III. 7/j

tion s'évanouira, ce qui arrive lorsque les trois points M, M', M" sont dans un même plan passant par le centre des coordonnées.

Comme toute pyramide est égale au tiers du produit de la hase par la

hauteur, si l'on divise la quantité ë par l'aire du triangle qui a ses trois

angles, l'un au centre des coordonnées, les deux autres aux points M' et M", on aura la perpendiculaire menée de l'autre point M sur le plan de ce triangle; or puisque ce même triangle est formé par les deux

lignes \Ja', \Ja" , qui forment entre elles l'angle i, on aura

pour son aire; mais on a

b = y/ a' a" cose; donc cette aire sera (3)

\Ja'a"— b'2 \ja.

donc Xz sera la valeur de la perpendiculaire menée du point M sur le

s/oc

plan passant par le centre des coordonnées et par les deux autres points M et M".

De plus-; si l'on imagine par le même centre des coordonnées deux

autres plans, l'un perpendiculaire au rayon \Ja! du point M', l'autre perpendiculaire au rayon \ja" du point M", on verra aisément que la distance perpendiculaire du point M sur le premier de ces plans sera représentée par

V asinigo0 — e") = y/a cose'';

et que la distance perpendiculaire du même point M sur l'autre plan le sera par

V a sin 1 900 — e' ) = y a cos e' ;

donc, puisqu'on a trouvé plus haut

b' =z sj'a a" cose' et b" = y/rt«'cose",

b" on aura = pour la distance perpendiculaire du point M au premier y a.

h' plan, et — pour la distance perpendiculaire du même point au second

si a" plan.

6. Remarque II. --Si l'on imagine qu'aux points M, M', M" il y ait des corps de masses données, et qui soient unis ensemble par des verges inflexibles ou autrement, de manière qu'ils soient obligés de garder toujours entre eux les mêmes distances \h, \h', \h', et qu'on suppose de plus que ces corps puissent tourner dans tous les sens autour du centre des coordonnées, sans néanmoins que leurs distances à ce centre \[â, \a\ \a" varient, il est clair qu'on aura le cas du Lemme et de ses Corollaires, et qu'on pourra appliquer au mouvement de ce système les foimules que nous y avons données. Ainsi l'on pourra ramener le mouvement du corps M, dont les coordonnées sont x, y, z, aux mouvements des corps M' et M", dont les coordonnées sont x\ y', z', .r", y", z".

En général, si l'on a un système d'autant de corps qu'on voudra, disposés de manière qu'ils soient forcés de conserver toujours les mêmes distances tant entre eux qu'à l'égard d'un point donné, les formules cidessus serviront à rapporter le mouvement de chacun de ces corps aux mouvements de deux quelconques d'entre eux pris à volonté; car prenant a-', y', z' et .r", y" ', z" pour les coordonnées rectangles de ces deux corps, que je désignerai par M' et M", et nommant, en général, .r, v. r les coordonnées d'un autre corps quelconque M du système, on pourra exprimer tant les variables .r, v, r- que leurs différentielles dx, dy, riz par les seules \ ariables x\ y'. ?', se", y", z" et <7^, r/>, <!■,, lesquelles se

rapportent uniquement aux corps M et M". Kl l'on remarquera que les

constantes a', a", />, et par conséquent aussi h et y. seront les mêmes pour tous les coi ps M . puisqu'elles ne dépendent (pie (le la position des

corps M' et M"; mais que les constantes a, l> , h", et par conséquent aussi (3, b'% b , seront différentes pour chaque corps M. puisqu'elles dépendent de sa situation il l'égard des corps M cl M' .

Au reste, si dans les formules du Corollaire 111 nous a\ons supposé les

quantités a, a', a", b, b' , b" constantes, ce n'a été que pour plus de simplicité et parce que cette supposition était suffisante pour notre objet; car d'ailleurs, si l'on voulait regarder ces quantités comme variables, il n'y aurait qu'à employer, au lieu des équations

x'dx' -+-y'dy' + z'dz' = o, x"dx"-h y"dy" -\- z"dz"= o, \d\ -+- yj dn -t- £ d'Ç = o,

x'dx" -*- y'dy" + z'dz" = — dm,

celles-ci

x'dx' + y'dy' + z'dz' = — -,

uj ,, „j „ ,tj „ da" x dx -+- y dy -+- z dz = ?

\d\ -^ndr. +Cdl =--— ,

x' dx" + y'dy" -+- z' dz" ---. db — dm, et ensuite avoir égard à la variabilité des coefficients

,3 a"b"—bb' a'b'—bb'