V -£ -pJjtz: x — $)hJlW+ y - y. g II <1> + (3 - y i/ M «I
de sorte que l'équation [3) de la solution ci-dessus deviendra
fd\\ -hgdV H fttf*
((3 — y)f{\ '«!>+ y a -II<1> + a 3 // Il M
Substituons au lieu <le dx\ et «-/<!> leurs valeurs tirées des équations
lesquelles donnent
y y ll./II «~P)n</D
«08 NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT et l'équation dont il s'agit deviendra après les réductions
fin
(.(3-y)¥<î>~ ' c'est-à-dire en mettant pour M et(l> leurs valeurs en II trouvées plus haut,
V^/,2 — E2 — Tp — a) IPj[ - y A2-4- E2 -+- (y — a) IP] ~
équation dont le premier membre n'est intégrable, en général, que par la rectification des sections coniques.
10. Remarque II. — Nous avons trouvé dans la solution du Problème précédent que la valeur de
</.r2 -+- dyz -+- dz-,
c'est-à-dire le carré du petit espace qu'une particule quelconque du corps parcourt dans l'instant dt, est exprimée par la formule
\pdy -+- qd<\i )2 -+- ( rd<]/ -+- pdm r -+- [qdm — rdo )2,
p, q, r étant les coordonnées rectangles qui déterminent la position de cette particule dans l'intérieur du corps; donc toute particule ou point du corps dont les coordonnées seront telles, qu'on ait à la fois
pdy -t- qdty = o, rd<\> -+- pdm = o, qdm — rdcp = o.
sera en repos pendant un instant; or ces trois équations donnent
q dw r f/ro
d'où il est aisé de conclure qu'il y aura nécessairement dans le corps, non pas un seul point immobile à chaque instant, mais une suite de points formant une ligne droite, qui sera par conséquent l'axe de rotation instantanée du corps; et il est clair que cet axe fera avec les trois
N jr + q2 H- r2 <7
v (/'J>2+ dy2 -+- dxs!
dcf
s ,h\,2 + do2 + dxs2 dm
K i!b'J 4- c/cp24- drs2
axes des coordonnées p, g, r des angles p, a, w tels, que
cosp cosc
COSW
011 bien, en mettant pour dty, r/'>, dm leurs valeurs en II, M , <1>, trouvées dans la solution ci-dessus,
cosp — J- -b-~- '— -
cos o- = j/ ° r ==- 1
v aJII2 4- £-M"- 4-y*$2
fxïl +gj5T -ï //y* s *-'II24- P2 V h- y2 <I,J
cosw
Maintenant il est clair que, comme les quantités II, M et «i* sont, en général, des fonctions du temps /, la position de l'axe de rotation dont il s'agit variera continuellement, ii moins que ces trois quantités ne gardent entre elles des rapports constants; or comme on a (par la Remarque précédente
/y/13— iv
>l \/~ïF" "y + g n V y -(3
il est clair que cette quantité ne peut être constante à moins que la quantité Il ne soit elle-même constante; et dans ce cas les deux autres quantités T et «I» seront aussi nécessairement constantes. Voyons donc les conditions qui peuvent rendre II égale à une constante.
Si l'on considère l'équation entre II et /, trouvée à la fin de la Remarque précédente, on verra aisément que la quantité II sera constante, c'est-à-dire que la différentielle <7ll sera nulle si le dénominateur est nul en même temps; mais pour que le temps / puisse être quelconque, il faudra de plus, par les règles connues, que la différentielle de la quantité qui est sou*- le signe radical dans le dénominateur ->oit mille aussi • m.
<i10 NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT c'est pourqoi on aura ces deux équations de condition
[(3/r2 - E2 — ((3 - ce) IP] [— y/.2 4- E2 + (y — a) II2] = o,
[(3/f2-E2 — ((3 -ai II2] (y — a) II — [ - y/f2 -f- E2 + f y - a i II2] ' 3 - x II o.
La première donne : ou
SA* — E2— (6 — a) II2-- o,
auquel cas la seconde donnera
ou II = o ou yAr2 — E2 — (y — a)TL2 = o;
ou bien
y h2— E2— (y — a)II2^--o,
auquel cas la seconde donnera
ou II = o ou (3 A-2— E2 -((3 — ajll2— o;
d'où l'on voit qu'il faut nécessairement que de ces trois quantités
n, (3/>'2- E2— ((3 — a) II2, y/r2- E2— y — a; II2,
deux soient nulles à la fois; ce qui donne trois combinaisons, et par conséquent trois cas différents où l'axe de rotation instantanée pourra être fixe dans le corps; et comme on a
y/f2-E2-(y-a)II2 6&2-E2 -(ft-sQIF
il est clair que ces trois cas seront ceux où l'on aura en même temps *Ir = o et <D = o, ou II = ô'et O = o, ou II = o et W = o; dans le premier cas on aura par les formules ci-dessus
cosp~f", eoso- — /', cosa=f,
dans le second on aura
COSp = g", COSfT = g', COS(ù = g,
et enfin dans le troisième
cosp = A", cos(T= -h', cosw ■-- h.
DE ROTATION D'UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE. Ci 1 1
On voit donc qu'il y a dans chaque corps trois lignes droites qui peuvent être des axes de rotation fixes, et qu'il n'y en a, généralement parlant, que trois; de plus, si l'on nomme e, e, s," les angles que ces trois axes font entre eux, il est facile de voir, d'après ce qu'on a dit dans le n° 5, qu'on aura, en général,
g II + g' II' -h g" II" = COS£,
fh -hf'h' -hf"h"=cose', fg +f'g'-i-f"g"=coss"> de sorte que 7) à cause de
fg+f'g'+f"g" = °> fh+f'h'+f"h" = o,
g/i -f g' li1 + g" h" = o, on aura
C0S£ = O, C0S£'=O, {'OSc"=o,
et par conséquent
£ = go°, £' = go", £" = ()o";
d'où il s'ensuit que les trois axes dont il s'agit seront nécessairement perpendiculaires entre eux.
Enfin, comme
dx2 -+- dy2 -4- dz2 dt2
exprime le carré de la vitesse de chaque particule du corps, et que cette quantité est représentée, en général, par la formule
fpd<f-\ çrfi|AJ (rd^-hpdmX* ( qdxs — rrfç\s
di J \ dt ) \ dt
si l'on y substitue les valeurs de -j?, -^-, -.- en II, M, <l» [Remarque
(Il dt (Il '
précédente] on trouvera que la vitesse d'une particule quelconque, pour laquelle les coordonnées sont p, r/, r, sera, dans le cas de M'— o et <1> =o,
*'iv pf'+qf'Y+W+pf l '/./' rj • dans le «as de il = o et $ o,
iM \ pg' i qg' I rg Pê 98 <>
et dans le cas de TT = o et W = o,
y <1> v ' ph'+ qh" y + (rh"-h pli ' + ( qh — rh! J .
Ainsi ces vitesses seront constantes; par conséquent le mouvement de rotation du corps autour de chacun des trois axes dont il s'agit sera uniforme.
11. Remarque III. — Nous avons dit dans la Solution ci-dessus que l'équation (4), qui renferme le principe de la conservation des forces vives, pouvait se déduire des équations (i), (2), (3). Pour le démontrer, nous considérerons ces trois équations sous la forme (12) à laquelle nous les avons réduites dans le n° 8, et prenant les différentielles pour en faire disparaître les constantes A, B, C, nous aurons
Cdl 4- z' du. — z"dv -+- Idt + fxdz' — vdz" = o, 7] dl -f- y'd y. — y" dv + Idr, + ydy' — vdy" = o, £dl -+- x'd[j. — x"dv -+-ld\ + u.dx' — vdx" = o,
mais par les formules du n° 4 on a, en faisant a = i, a'= 1, rt"= i,b = o,
d\ = — x'dty — x"dy, dx' = £d<]) + x"dm, dx" '= \dy — x'drn, dri = — y'd']/ — y"dy, dy' = -ndty -+-y"dm, dj"=Y)d<f — y' dus, d~C, = — z'd'\ — z"dy, dz' = Çd<\i -+- z"dw, dz" = Çdy — z'dm,
donc substituant ces valeurs, nos trois équations deviendront
'Ç(dl -+- v-d*\i — vdy ) -+- z'[ du. — Idty -+- vdxz 1 — z" (dv + Idy — y.dm — o, ri (dl -+- y.ctty — vdy ) + y' ', du. — IdAt -4- vdjs) — y" (dv -+- Idy — u.dm = o, "i(dl -1- y.d-y — vdy) + x'\ du. — ld<y 4- vdw) — x"\ dv -+- 7.do — u.dm = o,
lesquelles étant ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par 'Ç, -ci, S, par z', y', x' et par z", y", x", donneront, en vertu des formules du n° 2, ces trois-ci
dl -+- u.d^i — vdy = o, d\j. — ld^ + vdm = o, dv -4- Idy — y.dm o.
Et employant les transformations de la Remarque première , ces trois équations deviendront
/[««,,,»] + , [g(/L«)m]+*[«(«p,nT]=..
r ['! "■ - > - i '""] + «*' [t - (y - « n»] + * [^ - (. - p ht] = c /" [f - ■?-/ n]*t["-tr-' n»]+*-[^*-(«-p n>i -J=o,
lesquelles étant encore ajoutées ensemble après avoir été multipliées respectivement par/,/',/", par g-, g-', #" et par h, h', h", donneront enfin ces trois-ci
___ (3-yj^cI, =0)
Sf-iy-* n<i> = o,
qui serviront à déterminer les trois variables 11, M , »1>.
Or il est visible qu'en multipliant la première par llr//, la seconde par M dt et la troisième par<I><7/, et les ajoutant ensemble, on aura une équation intégrable dont l'intégrale sera
n2-+-M'-' 'I' const.;
et multipliant de même la première par aile//, la seconde par @Wdt, et la troisième par y<J><7/, on aura, après les avoir ajoutées ensemble, une nouvelle équation intégrable, et dont l'intégrale sera
*II -' -t- VI '-4- yl'- const.
Ces deux équations sont les mêmes qu'on a trouvées dans la Remarque I, et les mêmes que les équations i i de la Solution précédente, dont la seconde renferme le principe de la conservation (\rs forces vives.
12. Rem \ i;< h e IV. Si l'on supposait que chaque particule du corps
'ïm fui sollicitée par des forces quelconques, il n'y amail qu'à réduire ces
forces ii trois, dirigées suivant les coordonnées x, y, z, et, les représentant par les quantités X, Y, Z, on aurait par les principes connus de la Mécanique, au lieu des équations fi), (2), (3) du n° 8, ces trois-ci
J , ' om
dt2
=^(xY — yX)8m,
vi [zd2x — xd2z\ „ x^ a- r, ^
2â[- .„ -\dm=2d(zX-xZ)àm>
dt
y d2z — z d2y dt-
dm = x£ yZ — zY dm.
Or, comme
x d-y — y d' x = d ( x dy — ydx , z d2x — x d2 z = d ( 2 dx — x dz , yd2z — z d2y = d{ydz — zdy ,
il est clair qu'on aura des équations de la même forme que celles dont nous venons de parler, avec cette différence que les quantités A, B, C ne seront plus constantes, mais auront ces valeurs
d\ V^ ir i- -v
-T-=2à(xY—f\.)6mt
-j- = > ( z X — xl) dm, —j- =y!jZ — z Y dm.
De plus, le principe de la conservation des forces vives donnera aussi une équation semblable à l'équation (4j avec cette différence que la quantité D2 devra être telle, que l'on ait
d ( D2 ) =2 (Xrfa: -4- Y dy + Z rf-z 6
Ainsi, quand les quantités X, Y, Z seront données en x, y, z, on pourra employer les substitutions et les transformations dont nous avons fait usage dans le Problème précédent.
En général,' il est clair qu'il n'entrera dans les équations du Problème que les variables x', y', z', x", y", z", z, vj, Ç et d<\>, dzs, do; mais les six dernières sont des fondions données des six premières (2 et 4), et
l'on a de plus entre celles-ci trois équations (2) par lesquelles on peut en déterminer trois par les trois autres. En ell'et, l'équation
donne d'abord
z'=r y/a — x'1 — y'2; ensuite l'équation
x' x" -+- y' y" -4- z' z" — b donne
dont le carré, étant retranché de l'équation
multipliée par y"2-+-z"-, donne celle-ci
y'z"— z'y"f = a — x"-)'. y'2-¥- z'2) - h x'x •'; ainsi, combinant ces deux équations
y'z" — z'y"=\j{a — x"2){yn-+- z'* — b — x'x"f,
on trouvera/" et z": en sorte que les trois quantités z', y" el z" se r oui données par ces trois autres x', y' et x". Moyennant quoi il n'y aura, à proprement parler, que trois variables; et la difficulté se réduira à déterminer ces variables par le temps t.
13. Remarque V. -- Puisqu'on a, en général, dans la Solution précédente
l \r + x'q I x"/), y y,r ; y'q * y"pt z ir . :,/ : //,
il est clair qu'en faisanl
que de lllciTlc on aill.i
en faisanl
qu'enfin on aura
en faisant
donc, si l'on fait ces suppositions dans les valeurs de 0, 0 et n (ce qui donnera
dans le premier cas, dans le second cas,
<// dt
dans le troisième cas), on aura les valeurs des quantités |, >j, Ç, a;', y ', z', x",y", z", lesquelles seront les mêmes pour tous les points du corps; et ces quantités étant connues en /, on aura par les expressions ci-dessus les coordonnées x, y, z pour chaque point du corps dont la position dans le corps même dépendra des coordonnées/?, q, r.
14. Remarque VI. — Si le corps qu'on a supposé jusqu'ici fixement arrêté par un de ses points, était entièrement libre, alors il n'y aurait qu'à prendre, à la place de ce point supposé fixe, le centre de gravité de tout le corps, car on sait que les mouvements de rotation se font autour de ce centre comme s'il était fixe; et à l'égard du mouvement de ce centre, on le déterminera par la considération qu'il doit être le même que si toutes les forces qui agissent sur les différentes parties du corps y étaient appliquées: tout cela est trop connu pour que nous devions nous arrêter à en donner la démonstration.
l>KS
SPHÉROÏDES KLLIPTIUliES.
