DES

Nouveaux Mémoires île V icadémie royale des Sciences et Belles-Lettre* de Berlin , année 177^.)

Quelques avantages que l'Analyse algébrique ail sur la méthode géométrique des Anciens, qu'on appelle vulgairement, quoique fort improprement, synthèse, il est néanmoins des Problèmes où celle-ci parait préférable, tant par la clarté lumineuse qui l'accompagne, que par l'élégance et la facilité des solutions qu'elle donne. Il en est même pour lesquels l'analyse algébrique parait en quelque sorte insuffisante, et où il semble que la méthode synthétique soit seule capable d'atteindre.

Le Problème où il s'agit de déterminer l'attraction qu'un sphéroïde elliptique exerce sur un point quelconque placé sur sa surface, ou dans son intérieur, est de cette espèce. M. Maclaurin, qui a le premier résolu ce Problème dans son excellente Pièce sur le flux et le reflux de la mer. couronnée par l'Académie des Sciences de Paris en r 7 1 o , a suivi une méthode purement géométrique, et fondée uniquement sur quelques propriétés de l'ellipse ci des sphéroïdes elliptiques; et il faut avouer que celte partie de l'Ouvrage de M. Maclaurin est un chef-d'œuvre de Géométrie, qu'on peul comparer à tout ce qu'Arcli'unède nous a laissé de plus beau et de plus ingénieux. Comme M. Maclaurin avait une sorte de prédilection pour la méthode des Anciens, il n'est pas surprenant qu'il l'ait

employée dans la solution du Problème dont nous venons de parler; mais il l'est extrêmement, ce me semble, qu'un Problème aussi important que celui-là n'ait pas été résolu depuis d'une manière directe et analytique, surtout dans ces derniers temps où l'Analyse est devenue d'un usage si commun et si général. On ne peut, je crois, en attribuer la cause qu'aux difficultés de calculs que la solution de cette question doit renfermer lorsqu'on l'envisage sous un point de vue purement analytique. Ce n'est pas qu'il ne soit aisé de trouver, et que même différents Géomètres n'aient déjà donné des formules générales pour déterminer l'attraction qu'un corps de ligure quelconque exerce sur un point placé où l'on voudra ; mais la grande difficulté consiste dans l'intégration de ces formules, et il parait qu'on n'a pu y réussir jusqu'à présent qu'en se bornant à l'hypothèse que le solide soit très-peu différent d'une sphère. On trouve à la vérité dans les Ouvrages de M. Thomas Simpson une solution purement analytique du Problème de M. Maclaurin, dans laquelle on ne suppose point que le sphéroïde elliptique soit à très-peu près sphérique; mais d'un autre côté cette solution a le défaut de procéder par le moyen des séries, ce qui la rend non-seulement longue et compliquée, mais encore peu directe et peu rigoureuse.

Je me propose dans ce Mémoire de faire voir que bien loin que le Problème dont il s'agit se refuse à l'Analyse, il peut être résolu parce moyen d'une manière, sinon plus simple, du moins plus directe et plus générale que par la voie de la synthèse; ce qui servira à détruire un des principaux arguments que les détracteurs de l'Analyse puissent apporter pour la rabaisser et pour prouver la supériorité de la méthode synthétique des Anciens.

Problème I.

1. Trouver l'expression générale de l'attraction qu'un corps de figure

donnée exerce sur un point placé ou l'on voudra, en supposant que chaque particule du corps attire le même point comme une fonction quelconque de la distance.

Soient a, b, c les trois coordonnées rectangles qui déterminent la posi-

[) E S SPHEROÏDES ELLIPTIQUES. Gf>l

tion du point donné par rapport a trois axes fixes pris à volonté, el soient de même x, y, z les trois coordonnées rectangles qui déterminenl la position d'une particule a du corps par rapport aux mêmes axes, il est clair que la distance entre celte particule et le point attiré étant nommée r, on aura

donc désignant, en général, par R la fonction de /• :i laquelle l'attraction est supposée proportionnelle, on aura aR pour l'attraction exercée par la particule a suivant la direction de la ligne r; el il est facile de voir que pour décomposer cette attraction suivant les directions des lignes a, b, <■ perpendiculaires entre elles et parallèles aux trois axes fixes, il n'y aura qu'à la multiplier respectivement par

de plus il est visible que la particule c peut être représentée par le parallélépipède infiniment petit dxdydz\ ainsi l'on aura ces trois attractions élémentaires

— axriyriz, axtrrilz, - dx (lyrfz,

el il ne s'agira plus que de les intégrer en sort»1 que l'intégration s'étende à tous les points du corps.

Pour cela on commencera par intégrer en faisant varier une seule des trois coordonnées .r. v, c, comme s, et l'on étendra cette intégrale jusqu'aux valeurs extrêmes de ; qui répondent à la surface du corps; or la figure du corps étant donnée on aura une équation entre ,r, y, z, pour exprimer la surface de ce corps, el par laquelle on pourra déterminer les valeurs extrêmes de ; en r el y; de sorte qu'après ces Substitutions il

n'\ aura plus que deux variables x et y\ on intégrera donc une seconde lois en faisant varier une seule d'entre elles comme v, el il faudra de nouveau étendre l'intégrale jusqu'aux valeurs extrêmes de y qu'on trouvera en cherchant la plus grande et la plus petite valeur de y lorsque se

i>±-> SUR L'ATTRACTION

est constant el z variable dans l'équation à la surface; moyennant quoi ces valeurs de y seront données en x seul; et il n'y aura plus qu'à intégrer par rapport à cette dernière variable, et à étendre l'intégrale aux valeurs extrêmes de x, c'est-à-dire à la plus grande et à la plus petite valeur de x, lorsque y et z sont supposées variables à la fois dans l'équation donnée.

•2. Remarque. — Quoique les formules que nous venons de trouver soient celles qui se présentent le plus naturellement, ce ne sont cependant pas celles qui sont les plus commodes pour le calcul.

Pour en donner un exemple, prenons le cas où le corps attirant sérail une sphère, et où l'attraction se ferait en raison inverse des carres des distances; on aura donc

/■ce qui donnera ces trois formules

x — a j dx dy dz { y — b) dx dr dz ( z — c ; dx dydz

qu'il faudra intégre!' suivant les conditions énoncées dans le numéro précèdent, et comme la surface du corps est supposée sphérique, si l'on prend, ce qui est permis, l'origine des coordonnées x, y, z dans le centre même de la sphère, et qu'on nomme/ le rayon, on aura pour l'équation à la surface

par où l'on déterminera l'une des coordonnées par les deux autres.

Considérons d'abord l'expression de la force qui agit suivant l'ordonnée z, savoir

z — c dx dt 'dz

si on l'intègre en ne faisant varier que z on aura, à cause de r — sj{x — a? -+- {y - b ' + ~z - c -,

la quantité

or l'équation donne

dx (ly

z = ±v//2 — x2 — y2, en sorte que les deux valeurs extrêmes de z sont

■+■ sJP -x*-) -' et - y''/2 ■ - ^2 — rJ ;

léter l'ii (ju'elle soit nulle lorsque

fi TT (i\*

ainsi pour compléter l'intégrale - — il faudra la prendre en sorte

et qu'elle finisse quand

z — -+- yjp — x2 — ?1,

ee qui donnera d-onc, en faisant, pour abréger,

à1 -+- b2 h- cl = g-2, l'intégrale complète

d.rclr dxelj

\f2-*-g2 — %ax — 'xbv — 1C \' ]"' — r7 —v'' V jf * "'- S'* — î«''-»';i'+ïq,/,-.f1- I

Il faudrait maintenant intégrer de nouveau ces quantités en faisant variera; OU y, mais c'est ee qui ne parait pas aisé à cause des deux signes radicaux qui y entrent.

On rencontrera les mêmes difficultés si l'on veut intégrer les deux autres formules qui donnent les forces parallèles aux coordonnées x et v: de sorte qu'en s'y prenant de la manière ci-dessus il sera presque impossible de déterminer l'attraction d'une sphère sur un point placé dans un

endroit quelconque; cependant on sait que ce Problème est très-facile a résoudre lorsqu'on suppose la sphère partagée en une infinité de petits cylindres ayant tous pour axe la ligne qui joinl le poinl attire et le centre

&2k SUR L'ATTRACTION

de la sphère, et qu'on cherche d'abord l'attraction exercée par chacun de ces petits cylindres, et ensuite la somme de toutes ces attractions, par l'intégration.

On voit donc par là combien il est important dans cette recherche d'employer à la place des trois coordonnées rectangles oc, y, z, d'autres variables qui puissent faciliter les intégrations qu'elle demande. Nous allons donner dans le Problème suivant les principes nécessaires pour cet objet.

Problème II.

3. Supposons qu'on ait la différentielle V dxdydz, où P soit une fonction donnée de oc, y, z, et qui doive être intégrée trois fois en faisant varier successivement les changeantes x, y, z, et en observant les conditions énoncées dans le Problême I; on propose d'introduire à la place de ces changeantes trois autres changeantes p, q, r, qui soient des fonctions données de celles-là.

Puisque p, q, rsônt supposées des fonctions de oc, y, z, on aura aussi réciproquement x, y, z exprimées par des fonctions de p, q, r; on fera donc d'abord ces substitutions dans la quantité P, ce qui la réduira à une fonction de p, q, r, et il n'y aura de difficulté que par rapport à la quantité dxdydz.

Qu'on cherche par la différentiation les valeurs des différences dx, dy, dz, et l'on aura, en général,

dx == \dp -r Bdq H- C dr, dy Y) dp -+- Edq -+- Fdr, dz = Gdp -+- Hdq -+- Idr,

A, B, C,... étant des fonctions connues dep, q, / ; or il est facile de comprendre que pour avoir la valeur de dxdydz, on ne doit pas multiplier ensemble les valeurs précédentes de dx, dy, dz; car alors la différentielle P dxdydz contiendrait des termes où les différences dp, dq, dr se trouveraient élevées au carré ou au cube, en sorte que la triple intégration (jui doit se faire relativement aux trois variables/», q, r ne pourrait

plus avoir lieu; d'ailleurs, comme dxdydz exprime l'élément de la solidité du corps, il est clair que quelles que soient les variables p, q, r qu'on introduira à la place des variables oc, y, z, cet élément ne pourra être représenté que par le produit' dpdqdr des trois différences dp, dq, dr multiplié par une fonction quelconque de p, q, r. Je considère donc que dans l'expression du parallélépipède dxdydz, la différence dz doit être prise tandis que x et y demeurent constants; qu'ensuite la différence dy doit être prise en regardant a; et z comme constants, et qu'enfin la différence dx doit être prise en supposant dy et dz nuls; donc :

i° Pour avoir la valeur de dz, on fera dx = o et dy — o, ce qui

donnera

A dp -hBdq -+- Cdr = o,

Drf/) + EA/ + F(/r=o,

d'où l'on tirera dp et dq en dr, savoir

. BF-CE . . <:i) - AF ,

^ = AE-BD dr> ^ z AE-BD dr>

et substituant ces valeurs dans l'expression de dz, on aura

G(BF-CE) + H(CD — AF) + I(AE — BD) . <lz = ~AË^BD~ rfp-

2" Pour avoir la valeur de dy, on fera dx = o et dz = o, ce qui donnera

dr o, \(/j> + hdq o,

d'où l'on tire

Bdq

cl substituant ces valeurs dans l'expression de dy, on aura

AE-BD , dy -v dq.

V' Enfin pour avoir la valeur de dx, on fera dy <> el dz o, ce qui donne

dr o, fAy o,

en sorte qu'on aura

dx = kdp.

Maintenant, multipliant ensemble ces valeurs, on aura

dxdydz = [G(BF— CE) + H(CD — AF) + I( AE — BD)] dpdqdr,

où l'on observera que la quantité

G(BF-CE) + H(CD- AF) + IfAE-BDj ou bien

A El + BFG + CDH - AFH - BDI - CEG

demeure la même, ou change tout au plus de signe, en échangeant respectivement entre eux les trois systèmes de quantités A, B, C; D, E, F; G, H, I; de sorte qu'on aura le même résultat si, au lieu de chercher d'abord comme nous l'avons fait la valeur de dz, ensuite celle de dy et de dx, on voulait commencer par chercher celle de dy ou de dx, et ensuite celle d'une quelconque des deux autres différentielles. Il ne pourra y avoir de différence que dans le signe, mais elle ne sera ici d'aucune conséquence, puisqu'il est indifférent de prendre l'élément a = dxdydz en plus ou en moins; cependant, comme il est plus naturel de regarder cette quantité comme positive, on aura toujours soin de prendre la valeur de a positivement; c'est pourquoi nous supposerons, en général,

a = ± (AEI + BFG + CDH - AFH - BDI - CEG) dpdqdr.

4. Corollaire. — Une des transformations les plus utiles et les plus ordinaires est d'introduire a la place des coordonnées rectangles x, y, z un rayon vecteur r partant d'un point lixe qu'on nomme le centre des rayons, avec deux angles/) et q qui déterminent la position de ce rayon ; et dont l'un p soit celui que le même rayon fait avec un des axes des coordonnées comme avec l'axe des z, ou bien avec un axe parallèle à celui-ci, mais passant par le centre des rayons; et dont l'autre q soit l'angle que la projection du rayon r sur le plan des coordonnées x, y fait avec l'axe des x, ou, ce qui est la même chose, avec un axe parallèle à

celui-ci et passant par le centre des rayons. Si l'on dénote par a, b, c les coordonnées rectangles qui déterminent la position arbitraire du centre, il est visible qu'on aura d'abord

r = v ( x — a )' -+- ( y — b )2 -+- (z — c :2 ; ensuite on trouvera facilement

JTx~— a)2 -h ( r — b y> . r— b

sinp z= ï-i - *■ , sino = — i

r a ^x — ay + ^y—by

d'où l'on tire

x — a = rsinp cosq, y — b = rsinpsinq, z — c = rcosp;

et différentiant

dx = r coup cosqdp — sinp sinqdq | -t- sinp cosqdr, (I) ■ ■— r(cosp sinqdp — sinp cosqdq) + sinp sinqdr, dz = — rsinp dp -+- cospdr;

ce qui donne par la comparaison des termes

A = rcosp cosq, B — — rsinpsinq, C = sinpcosq,

D = rcosp sinq, E = rsinp cos^r, F — sinpsin</,

G = — rsinp, Ho, I = cosp;

d'où l'on tire d'abord

B¥ — CE - rsinJp, AE — BD — r'sinp cosp;

de sorte qu'à cause de H = o, on aura

\EI + BFG + CDU - AFH - BDI - CEG = (BF — CE) G -+- ( AE - BD I

= r'sin'p -f- r'sinp ros2p r'sinp;

par conséquent on aura, en prenant le signe -t-,

tL — dxdydz r'sinpdpdqdr.

Cette expression de a qui est, comme on voit, assez simple, peut ;nissi m

trouver directement sans aucun calcul, niais nous avons préféré de la déduire de notre formule générale pour en faire voir l'usage.

5. Remarque. — Supposons maintenant qu'on ait un corps d'une figure finie et continue, dont la surface soit exprimée par une équation entre les coordonnées x, y, z qu'on transformera aisément en une autre entre le rayon ret les angles/? et q, et qu'il s'agisse d'intégrer la différentielle Pa en sorte que l'intégrale s'étende à toute la masse du corps; il faudra faire varier successivement les quantités r, p, q, et intégrer par rapport à chacune d'elles en particulier; mais pour cela on doit distinguer deux cas suivant que le centre des rayons r est placé au dehors ou au dedans du corps.

i° Lorsque le centre des rayons est hors du corps, il est clair que les angles/? eiq ne peuvent augmenter que jusqu'à un certain point; et l'on trouvera leurs limites en cherchant les points où le rayon r touche la surface du corps, c'est-à-dire où — = =o et -y- = ce . En général, il est 1 dp dq c

visible que puisque le rayon r traverse le corps entier, l'équation qui exprime la surface de ce corps doit donner, pour chaque valeur de p et q, deux valeurs de r, que nous dénoterons par r' et r", et qui répondent aux deux points de la surface, lesquels sont dans une même ligne droite avec le centre des rayons. On commencera donc par intégrer la différentielle Pa en faisant varier r seul, et l'on prendra l'intégrale en sorte qu'elle commence au point où r = r' et finisse à celui où r=r", c'està-dire qu'on prendra la différence des intégrales qui répondent à /• = /•" et à r = r'; or il est clair que les points où le rayon /• touche la surface du corps sans la couper sont nécessairement ceux où les deux racines r' et r" deviennent égales; ainsi, faisant r' = r" on aura une équation entre/? et q, qui déterminera l'étendue qu'on peut donner à ces angles, et d'où l'on tirera aussi deux valeurs de/? en q, que nous dénoterons de même par /?' et /?"; c'est pourquoi il faudra intégrer de nouveau l'intégrale précédente en y faisant varier/? seul, et prendre la nouvelle intégrale en sorte qu'elle commence où p=p' et qu'elle finisse où /?=/?"; enfin on fera /?'=/?", ce qui donnera une équation en q seul, laquelle

aura aussi nécessairement deux racines q' et q"; ainsi l'on intégrera pour la troisième fois en faisant varier q, et l'on prendra l'intégrale en sorte qu'elle commence où q = q' et qu'elle finisse où q = q". On aura de cette manière l'intégrale complète de la différentielle proposée. Il faut seulement remarquer qu'il peut arriver que l'équation p'=p' ', qui doit donner les deux valeurs extrêmes de q, soit impossible, ou qu'elle ne renferme point la variable q; dans ce cas ce sera une marque que l'angle q peut recevoir toutes les valeurs possibles, et pour compléter l'intégrale il suffira alors de la prendre depuis q = o jusqu'à q = 1800, c'est-à-dire qu'on prendra q' = o et q" — 1800. On remarquera encore que dans le cas où les valeurs de// et// seront indépendantes de q, les intégrations relatives a p et q seront indépendantes l'une de l'autre, puisque les quantités/?' et// auront, ainsi que les quantités q' et q", des valeurs absolues cl données. D'où il suit qu'il sera indifférent dans ce cas de commencer par l'intégration relative a p ou par celle qui regarde q, et qu'il conviendra par conséquent de commencer par celle des deux qui rendra le calcul plus facile.

2° Lorsque le centre des rayons /-est au dedans du corps, il est visible que les angles p et q peuvent recevoir toutes les valeurs possibles, puisque dans quelque position que le rayon rse trouve il rencontre toujours nécessairement la surface du corps; de plus il est clair que le même rayon, étant prolongé de part et d'autre du centre, doit rencontrer la surface du corps des deux côtés; et l'on déterminera les deux valeurs de /', que nous désignerons par r' et r", par la résolution de l'équation à la surface cuire les coordonnées /\ p, q. Or il csl facile de concevoir que, pour avoir dans ce cas l'intégrale complète de Pa, il suffira d'intégrer d'abord en faisant, varier r seul cl de manière que l'intégrale soit nulle lorsque r o, et de prendre la somme des valeurs de l'intégrale qui répondent ii /• r' et à /■ -- r"; d'intégrer ensuite celle quantité en faisant varier successivement les angles p et q, et de prendre chacune de ces intégrales particulières en sorte qu'elle snii nulle, et complète lorsque p ou y est égal ii 180 degrés. Et comme les intégrations qui regardent les variables p et q sont absolues et indépendantes l'une de l'an ire.

il est visible qu'il sera indifférent de commencer par telle qu'on voudra. On voit par là qu'il y a une grande différence entre le cas où le centre des rayons r est supposé au dehors, et celui où il est au dedans du corps; que ce dernier est sans comparaison plus facile à résoudre que l'autre, et qu'ainsi il convient de ramener toujours la question à ce cas, ce qui est d'ailleurs toujours possible, puisque la position du centre des rayons est arbitraire, ne dépendant que des constantes indéterminées a, b, c.

3° Il y aurait, à la vérité, encore un cas qui paraîtrait mériter une discussion particulière, parce qu'il est comme intermédiaire entre les deux précédents, c'est celui où le centre des rayons serait placé sur la surface même du corps; mais on peut rapporter ce cas au précédent et le traiter de même, en remarquant qu'on aura une seule valeur de r, l'autre devenant nulle, et qu'ainsi après avoir intégré en faisant varier r, il n'y aura qu'à prendre l'intégrale en sorte qu'elle soit nulle lorsque r = o, et complète lorsque r aura la valeur résultante de l'équation entre r, p, q; à l'égard des deux autres intégrations, on y observera les mêmes conditions que ci dessus.

Problème III.

6. Déterminer la valeur de l'attraction qu'un corps dont la surface est exprimée par une équation du second degré exerce sur un point placé au dedans du corps ou à sa surface, en supposant l'attraction réciproquement proportionnelle aux carrés des distances.

Conservant les dénominations du Problème I, on aura R = —> el l'élé-

ment de l'attraction sera égal à — » qui étant décomposé suivant les

directions des coordonnées x, y, z donnera les trois attractions élémentaires

►i 3 ti3 i>3

Introduisons maintenant à la place des coordonnées rectangles x, y, z le rayon même r avec les deux angles p et q, ainsi qu'on l'a fait dans le

n° 4, et l'on aura

x = r2sinp dpdqdr, x — a = rsinp cosq, y— b = rsinp sinq, z — c = rcosp,

et les trois attractions élémentaires deviendront celles-ci

• sin2 p cosq dpdqdr suivant a,

sin2 p sinq dpdqdr suivant h, sinp cosp dpdqdr suivant c.

Maintenant, comme le rayon est supposé mené du point attiré, il est clair que ce point sera ici le centre même des rayons; par conséquent il faudra procéder dans l'intégration d'une manière différente suivant que le point attiré sera hors du corps ou au dedans. Dans le Problème présent nous supposons que ce point est placé dans l'intérieur du corps, ainsi l'on suivra les règles données ci-dessus (5, 2°).

On commencera donc par intégrer par rapport a r, et nommant /•' et r" les deux valeurs de r qu'on trouvera par la résolution de l'équation à la surface donnée, on aura ces premières intégrales

/•' 4- r" | sin*p cos qdpdq, /•' -+- r")siiï'p sinqdpdq, r' -+- /" i sin/7 cosp dp dq,

Maintenant on sait que les surfaces du second ordre qui sont renfermées dans un espace fini peuvent être représentées toutes par l'équation

i1 -t- mx1 -4- ri) ' k,

m, n, k étant des coefficients quelconques positifs; et il est clair, par la nature de celle équation, que les axes des trois coordonnées rectangles r. y, z seront tels, que les plans passant par deux quelconques (rentre eux partageront la surface en deux parties parfaitement égales; de sorte que ces axes seront en inéine temps les axes de la surface, et leur intersection

commune en sera le centre. Qu'on substitue donc dans celte équation i»

la place de x, y, z leurs valeurs en r, p, q, savoir (4)

x — a -+- rsinp cosr/, r = b -h rsinp sinrj, z =^c + rcosp, on aura l'équation

I c -h rcosp 2+ m (a ■+- rsihp cosq ! + h 4 + rsinp sinq •' = />,

et ordonnant les termes par rapport à r,

( cos2p -+- m sin2p cos2q + n sin2/? sin2ç ) /';

-f- z(c cosp •+- ma sinp cosq -f- /i& sin/> sin^r /■ -+- ie,J -+- »?«- -r- «£>- — A

c'est-à-dire

2 z(c cosp -\- ?7ias\np cosq -h nb sinp sinq cos2p + m sin2/? cos2q + n s'm2p sin2q

c2 -+■ ma2 -f- nb2 — k

cos2p -+- m sin2p cos2q -f- « sin2/> sin'q

équation dont les racines seront r' et r"; mais nous n'aurons pas même besoin de la résoudre pour chercher ces racines; car comme il nous suffît d'avoir leur somme r' -h r", on la connaîtra immédiatement par le coefficient du second terme ; en sorte qu'on aura

, „ i{c cosp -+- ma sinp cosq -+- nb sinp sinq cos2p -+• m sin2p cos2q -+- n sin2p sin2 q

ainsi , substituant cette valeur dans les expressions précédentes, elles deviendront

i(cosp ■+- ma sinp cosq -+- nb sinp sinq i sin2/? cosq dp dq cos2p -+- m sin'p cos2q -+- n sin2p sin2q

2 cosp -+- ma sinp cosq -+- nb sinp sinq sin2p sinq dp dq cos2p -t- m sin2p cos2q -+- nsin2p sin2q

ai cosp -+- ma sinp cosq -f- nb sinp sinq | sinp cosp dp dq cos2p ■+- m sin2p cos2q -+- n sin2p sin2q

Il ne s'agit donc plus que d'intégrer ces formules en faisant varier les angles/? et q chacun en particulier, et prenant chaque intégrale en sorte qu'elle soit nulle lorsque la variable est nulle, et complète lorsque la variable est égale à 180 degrés (5, 2°j.

Donc si l'on fait, pour abréger,

eus''/; -f m sin2/) eos-</ 4- » sin2 p sin'q = N,

et qu'on suppose

. fs'm2p cosp cosqdpdq A J ~N~ : '

. rsin3p cos-qdpdq

r~ Cs^naP sinç cosqdpdq L~J- "N"

/"sin2/? cosp sinqdpdq

/"sin'» sin ^ coso r//><A/

f sin3 p sin* q dp dq

Csinp cos-p dp dq

Cs'm-p cosp cosqdpdq J N

P sin* p cosp sinqdpdq

ces intégrales étanl complétées de la manière qu'on vienl de le dire, on aura les valeurs suivantes des attractions cherchées

attraction dans la direction de la 1 attraction dans la direction de la 1 attraction dans la direction de la I

gne ", — ?. cA — 7. nui W — 2n6C; gne b, 7.c D - 7i)i(i V. •///» I'; gne c, ■ cG 2 //mil — 2/16 I.

7. Corollaire I. Il csi clair que les valeurs des quantités A, H, C,... sont indépendantes des quantités a, b, c, qui déterminenl la position du

poinl attire, ainsi que de la constante /• qui entre dans l'équation à la surface; d'où il snil :

1" One si l'on a deux points, dont l'un soit déterminé par les coordonnées a, b, c, el l'autre par les coordonnées Xa, /A. Xc, proportionnelles m. 80

634 SUK L'ATTRACTION

à celles-là, les attractions dit même corps sur le premier point seront à celles sur le second point comme i est à )., puisqu'on substituant '/.a, \b, le à la place de a, b, c dans les formules précédentes, on ne fait autre chose que les multiplier par le coefficient /. Or il est facile de voir que la position des deux points dont il s'agit sera sur une même ligne droite menée par le centre de la surface qui est l'origine des coordonnées x, y, z, ainsi que des coordonnées a, b, c, et que la distance du premier point au centre sera à celle du second point au même centre comme i est à /. D'où l'on peut d'abord conclure que les attractions sur deux points placés dans une droite menée par le centre de la surface seront nécessairement proportionnelles aux distances de ces points au même centre, pourvu toutefois que ces points ne soient pas placés hors de la surface. Et comme cette proposition est vraie en particulier par rapport à l'attraction que le solide exerce suivant chacune des coordonnées rectangles a, b, c, il s'ensuit qu'elle sera vraie aussi par rapport à l'attraction qu'il exerce suivant une direction quelconque donnée.

20 Que l'attraction sur un point donné placé au dedans du corps ou à sa surface, c'est-à-dire sur un point quelconque du corps, sera la même tant que les constantes m et n de l'équation à la surface seront les mêmes, quelque valeur qu'on donne d'ailleurs à la constante k; or il est facile de prouver, par la nature de l'équation

z- -+- mx2 4- ny' — k,

que les constantes m et n déterminent l'espèce de la surface, et la constante k sa grandeur, en sorte que toutes les surfaces dont l'équation ne diffère que par la valeur de k sont semblables entre elles, et semblablement situées; d'où il s'ensuit que tous les solides semblables, dont la surface sera représentée par une équation de fa forme

z2 -+- mx- -+- ny7 = k,

exerceront nécessairement la même attraction sur un même point quelconque placé où l'on voudra dans l'intérieur ou à la surface de ces solides. Et de là on tire d'abord ce Théorème que, si l'on a un solide creux

dont les deux surfaces, l'extérieure et l'intérieure, soient semblables , son attraction sur un point quelconque de la surface intérieure sera nulle; car l'attraction du solide entier serait la même que celle de la partie qui occupe la cavité.

8. Corollaire II. — Considérons maintenant de plus près les valeurs des attractions suivant les lignes a, b, c; et, comme tout se réduit à avoir les valeurs des quantités A, B, C,..., voyons comment on pourra les trouver.

Pour faciliter beaucoup cette recherche, je commencerai par remarquer, en général, que si l'on a une fonction P de sin/? et de cos2/?, el qu'on demande la valeur de l'intégrale de P cospdp prise eu sorte qu'elle soit nulle lorsque/? = o, et complète lorsque/? = i8o°, cette valeur sera nécessairement nulle; car comme

sin'i8o° — p =sin// et cos(i8o° — p) = — cosp,

il est visible que les valeurs de Pcosy? qui répondent à p et à [8o° — p seront égales et de signes contraires-, d'où il s'ensuit que dans la suite des éléments V CO&pdp qui répondent à toutes les valeurs de p depuis p = o jusqu'à p = i8o°, les mêmes termes se trouveront deux fois, mais avec des signes différents, en sorte que la somme totale sera toujours nulle.

De là on doit conclure que si P est une fonction de sin/>, cos2/» el de siny, cos-'y, et qu'on demande l'intégrale complète de Pcospdpdq ou àeVcosqdpdq ou de Vcospcosqdpdq, en faisant varier successivement les angles p et g, depuis o jusqu'à [80 degrés, chacune de ces intégrales sera nulle; car on aura, en faisant d'abord varier/»,

Pcospdp <>.

et faisant varier q, on aura de même

V 1 ZOS qdq o;

636 SUH L'ATTRACTION

donc, etc. Par le moyen de ce Théorème, on aura donc sans aucun calcul

par conséquent les valeurs des trois attractions suivant les lignes a, b, c se réduiront à celles-ci

— 2maB, — 2 nb F, — icG.

D'où l'on voit que ces trois attractions seront respectivement proportionnelles aux lignes a, b, c.

Or comme ces lignes sont parallèles aux trois axes du solide, il est clair qu'elles expriment en même temps les distances du point attiré à chacun des trois plans passant par ces axes. Donc l'attraction d'un point quelconque du solide, parallèlement à chacun de ses trois axes, sera proportionnelle à la distance de ce point au plan passant par les deux autres axes; par conséquent tous les points du solide qui seront à même distance de l'un quelconque de ces plans, c'est-à-dire tous les points placés dans un plan parallèle à l'un quelconque d'entre eux, seront attires perpendiculairement à ce même plan par une force égale.