Dénotons les in racines de l'équation proposée par

et comme on suppose que cette équation soit le produit de ces deux-ci

x" — Mx"^ -f- N xn~2 — J>x"-Z + . . . = o, x" — M'x'-1 + Kx'-2 — P'x"-3 -+-...= o,

il est visible, par la théorie des équations, que l'une de ces équations aura pour racines n quelconques des in racines x' , x", x'",..., x{2n), et que l'autre aura pour racines les n racines restantes; ainsi prenant x',

x", x'",..., x{n) pour les racines de

x" — Mx"~l + ~Nx"~2 — Vx—3 -f- . . . = o, et x{"+*}, xi'l+-), x{n+z\..., x(2n) pour les racines de

x" — M'x'-t ■+ N' xn~2 — V'x"-3 + ...— 0, on aura, comme on sait,

M = x' -f- x" 4- x'" -+- . . . -+- xW,

N = x'x" + x'x"'-\- x"x'" -+- . . . + xi"H'j("),

N' = ^("+1,^("+2) + ^-("H"l).r("+3) 4- x^2) x(n+3) 4-. . .4- a?(M-Oar(*"),

P' = x("+1'^('i+2'jr("-t-3) + ar('!-,",^("+:,)^(n+0 4- ^("+2'^-("+:,)^("+0 4-. . . -I- x(-2n-Vx(2"~''>x(m),

Donc

a — j»' 4- #" 4- #"'4- . . .4- xW 4- .r"^1) 4- x("+2) 4- .r<"+3' 4- ... 4- x^ = A, (3 — #'#" + #'#'" -|- #"#'" h- . . . + ar(»-0aj(») + #(«+0 .*(«+!) -+- #("+0 ^(n+s)

4- xC+V xC"-1-3) 4- ... 4- xC2"-^ x(2n\ y = x'x"x'" -+- x'x'"x'y 4- x"x'"xlv 4 - . . . 4- x^^ x("~'^ ■*•("> 4- #("+') #(»+') #(«+s)

| ^(1+1)^(1+3)^(1+4) 4. x(n+i) x{n+z) x{n+i) !____) x(în-î) x{ln-l) x{ïn) ^

et ainsi de suite.

„. = #' ( ^" + .z-'" + ... 4- x^ — x<n+'] — ^("+2) — .r("+3> — ... — .rf2"\ y = x'x" -+- x'x"' 4- «""a?"' 4- ... 4- x^'-'J^C') — ^("+''^(n+2) — #(*+') aK-H-s)

^(1+2)^(1+3) ^p(Jn— ')#(Sn),

jffz=x'x"x"' 4- x'x'"x'y 4- x"x'"xxv 4-. . .4- #("-*> arC-OaK'O — x^'^ x(n+V x^" ' '

-r(i+l) jp("+3)^(i+<) ^(1+2)^(1+3) -£.(i+4) ^( .h— 2) -p(2i— 1)^(21)

el ainsi de suite.

Donc, puisque

// du. H 6v 4- CET 4-

011 connaîtra quelle fonction des racines x', x", x" v -" doil être la

quantité //; et de là on pourra déterminer à priori le degré et la forme de l'équation en ?/ par la considération <lc ses racines, lesquelles ne seront autre chose que les différentes valeurs que la fonction dont il s'agil

pourra recevoir, en faisant entre les racines x', x", x r •" tontes

les permutations possibles, comme nous l'avons expliqué suffisamment

ailleurs.