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en sorte que pour appliquer les formules différentielles « 1 < 1 n" 13 au cas

présent il suffirait d'} mettre partout mcos2^ rcsin2^ à là place de m.

De là on peul d'abord conclure que les intégrales relatives à /> seront les

6i(i SUR L'ATTRACTION

mêmes que ci-dessus, en y changeant seulement m en mcosiq + n&in*q. Doue les intégrales des deux premières formules seront aussi nulles, et celle de la troisième sera représentée par la quantité

AÈL / 7 » /J»cl ^ „„„ .„„„ \ * i — m

/ r > I »'cJ \ f(

l\'>'—\/~ - X are tang — ,

laquelle devra donc encore être intégrée relativement à q, après y avoir substitué partout mcos'2q -+- ns\n2q à la place de m. Or comme les deux valeurs extrêmes de p sont (13) p = a. etp = — oc, il est visible qu'elles ne peuvent devenir égales qu'en faisant a = o, et par conséquent

-. — — j = o et h — mk — mc2= x ,

ce qui ne se peut; ainsi, ne pouvant tirer de cette condition les valeurs de q nécessaires pour compléter l'intégrale de la quantité précédente, on prendra cette intégrale en sorte qu'elle commence où q = o et qu'elle finisse où q == 1800; mais l'intégration de la différentielle dont il s'agit étant très-difficile, si même elle n'est pas impossible, nous ne nous y arrêterons pas; outre que cette matière n'est pas proprement de l'objet auquel ce Mémoire était destiné, elle a d'ailleurs été déjà savamment discutée dans le sixième volume des Opuscules de M. d'Alembert , auquel il nous suffira par conséquent de renvoyer.

15. Remarque. — On trouverait des difficultés beaucoup plus grandes si l'on voulait déterminer par les formules du Problème précédent l'attraction du sphéroïde sur un point placé hors de l'axe; car alors les quantités a, b n'étant point nulles, les expressions des attractions différentielles seraient trop compliquées pour qu'on pût les traiter par les méthodes connues. On peut cependant ramener en quelque manière tous les cas à celui où le point attiré est placé dans le prolongement de l'axe des coordonnées z, en changeant la position des coordonnées rectangles oc, y, z de manière que l'axe des z passe par le point attiré; car

alors on aura également a = o et b = o; ce qui pourra peut-être faciliter les intégrations relatives aux angles p et q.

Pour faire cette transformation des coordonnées de la manière la plus générale, on remarquera que nommant oc', y', z' les nouvelles coordonnées rectangles, qu'on suppose avoir la même origine que les coordonnées x, y, z, les valeurs de celles-ci en celles-là seront exprimées de cette manière

x = lx' + y-y' -i-vz',

les coefficients X, jx, v, }.',... dépendant uniquement de la position des coordonnées x', y', z' relativement à celle des coordonnées x, y, z.

Or comme on suppose que les coordonnées x', y', z' se rapportent aux mêmes points que les coordonnées a?, y, z, on aura nécessairement

xn f y* + 2'2= x- -h y7 -h z2— r'; donc il faudra qu'on ait

(X'+X"-^"')*:'2-»- fi» '-+- p" -f fJt"J)jr"4- V2H v'- I v"s :

-1-2' Xàix-+-X'y.'-I-X"y." .r'>-'H-2f/.v-)- XV 4- X'V).rV-l- ?. w-i- f/'v'-f j*V lj'.z = *'»+/" H 2'-',

équation qui doit avoir lieu indépendamment des valeurs de •»', v . r. : c'est pourquoi il faudra qu'on ait, en particulier, les conditions suivantes

X,4-X"-|-X",= i, fi' + ^H y.'-' i, 1/' + *" + /' i,

/.y -t- ).'// -4- /."y." O, >.v -t XV I > V O, [XV •+ «V - y'V <>.

qui serviront ii déterminer six des neuf quantités À. y., v, >. , y.',

Maintenant, comme a, A, r' soni les coordonnées qui déterminent la position du point attiré, relativement aux axes des premières coordonnées > , v, r, si l'on nomme de même a',b'% <■ les coordonnées qui détermineront la position du même point relativement aux axes des nouvelles

coordonnées oc', y', z', on aura 'pareillement

a— la' + u.b' + vc' , h — Va' -i- pi'fc'-f- v'c', c—l"a'+ii."b'+v"c'',

et ees équations serviront à déterminer les trois restantes des neuf quantités X, jx, —

Supposons maintenant que l'on ait «' — o et b' = o, pour que le point attiré se trouve dans l'axe même des coordonnées c'; et l'on aura

a = vc', b — v'c', c = v"c',

d'où l'on tire

Ensuite on déterminera les autres quantités )., ).', ).", \j., jx', \j.' par les six équations ci-dessus.

On substituera donc à la place de x, y, z les expressions ci-dessus dans

l'équation

z2 H- mx2 + ny- = k ;

ensuite il faudra mettre (6) à la place des nouvelles coordonnées x', y , z' les quantités rs'mp cosq, rsinpsinq, c' -+- rcosp; et l'on aura l'équation

m[7. r s'mp cosq -4- jj. r sir\p sinq -h v (c' -\- rcosp) - I -+- n [>.'/• sinp cos^ -+■ p/r sinp sin^r -f v' (c'h- rcosp.)]1 \ - k, -+- [V'rsinp cosq -t- y." rsinpsinq -4-v"(c'-f rcosp)]2 1

laquelle, étant ordonnée par l'apport à /•, deviendra

m 7. s'mp cosq -+- \j. smp smq -f v eus/; -4- n (>.' sin/? cosq h- f/' sin/? sinç ■+■ v' cosp)1 -f- ()/' s'mp cosq -+- p."sinp sin</ + -/' cospf mv ( 7. s'mp cosq ■+- p. smp s'mq -+- v cosp) -+- nv'(V smp cosq -+- \>! smp smq H- v' cosp -+- v" (V'sinp cosq -+- p." s'mp sinq -+- v"cosp) < m v2 -f- n v'2 H- v": ) c'2 — k— o.

Donc faisant

m • '/. s'mp cosq -(- u. s'mp s'mq + v cosp 2

-+- ni '/! su\p cosq -+- u! s'mp sin</ -\- v' cosp i' H- (A"sin/> cosq -+- y."s'\np sinry -f- v"cosp '-' m Xv -:- n XV -i- XV ) sin/> cos</ -i- /?; y.v + « //v' -f p/V i sin/? sin q X c', -i- i mv1 H- rev's + v"2) eos/; // w y2 -,- »y'2 + v"J c'- — /i = «2 -f- mb1 -f rac2 — /< ;

on aura

Nf'+2M/-+/i = o; d'où l'on tire la différence dos racines

valeur qu'il faudra substituer dans les formules différentielles du Problème IV, après quoi on intégrera relativement à p et à q, en observant les règles données dans ce Problème. Mais comme les valeurs ci-dessus de M et de N sont presque encore plus compliquées que celles du n° 12, il s'ensuit que la méthode précédente ne saurait être d'une grande utilité dans la solution du Problème dont il s'agit.