SOLUTIONS ANALYTIQUES

DE QIELQIES

[ Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1773.)

Les pyramides triangulaires tiennent, par leur simplicité, parmi les corps solides le même rang que les triangles parmi les figures planes; car de même que toute figure plane reetiligne peut être regardé»1 comme composée de triangles, de même aussi tout corps solide terminé par des plans peut être supposé formé de pyramides triangulaires; mais si les Géomètres se sont toujours beaucoup occupés de l'étude des triangles el n'ont cessé d'en approfondir les propriétés, ils n'ont fait, ce me semble, qu'effleurer celles des pyramides triangulaires; et des principaux Problèmes qu'on peut proposer sur ces sortes de solides il n'y en a encore qu'un très-petit nombre qui ait été résolu. Ceux qui vont faire la matière de ce Mémoire concernent la manière de trouver la surface, la solidité, les sphères circonscrites et inscrites, le centre de gravite, etc.. de toute pyramide triangulaire dont on connaît les six côtes : \ : et je me flatte que les solutions que j'en vais donner pourront intéresser les Géomètres tant par la méthode que par les résultats.

Os solutions sont purement analytiques et peuvent même être entendues sans figures; j'y emploie des coordonnées rectangles pour déterminer la position des différents points que j'ai a considérer dans la pvra-

(*) Je nomme cités les lignes formées par la rencontre des plans sous lesquels la pyramide est compri-f el je nommerai ces plans facet de la pyramide.

mide, et je n'ai pas même besoin de donner aux axes de ces coordonnées une position déterminée; je suppose seulement qu'ils se coupent au sommet de la pyramide, en sorte que pour ce point les coordonnées soient nulles, ce qui sert à simplifier les formules sans rien ôter à leur généralité. Par ce .moyen tout se réduit à une affaire de pur calcul, et il est trèsfacile de déterminer la valeur des lignes qu'on veut connaître, puisqu'il ne faut que prendre la somme des carrés des différences des coordonnées qui répondent aux deux extrémités de chaque ligne proposée. Il ne s'agit plus ensuite que de rendre les résultats indépendants de la position arbitraire des coordonnées, en introduisant à leur place d'autres lignes relatives uniquement à la figure de la pyramide, comme les côtés de la pyramide, les perpendiculaires sur ses faces, etc.; c'est a quoi je parviens à l'aide de quelques réductions et transformations assez remarquables que j'expose au commencement de ce Mémoire, et qui pourront être aussi du plus grand usage dans beaucoup d'autres cas. Indépendamment de l'utilité directe que ces solutions pourront avoir dans plusieurs occasions, elles serviront principalement à montrer avec combien de facilité et de succès la méthode algébrique peut être employée dans les questions qui paraissent être le plus du ressort de la Géométrie proprement dite. et les moins propres à être traitées par le calcul.