y,..., {i., v, 77,,... sera donnée par une équation dont le degré aura un exposant égal à celui de l'égalité de la racine //; or comme u=±\jt, on voit d'abord que l'équation en // n'aura de racines égales qu'autant que la transformée en / en aura de telles, ou qu'elle aura des racines milles; car il est visible que / donne deux valeurs égales a u.
(*) OE livres de Lagrange , 1. III. p, I7J.
Dans le premier cas, puisque l'équation en t est d'un degré impair
(29, 2°), on pourra démontrer, comme on l'a fait plus haut (24), que cet le équation ne pourra avoir que des racines égales d'un degré d'égalité marqué par des nombres impairs; d'où l'on conclura sur-le-champ que, quelles que soient les racines de l'équation en t, pourvu qu'aucune ne soit nulle, on aura toujours, non-seulement pour u, mais aussi pour y., fi, y, . . . , [x, y, ar,..., des valeurs réelles; de sorte que les coefficients M, N, P,..., M', N', P', . . . des deux facteurs de l'équation proposée auront sûrement des valeurs réelles (27).
Le second cas, c'est-à-dire celui où l'équation en t aurait quelque racine nulle, présente d'abord les mêmes difficultés qu'on a déjà considérées dans le n° 25; mais je remarque qu'à cause de
u = ap. -+- b v -+- cet -+-... ,
où les coefficients a, b, c,... sont à volonté, on peut toujours prendre ces coefficients tels, que le cas dont il s'agit n'ait pas lieu, à moins que parmi les valeurs correspondantes de jx, v, zs, ... il ne s'en trouve qui soient nulles à la fois. Car supposons que les valeurs de a, v, ts, . . . ne soient jamais nulles en même temps, en ce cas il est visible que si la quantité t = u2 a des valeurs nulles, ce ne pourra être qu'en vertu de la relation qui se trouvera entre les coefficients a, b, c, . . . ; par conséquent ces valeurs cesseront d'être nulles dès qu'on donnera d'autres valeurs aux mêmes coetficients : ainsi l'on sera toujours le maître de faire en sorte que l'équation en t n'ait aucune racine nulle.
Il ne reste donc plus de difficulté que pour le cas où l'on aurait à la fois
fJL = O, V = O, HT = o, . . . ;
mais il est visible (27; qu'on aura alors
M'=rM, N' = N, P' = P,...,
de sorte que dans ce cas l'équation proposée ne sera autre chose que
celle-ci
x" — M-r"-1 -f- N-r"-2 — Px—3 -+-... = o
élevée au carré; par conséquent la proposée s'abaissera d'elle-même à un degré moindre de la moitié, et il est visible que les valeurs des coefficients M, N, P,. . . devront être toutes rationnelles, et par conséquent réelles, autrement il serait impossible que l'équation
x" — Mx"~< -4- N x"-2 — Pjt"-3 -4- . . . = o,
étant élevée au carré, devint rationnelle et comparable à la proposée
x2" — Ax2"-' 4- BxVl - — Cr*1-3 + . . .= o.
D'ailleurs il est facile de prouver que les conditions
f/. =: O, V = O, CT = O, . . .
emportent nécessairement l'égalité entre les racines x', x", x'",..., x "
et les racines x "+", .ï('h2-, x("+3) ,r'2" , en sorte que la proposée du
degré m= in aura toutes ses racines égales deux à deux, et pourra par conséquent s'abaisser à une équation du degré n qui aura les mêmes racines, niais simples el inégales.
Ainsi toutes les difficultés sont résolues, el il ne reste plus rien à désirer pour la démonstration complète du Théorème qui fait l'objet de ce Mémoire. Nous allons le terminer par donner un Exemple de l'application de la méthode qu'on vient d'expliquer.
31 . Soit, comme dans le n° 6, l'équation générale du quatrième degré
x* — \x3-hîix2— C.r -f- I) = o
qu'on se propose de décomposer en ces deux-ci
r'-Jk + Nr O, X'M'.r+\ 0.
en comparanl terme à terme le produit de ces dernières avec celle-là, on aura d'abord
M M =A, MM'+\ \ |{. M\ . \|\ C, NN l>:
et faisant
on aura
a(3 — av = 2C, [32 — v2 = 4D, d'où l'on tire d'abord
substituant ensuite ces valeurs dans les deux dernières équations, on aura
A^2 — 4p.v — A3 + 4AB — 8C = o,
On fera maintenant
u = a\>. -+- bv,
et substituant, par exemple, — -. — '- à la place de v, on aura ces deux équations-ci
(A-^W-^-A« + 4AB-8C = of
^ + (8B-aà»-i|?V»+^ifî i|ff + (4B-A»)»-64D=oj
d'où l'on chassera p. pour avoir une réduite en u. Supposons, pour abréger,
(A3 — 4AB-f-8C) = F, 4B- A2 -64D = (i,
on aura
f\i? — 4/^'< — bF = o,
b1 ^ -+- gjj.2 -+■ SzafjLU — i6u2 -+- b2G = o;
donc
dont
4 y. u ■+- b F 4 64^«3 i66Fm2 8bFfj.ii 62F2
+ 4/2g^ « +/2g-6F + Zipapu — i6/3m2 -*-/3è2G = o,
d'où l'on tire
i6(68F— /3)M2+/6<F2-4-/2g-6F+/H2G p' ~ 64 62 m3 + 4/m ( 2 b3 F + gf+8ap)
ainsi il n'y aura plus qu'a substituer cette valeur dans la première équation
et l'on aura cette équation finale
/[i6( />3F — /3) if+ bf{b>V2+fgY +/26G ,]2 -, i6[i6(63F-/ ■••)«'+ fc/i A» FJ+/g-F+/26G)] x [ 1 6 A2 «2 +/| 2 A3 F + gf +- 8 a/"2 1 ] ?/2 - i66F[i6A2 m2 +/( 2 A3F -+--;/•+ 8r^. |»as o,
laquelle, étant ordonnée par rapport à u, montera au sixième degré et ne contiendra que des puissances paires de //; de sorte qu'en faisant u'1 = t, on aura celle-ci du troisième degré
/6»F2+/gF+/'ftG
où l'on voit que le dernier terme est un carré avec le signe . de sorte que la quantité / aura toujours une valeur réelle positive: on voit de [dus qu'à moins qu'on n'ait à la l'ois F = O et G = o, on pourra toujours l'aire en sorte que / n'ait aucune valeur nulle; car il n'y aura qu'à prendre a el h de manière qu'on ail
ft»F» ■ fgV i />/,<; ou o;
je dis à moins que F et G ne soient nuls à la fois, car il est visible qu'alors la quantité dont il s'agit sera toujours nulle, quelque valeur qu'on donne à a et b; mais alors on aura
r AR A3 /R \>V
et l'équation proposée deviendra
