v </0 iov! 1 rf!0 35v3 1 (/3Q i?6v4 1 rf'Q \
-Q+-n--7- +-s -7— r-i 77 — 7 1— T + ~£ w -7— 7+... ibo",
2 o dm S'i 7. a ni' 120 2.3 dm3 012 2.J..) «m1 /
2 «/» o 2 « 32 2.3 dm* 120 2.J.4 «»r /
Problème IV.
12. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème 111. on demande l'attraction du sphéroïde sur un point placé au dehors.
On aura dans ce cas les mêmes formules différentielles que dans celui du Problème cité; toute la différence consistera dans la manière de corn-
DES SPHÉROÏDES ELLIPTIQUES. Ml
pléter chaque intégrale; on suivra pour cela les règles données dans le n° 5, i", et il est facile de voir qu'après la première intégration suivant la variabilité de r, on aura les mêmes formules que dans le Problème III, mais avec cette différence qu'au lieu de la somme r'+ r" des deux valeurs de r il faudra mettre leur différence r'—r". Ainsi les premières intégrales des trois attractions suivant les trois axes du sphéroïde seront
/' — /•") sin2/; cosqdpdq, (/•' — r" sin2/> sin qdpdq, O' — r" ) sin p cos /; dp dq.
Maintenant, si l'on représente par
r2 H- irnr -+- p — o
l'équation en r dont r' et r" sont les racines, on aura, comme on sait,
donc
/•' — r" = 2 \Its2 - p .
Qu'on suppose, pour abréger,
c cos/; -f- ma sin/? cos</ ■+ />/> sin/; sin</ M, cos2/; 4- m sin2/; cos2</ -+- n sin2/; sin2^ = N, £' 4- met1 4- m62- /< //,
et l'on aura (Problème III j donc
AN
Ainsi il n'\ aura qu'à substituer cette valeur dans les formules précédentes et intégrer ensuite par rapport à la variable /;; pour compléter ces intégrales on fera r' ■■ r", c'est-à-dire r' / o, et l'on aura
M AN o, III 8i
(iV2 SUR L'ATTRACTION
équation d'où l'on tirera les deux valeurs extrêmes de p, ou plutôt de sin/J ou de cosp, lesquelles détermineront l'étendue qu'il faudra donner aux intégrales dont il s'agit. On intégrera enfin relativement à q, et pour avoir les valeurs extrêmes de </ il n'y aura qu'à ehercher les conditions qui donnent des racines égales à l'équation
Ma-/iN = o,
ordonnée relativement a s\np ou cos/?; connaissant ces valeurs, on s'en servira pour compléter les dernières intégrales.
13. Corollairk I. — Considérons le cas d'un sphéroïde de révolution auquel on a m = n\ on aura donc
M = c cosp -+- msin/>(acos</ -+- b s'mq), . N = cos2p + m sh\2p.
Supposons de plus qu'on cherche seulement l'attraction du sphéroïde pour un point quelconque de son axe de révolution; il faudra faire a = o, b =o, et l'on aura simplement
M — -; c cosp;
d'où l'on voit que l'équation
M2-/iN = o
ne renfermera point l'angle q, et qu'ainsi les intégrations relatives à p et q seront indépendantes l'une de l'autre, en sorte qu'il sera libre de commencer par celle des deux qu'on voudra; de plus, l'intégration relative à q devra s'étendre (5, i°) depuis q = o jusqu'à q — i8o°.
Faisant pour plus de simplicité ûnp=u, on aura, à cause de h = c2 — k,
M2— /«N = c2(i — m2) — h[i— u*) — mhiï> = c' — Il — ( c2 — k + m/i ) u2 = h — [k -h m(c2— /.-)] W,
et les trois formules différentielles deviendront
2 v /i — [k — mk -+- me- , m2 . , .
u2cosq a />(/<],
i — 1 — ni i m-
2 i /f — ( k — mk -+- /ne2) m2 . , , ' — ,/.mw„ -u'smqdpdq,
zJk — ik — mk-hmc^u1 , .
— ï— — — — - «rfarfç .
Or comme l'équation
k — ( /> — mk -+- /??e2 m2 =- o donne
" y /r — mh -!-
me-
il s'ensuit que les intégrations relatives à l'angle/» devront s'étendre depuis p = y. jusqu'à p = — oc, en prenant
• / ' * a arc sin 4 / 7 = •
y A — mk -+- me1
D'où il esi facile de conclure d'abord que l'intégrale complète de la
quantité
\Jk — ( k — mk -+- me1 1 ir
sera nulle; car si l'on dénoie par A l'intégrale de celle quantité prise depuis p = o jusqu'à p = <?., il esl clair que l'intégrale de la même quantité depuis p = o jusqu'à p= — ce. sera égale à - A', puisque u2= sin2/; conserve la même valeur en prenant p négatif; or il esl visible que l'intégrale depuis p = u jusqu'à p = — « n'est antre chose que la somme des deux précédentes, c'est-à-dire A — A = o.
Donc l'intégrale de chacune des deux premières formules différentielles sera nulle; par conséquent l'attraction perpendiculaire à l'axe de révolution dans lequel est prise l'ordonnée c sera nulle; ce qui est d'ailleurs évident de soi-même.
' Le facteur 2, qui figure dans ces formules el dans celles qui en résultent par I intégration, esl omis dans le texte primitif; nous avons cru devoir le rétablir ici.
Vnee de l'Éditeur.)
Il ne reste donc qu'à chercher l'intégrale de la troisième formule différentielle, et comme on peut intégrer d'abord suivant q, on aura, en exécutant cette intégration, et complétant l'intégrale en sorte qu'elle commence au point où q = o et qu'elle finisse à celui où q — i8o°, on aura, dis-je, la formule
2 Jk — (k — mk + me7 ) u2 u du ., -ï — — — — X i8o°.
Ainsi il ne s'agira plus que d'intégrer la quantité
2 Jk — (/i — mk -+- me- 1 u- udu i — (i — m ) u-
et pour cela on fera ce qui donne
\Jk — (k — mk -+- me*) u' = t,
k — mk -+- me2 moyennant quoi la différentielle proposée se transforme en celle-ci
me
' t'dt i I , i — m
dt dt
me2 + ( i — m) P i — m \ me-
dont l'intégrale est évidemment
/ / mcî t \
l t— \/ - — X arc tanç \
pour compléter cette intégrale il faut se ressouvenir qu'elle doit s'étendre depuis p = a jusqu'à p = — a; et pour éviter toute erreur il conviendra de chercher à part les deux portions qui s'étendent, l'une depuis p -— o jusqu'à /; = « et que nous dénoterons par A, l'autre depuis p = o jusqu'à p— — a et que nous dénoterons par B; et la somme A-f- B sera l'intégrale complète cherchée. Or en faisant p = o on a // = o, donc
DES SPHÉROÏDES ELLIPTIQUES. Gi5
* = \[k; par conséquent la constante à ajouter à l'intégrale ci-dessus sera
(Wï^
arc tan g i — m I ' v i — '»
y i — rr
faisant ensuite p = oc on aura t = o, et faisant /> = — » on aura de même £ = o; d'où il suit qu'on aura
/ me2 k k \
A = B — / v k — \/ - - X arc tang -
donc l'intégrale cherchée sera égale à 2 A; et, multipliant par 180 degrés, on aura enfin la quantité
/ -j I me1 Jh
\" — \/ - - X arc tang — / \ x 3(>o"
I me1 V ' — m.
pour la valeur de l'attraction du sphéroïde sur un point de l'axe place à la distance c du centre.
Ce Problème a aussi été résolu synthétiquementparM. Maclaurin dans son Traite des Fluxions, et nos solutions s'accordent dans les résultais.
14. Corollaire II. -- Si l'on voulait résoudre la question du Corollaire précédent sans supposer m — n, c'est-à-dire en regardant le sphéroïde comme simplement elliptique sans qu'il soit de révolution, la quantité N serait (en faisant toujours sïnp = u)
1 u' ^ mco&q-\- nsin'ç u7,
au lieu d'être siinpleiueul
