IX

dy' =

dz' =

dz"

bf-

- a' y" ) djs

Kdty-

- (bz'~

-a'z")dm

- bx" dw

nd<x> -

-by")dxs

Cdy -

— bz" dm

Si l'on différentie maintenant les valeurs de ce, y, z du Corollaire précédent, en supposant aussi constantes les quantités /3, b', b", qu'on y substitue ensuite les valeurs de d\, dr\, d'Ç, dx', dy' , dz', . . . qu'on vient de trouver, et qu'on tasse, pour abréger,

<hV bd<f a"d<\/, dm = bdty — a'dy,

on au i'a

— tJb'dW-ï h"d<\>) -+- x'jfid® — exb'dis) -h x" $dV ■+• a.b"drs

dr =

-r, b'dW-hb'd® -h y' pd$ — ab'dxa -+-.r"( £d M -+- xb"dm

-Çib'dW + 6"d$ -hz' $d$ xb'dts H z" $dW + ocb"dTB)

Et, si l'on substitue ces videurs ainsi que celles de .r, v, z dans ces expressions xdy — ydx, zdx — xdz, ydz zdy, on aura, en employant les réductions du n° 2,

xdy — ydx

P(a"b"-bb')dx¥- > a'b'-bb" </■!> -t- a ,il, .„ I, >hl,l, dm

, bp + ocb'b" d>V i n'p+xb' ,n\ h y.'j a"b"—bb' dm

„ bp + ab'b' dm • a > l xb <hV st(3 «b'-bb dw

z dx — x dz

p{a"b' b l> <l 4 - (5 1 a'b' - bb" )d<$> + g ( a'6" + a"l>/,a - 1 b b' b" drr,

, !>$■■+ ocb'b" )d<& -h (a"fi2-)-ocb'2)dx¥ -h xp a"l>"~ ht/ drr,

„ b&+ocb'b" dW ■+- (a'(3'+ ocb'^dQ - a&(a'b' — bb")dxs

ydz — zdy

., (3 a"b"'—bb' dW — ${a'b' — bb")d$ + a {a'b'3 -+- a"bHl — 2 b b'b" dm

, I 6(3= + y.b'h" irf$ +(a'(32+ ab'*)dW + ocfi(a"b" — bb' )dm

„ (bp + zb' b" : dW + \ a' & + ocb"2 ) d(\> - a& a'b' - bb" dis

oc3

5. Remarque I. - - Si l'on regarde les trois quantités x, y, z comme les coordonnées rectangles d'un point M rapporté a trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et pareillement les quantités x', y', z' comme les coordonnées rectangles d'un autre point M' rapporté aux mêmes axes, et enfin les quantités x",y", z" comme les coordonnées rectangles d'un troisième point M" rapporté aussi à ces trois axes, il est visible que les quantités a, a ', a", que nous avons supposées égales à

seront les carrés des distances des points M, M', M" au point commun d'intersection des trois axes, lequel nous nommerons simplement le centre des coordonnées; et il est facile de voir de plus que les trois quantités

a -ha' — 2 b", a -+- a" — ib' , a' -r- a" — ?./>,

lesquelles, suivant nos hypothèses, sont égales à

exprimeront les carrés des distances entre les points M, M', entre les points M, M" et entre les points M', M"; de sorte que, nommant h", h', h les carrés de ces distances, on aura

Or si l'on nomme 3, ï , s" les angles formés au centre des coordonnées par les rayons \ a , \ a", par les rayons \fa, \ja' et par les rayons \a, \ja", on aura, par la considération des triangles dont les côtés sont \Ja' , \[a", \7i, ou \a, \a, \jh', ou \a, \a', \Jh", on aura, dis-jc, ces valeurs de //, h . h'

li = a' -+- a"— 2 y'a'«"coss,

h' = a -ha" — 2 yaa" cose',

h"= a -+- a' — 2y/«rt'cose";

donc

h ^«7/"cosô, // \<ta'cosi', b \/aa'cose,".

D'où il s'ensuit que si l'on a b = o, b'= o, b"= o, les trois rayons \<i. \d\ \ a" feronl nécessairement entre eux des angles droits.

Imaginons maintenant une pyramide triangulaire qui ait ses quatre angles, l'un au centre des coordonnées, les autres aux points M, M', M . il n'est pas difficile de prouver que la solidité de celle pyramide sera exprimée par les coordonnées .r, y, z, .r', v', z', . . . de celle manière

z .>' 1 1 / z' yx" x ) " +- z" x y' — yx'

c'est-à-dire par la formule

par conséquenl 2 cette solidité sera égale a ,J: d'où l'on voil que la

quantité (3 n'est autre chose (pie la pyramide dont il s'agit prise six fois. \ i 1 1 - i cette quantité sera nulle toutes les l'ois (pie la pyramide en ques-