I + C0S20 . , I — COS
cos2o=- — -) sin2a = — — :
, m -+- n + [m — n) cos 2 q
Soit maintenant
on aura
tang^ = ^
cos o.q
dl
? dq = TT72'
donc
,__ (m-t-n) (n- t2) + (m — n) (1— f2) m -h rit
I — Wl+ (t — «) <2
/tt
— ni' 1 — m -f- i 1 — n ) V
cl la différentielle précédente deviendra par ces substitutions
8dtft
m + ni2 ni -h 1 — n)/
X arc tang
ni
nt1 i—n I \
et comme 7 = o donne / = o, et «y = 900 donne / — x , il s'ensuil que pour avoir l'attraction entière il faudra prendre l'intégrale de celle quantité depuis / = o jusqu'à t = 00 .
2. On voit par l'équation générale du sphéroïde, laquelle donne za / lorsque » el y sont nuls, que \/" est le deini-axe, en sorte que, faisant
c — \ /•. le point attiré tombe sur la surface ; or dans ce cas on a g — 1 , ce qui simplifie un peu la formule précédente. Mais je vais faire voir que quelle que soit la valeur de g, on peut toujours ramener la formule a la même forme que dans le cas de g 1 .
Gok SUR L'ATTRACTION
Pour cela je suppose
m -+■ nP . y. -+- v0:
i — m -+- (i — n)P * i — y. -+- (i — v -fr
\j. et v étant des coefficients indéterminés et 5 une nouvelle variable; et je tire de là
je suppose maintenant
g2 i — wi ) u — m i — y. ; — - o, « ( I — v) — g2 ( i — «) v = o,
ce qui me donne
ni -h [i — m ) g'2 n -f- (i — /i ) g-2
j'aurai ainsi
n ( i — p.) — g2 ( i — n ) /jl
savoir, en substituant les valeurs précédentes de \j. et v,
et de là
V g2(l — «,-4-Ai
de plus, a cause de /- = — o2, on aura
mais les deux équations ci-dessus donnent
donc on aura
i — m ■+- ( i— n)t2 = - -li— u
ë2lJ-
+ (,V)e»]= — ,JS-[*-i*
Faisant donc ces substitutions dans la formule différentielle du numéro précédent et supposant, pour abréger,
elle deviendra
arc tan g
et comme S est égal à zéro lorsque t = o, et égal à ce lorsque / = se , il s'ensuit qu'il faudra prendre aussi l'intégrale de cette formule depuis S — o jusqu'à 6 = ce .
3. dette transformée en 9 est, comme on voit, entièrement semblable à la formule ci-dessus en / dans le cas de g = i . les quantités (u, v, y répondant aux quantités m, n, /•; donc puisque les deux valeurs extrêmes des variables t el rj doivent être les mêmes, il s'ensuit que l'intégrale de la différentielle en / du n° 1, quelle que soit la valeur de g, sera exprimée par une fonction de (x, v, y semblable à la fonction de m. //, /• par laquelle sera exprimée la même intégrale dans le cas de g î .
Donc l'attraction du sphéroïde représenté par l'équation
z2 -4- nix- -+- //t- 1,
sur un point placé hors de lui dans l'axe des z a la distance c du centre sera cg.de ii l'attraction du sphéroïde représenté par l'équation
z1 -+■ u.x2 -t- vy2 = /
sur nu point de sa surface dans le même axe des s,
4. Les trois demi-axes du sphéroïde représente par l'équation
z2 -t- nix2 -+- m J I, .
auxquels les coordonnées x, y, z sont supposées parallèles, sont 1/
t/-5 \fk\ nommant donc ces demi-axes a, b, c, on aura
et désignant par h la distance du point attiré au centre du sphéroïde, distance que nous avons nommée plus haute, on aura (t)
donc, substituant ces valeurs dans les formules du n° 2, on aura
donc, si l'on nomme de même a, ]3, y les trois demi-axes correspondants du sphéroïde représenté par l'équation
z2 -4- p.^2 + vy2 = y,
et qui sont \/-> V/-' S^X' on aura, en substituant les valeurs précédentes de p., v, y,
abc
h si h2 +b2— c-'
abc h \Jh2 -t- a2 — c1
abc
sjlï1 -+- a2 — c2 v A-' + 62 — c-
Donc, si l'on a un sphéroïde elliptique dont les trois demi-axes soient a, b, c, l'attraction de ce sphéroïde sur un point placé dans le prolongement d'un de ces axes comme c, à la distance h du centre, sera égale à l'attraction qu'un autre sphéroïde dont les trois demi-axes seraient a, |5, y exercerait sur un point placé à l'extrémité du demi-axe y.
Si l'on fait h = c, on voit que les quantités a, j3, y deviennent a, b, c, et par conséquent les deux sphéroïdes reviennent au même; ce qui doil être pour l'exactitude de nos formules.
5. Imaginons un autre sphéroïde dont les trois demi-axes soient/, g, h, et qui soit entièrement semblable à celui dont les trois demi-axes sont c/., [j, y; il faudra donc que l'on ait
j. ail [jIi
par conséquent, si l'on substitue pour a, /S, y les valeurs précédentes, on aura
donc
/"- — //- = 1/' — c\ g- — h- : a' — e ; et par conséquent aussi
f'-g*= lr~a.
Donc, si le sphéroïde donné dont les trois demi-axes sont a, b, c, et le sphéroïde dont les demi-axes sont f, g, h sont supposés décrits autour du même centre, et en sorte que leurs axes respectifs soient placés dans les mêmes lignes, les coupes elliptiques de l'un et de l'autre sphéroïde faites par un plan passant par deux axes auront le même centre et les mêmes foyers, par les propriétés connues des sections coniques.
(i. Par les formules du n° 1 on voit que l'attraction sur un point placé ii l'extrémité du demi-axe \ /• (en faisant c= \ k ou g = i) est proportionnelle ii \J tant que les quantités m et n demeurent les mêmes; donc î l'attraction de deux sphéroïdes semblables sur des points places
aux extrémités de leurs axes respectifs est proportionnelle il ces axes. Donc l'attraction du sphéroïde, dont les axes sonl ■?./, 2g, 7.h sur un point placé ii l'extrémité de l'axe aÀ, esl à l'attraction du sphéroïde semblable, dont hs axes sont j.v, y.f'j, >•/ sur un point placé ii l'extrémité
