De plus, comme on a
xy'z" -4- y z'x" -+- z x' y" — x z'y" — yx'z" — zy'x"
= sja a' a" -hzbb'b" — ab2 — a' b'2 — a" b"2 = A,
et qu'il y a entre les quantités a:, y, z, x',... et a, a', a", b,... les mêmes relations qu'entre les quantités £, vj, Ç, §',... et a, a , a", |3, . . . (1), on aura donc aussi
i n' r + n ç* r + & iv - h sv - m g* r - s vj' r
= v/a a' a" + 2 [3 [3' (3" — a(32 — a' (3'2 — a" [3"2 == A2. Donc on aura cette équation identique et très-remarquable
irrc" + «£T + ççv - £çv - 7-,H'r - Çïi'ç*
= {xy'z" -+- y z'x" + zx'y" — xz'y" — yx'z" — zy'x' .
6. Si les six quantités a, a', a", /3, /3', |3" étaient données cl qu'on voulût déterminer par leur moyen les six quantités a, a', a", b, b', b", il serait peut-être très-difficile d'en venir à bout à l'aide des six équations du n° 1 entre ces quantités; mais on y parviendrait aisément par les formules des numéros suivants.
On formera pour cela les six quantités A, A', A", B, B', B" (2); ensuite on formera la quantité (4)
et l'on aura sur-le-champ (3)
7. Si l'on multiplie les neuf premières équations i\\\ n" 1 respectivement par a . x . a . v. v , v", r, z', z' , et qu'on les ajoute ensemble trois
m. Sj
660 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES à trois, on trouvera ces neuf-ci, en mettant A a la place de la quantité xy'z" -\-yz'x" -\- ... (3)
x\ 4- x'% -+-x"%' = A, y\ 4- y' 'il 4- y"%' = o, z£ 4- z'£' -t- z"!-" = 0, .r y) 4- x' y/ 4- .r" y/' = o, y y) -h r' y)' -I- y" r\" = A, z Y) -f- z' y)' 4- z" Y)" = o, a- Ç + x' £' 4- x" Ç" = 0, jÇ -h f £' 4- y" £" = o, z Ç -t- z'Ç' H- z" £" = A ;
et l'on trouvera de même ces neuf autres-ci
x\ 4-yy) 4- zÇ = A, .r'£ 4- j'y) 4- z'Ç =0, .r"? -+-y"n 4-z"Ç =0, x'£' -hj'// 4-zÇ' := o, a?'£' 4- y't]' -+- z' 'Ç = A, ,r"£' 4 y" ri' -f- z"Ç' = o, x c" -h yr," 4- z Ç" = o, x' £" -I- j'y)" -f- z' Ç" = o, a?" ç" + r"/, " 4- z" 'Ç = A.
8. De plus, si l'on ajoute ensemble trois à trois les neuf premières équations du numéro précédent après les avoir multipliées respectivement par £, y], 'Ç, ensuite par £', y/, Ç', et enfin par |", vj", Ç", on aura, en vertu des six dernières équations du n° 1 ,
. oex -h fi" x' -h fi' x" « T 4- fi" y' 4- fi' y" ., oez 4- fi" z' 4- (3'z"
y, fi"x 4- a'jc' -\- fix" , fi" y -h- x'y' 4- fi y"
Et, si au lieu de multiplier les mêmes équations par 2, yj, Ç, £',..., on les multiplie respectivement par x, y, z, x' ,..., et qu'on les ajoute de même trois à trois, on aura ces neuf autres-ci
al 4- b" V 4- b'I"
a yj 4- 6"y)' 4- 6'yj"
6"yj 4- a' n' -h 6 yj"
6'yj 4 &-/)' + a" Y)"
Ces relations entre les quantités ^r, a?', x", y, . . . et leurs correspondantes ç, £', £", y;,... sont très-remarquables et peuvent être utiles dans différentes occasions.
9. Regardons maintenant les trois quantités x, y, z comme les coordonnées rectangles d'un point M rapporté à trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et pareillement les quantités x', y', z' comme les coordonnées rectangles d'un autre point M' rapporté aux mêmes axes, el enfin les quantités x", y", z" comme les coordonnées rectangles d'un troisième point M" rapporté également à ces mêmes axes; on aura, en joignant ces trois points par des lignes droites, un triangle MM'M" dont la figure et la position seront déterminées par les neuf coordonnées x, y, z, x ',.... Qu'on mène de plus des trois points M, M', M" au point d'intersection des trois axes, point que nous désignerons par L, trois autres droites, et l'on aura trois autres triangles MLM', M'LM", M"LM qui, avec le triangle précédent MM'M", formeront une pyramide triangulaire donl les quatre angles seront aux points L, M, M', M"; ainsi la forme et la position de cette pyramide seront également déterminées par les mêmes
coordonnées x, x', x",y, C'est sur les propriétés de celle pyramide
que doivent rouler les recherches qui composent ce Mémoire.
10. Et d'abord il est visible par les formules du n" 1 que les quantités a, a, «"expriment les carrés des distances des points M, M', M" au point L, et que les quantités
expriment les carrés des distances entre les points M et M', entre les points M et M", et entre les points M' et M"; de sorte que si l'on désigne les carrés de ces dislances par c", c ' , c, on aura
Ainsi les six cotés de la pyramide donl il s'agit seronl v ", \ "\ \Ja" , v r « \ ' - \ r:
les trois premiers concourenl au poinl L, qu'on peut regarder connue le sommet <!<■ la pyramide, et les trois derniers en forment la hase: de ma-
nière que le côté \Jc" joint les deux \ja, \ja' , le côté \[c' joint les deux \Ja, \Ja", et le côté \]c joint les deux \Ja' , \/a"; ce qui forme par conséquent quatre triangles, qui sont les quatre faces de la pyramide, et dont les côtés sont sja, \ja', \jc" pour la première face latérale MLM'; \a, s] a" , \[c' pour la seconde face latérale MLM"; \[a' , \ia" , \rc pour la troisième face latérale M'LM", et \jc, \jc' , \]c" pour la face qui sert de hase MM M".
H. Si l'on voulait, à la place des côtés c, c', c" de la base, introduire les angles y, y', y" qui leur sont opposés au sommet de la pyramide, il n'y aurait qu'à remarquer que dans le triangle M'LM", dont les côtés sont \]a' , \/a", \/c, on a
c = a' + a" — 2 \Ja'a" cosy ;
donc substituant cette valeur dans l'expression de b, on aura
b = sj a' a" cosy;
on trouvera de même les valeurs de b', b" exprimées en cosy' et cosy"; et l'on aura de cette manière
b = sja'a" cosy, b' = \Jaa" cosy', b" = \Jaa' cosy".
12. On sait que si /, g, h sont les trois côtés d'un triangle rectiligne, son aire est exprimée par la formule
Ainsi pour le triangle MLM', dont les côtés sont \ja, \'a' , \c" , on aura l'aire
- Jaa — b J =
Pour le triangle MLM", dont les côtés sont \Ja, yja" , \c , on aura l'aire
- \Jaa — b 2 = - — ;
et pour le triangle M'LM", dont les côtés sont \ja' , sja", ^c, on aura l'aire
Reste encore à considérer le triangle MM'M", dont les côtés sont \'c, \c , \c"; nommant E l'aire de ce triangle, on aura par la formule cidessus
i6E2=4cc'— {c-h c' — c")2;
mettons pour c, c', c" leurs valeurs
a' -4- a" — ib, a -h a" — ib' , a + a' — ib",
= aa' + aa"4-a'rt"— ■zab — ia'b'— 2.a"b"~h ■?.bb' + o.bb"-h ib'b"— b1— b'3— b"-
donc
yte -+- «' -+- «" 4- 2 fi + 2(3' -t- 2 S"
Ainsi les aires des quatre faces de la pyramide s'expriment d'une manière fort simple par les quantités «, a', a", /3, ]3\ |3" fi); on a pour celles des trois faces latérales les quantités
et pour l'aire de la hase la quantité
sy ■ y' ■ -y i- 2 j3 j- > 3' + 2(3"
13. Voyons maintenant comment doit être exprimée la solidité de la pyramide. On sait que toute pyramide est égale au tiers du produit de s;i base par sa hauteur; ornons avons déjà trouve la valeur de la hase K; ainsi, nommant h la hauteur de notre pyramide, c'est-à-dire la valeur de
la perpendiculaire menée du sommet L sur le plan du triangle opposé
MM' M", on aura — pour la solidité cherchée; mais la difficulté consiste
à trouver la quantité h. Soient s, t, u les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position d'un point quelconque N du plan dont nous venons de parler, on aura, comme on sait, l'équation
u — / + ms -+- ni,
les quantités /, m, n étant des constantes qui dépendent de la position du plan; et comme ce plan est supposé passer par les trois points M, M', M", pour lesquels les coordonnées sont (9)
on aura, en substituant successivement ces valeurs à la place de s,- /, //, les équations suivantes
z = l -t- mx -+- ny,
z' -— l -t- mx' -4- ny' , z"= l •+- mx" -h ny",
par lesquelles on pourra déterminer les trois constantes /, m, n. Retranchant d'abord ces équations l'une de l'autre, on a ces deux-ci
d'où l'on tire sur-le-champ
m = (*' — *) ' r"— y) ~ iz"~z) ir'—r) 5
c'est-à-dire en développant les termes et substituant les quantités |, £',... du n° 1 ,
SUR LES PYRAMIDES TRIANGULAIRES. ti7l
Ensuite la première équation donnera
ziÇ+r' + r" ; + *(£+£' + r i + rc/î -+ r/-h-n")
l=z- mn - ny = - + + - ,
ce qui, en vertu des équations du n° 7, se réduit à cette expression fort simple
On a donc ainsi l'équation du plan de la base de la pyramide; nous l'avons cherchée d'autant plus volontiers qu'elle nous sera fort utile encore dans la suite.
14. Or la ligne menée du sommet L à un point quelconque N de ce plan, c'est-à-dire la distance des points L et N, est exprimée par
et il est clair que la plus courte de toutes ces lignes sera la quantité cherchée h; ainsi il n'y aura qu'à faire égale à zéro la différentielle de \s'2~ t2-\- u2 , ce qui donne
s ds -f- I dl + n du = o ;
mais l'équation
n I -+- ms -i ///
donne
du = m ds i n dl ;
donc substituant celte valeur el égalant séparément à zéro les coefficients
de ds et de dt, on aura
s 4- mu o, t -' nu o,
s — mu, t n n:
ce qui, étant substitué dans l'équation
// / : m s ■ ni,
donne
et de là
/ ni ml
i -+- m2 -h n- i -f- m2 -+- nr i -+- m2 -+- n2
et, substituant ces valeurs dans l'expression yj s2 -+- 12-+- u2 , on aura la valeur cherchée de h, qui sera donc
Substituons à présent à la place de /, m, n leurs valeurs trouvées ci-dessus, on aura
c'est-à-dire, en développant les termes qui sont sous le signe et faisant les substitutions du n° 1,
y/a. -+- x -+- a" + 2 (J H- 2 p' H- 2 [3" .Mais on a trouvé (12)
donc on aura pour la solidité -^- de notre pyramide la quantité ^- C'est
ce que nous avons déjà démontré d'une autre manière ci-dessus, où nous avons nommé |3 la même quantité que nous désignons ici par A (*).
15. Il est bien remarquable que la quantité A exprime la solidité de la pyramide prise six fois; si donc on veut exprimer cette solidité par les six côtés \]a, \fa' , \'a" , \Jc, \[c' , \Jc" , il n'y aura qu'à mettre dans la valeur de A, à la place de b, b', b", les expressions du n° 10; mais il sera plus simple de conserver les quantités mêmes b, b', b", et l'on aura (3) la solidité cherchée égale à
v Wa" + zbbl/' — ab2 — VW- âH?2
(*) OEwres de Lagrange, t. III, p. 585.
Et comme nous avons trouvé plus haut que les aires des faces de la pyramide s'expriment d'une manière fort simple par les quantités «, a', . . ., on pourra aussi, si l'on veut, exprimer la solidité de la pyramide par ces mêmes quantités à l'aide des formules du n" 4; on aura de cette manière la solidité de la pyramide égale à
V y.y.'a"+ iÇ>$'Ç>"- <xp— a! (3'2 - oc" $"*
16. Comme il faut six éléments pour la détermination d'une pyramide triangulaire, il est clair que si l'on ne connaissait que la valeur de l'aire de chacune de ses quatre faces, avec celle de sa solidité, on n'aurait que cinq équations, et que par conséquent le Problème de trouver la pyramide qui satisferait à ces données serait indéterminé. En effet les aires des trois faces latérales donneraient les valeurs des trois quantités y., a.', a", et celle de la hase donnerait la valeur de /3 + |3'-f- /S" (12); ensuite la considération de la solidité donnerait (numéro précédent) la valeur de
la ((nanti té
de sorte qu'on n'aurait que deux équations entre les trois inconnues |3, /3', fj". On pourrait donc prendre une de ces inconnues à volonté, et alors la solution du Problème se trouverait réduite à la résolution d'une équation du second degré.
17. Mais s'il n'y avait de donné que les quatre faces de la pyramide, el qu'il s'agit de trouver les dimensions de la pyramide dont la- solidité serait la plus grande, on pourrait résoudre celte question par nos formules avec beaucoup de facilité.
Car il est d'abord clair que les trois quantités ?, *', a" seraient données ainsi que la quantité |3 -+- /3'-t- |3"; ainsi il ne faudrait que rendre un maximum la quantité
wV'+ 2(5(3' (3"- *(3'- «'(3 > -, .
en \ regardant %, «', a" comme constantes, el |3, jS', ['" comme variables, m.
niais de manière que leur somme demeure constante; on aurait donc ces deux équations différentielles
( (3' (3" — a (3 ) rf(3 + ( (3 |3" — a'(3' ) tf(3' -+- ( (3(3' — a" 0*) d(3" = o,
âf(3 + f/(3' + </(3" = o,
d'où chassant c?/3", et égalant à zéro les coefficients de dfc et ^//i', on tire ces deux équations de condition
qui renferment la solution du Problème. Ces deux équations se réduisent par les formules du n° 2 à
B = B'=B , ci par celles du n° 3 a
d'où Ton voit que les trois quantités b, b', b" doivent être égales entre elles. Ainsi, comme les quantités oc, a!, a" sont supposées données ainsi que la somme [i -+- /3'-hj3", on aura ces quatre équations
a' a" — b2 = oc, aa" — b2 = oc' , aa' — b"- =z oc" , 3b2 — (a + a'-\-a")b = fi-h (3' + [3",
d'où il faudra tirer a, a', a" et b.
, Si l'on fait pour plus de simplicité
on a, en divisant la dernière équation par b,
a-\-a+a==ob — T •
et prenant les carrés
à2 -h a'' -+- a"2+ i{aa! H- aa" + a' a") = (]o2 — 6s -+- ^-, or- les trois premières équations donnent
aa' x" -h b2, aa" = oc -t- //', n'a y. + b2,
et df là on tire
fa'+62)(a"+62)
oc'
lr
oc' -+-
Donc substituant ces valeurs et faisant pour simplifier encore
2 (a 4- a'-f- a") + 6e = 8 et 62=«,
on aura, après avoir ôté les fractions,
«(a' -+- m |J(a" 4- u)''+ u(oc + Hj2(a" + «)* + mot -+- «)2(a'+ «)2
-(3H'-ÔH + e!)(a + M)(a' + tt)!a"+«)=:(i,
équation qui, étant développée, ne montera qu'au quatrième degré par la destruction des termes qui contiendraient u'\ et l'on trouvera que le premier terme de cette équation sera
(a -¥■ oc' + a" + è u*,
c'est-à-dire (en remettant la valeur de o et de e)
el que le dernier sera — s2aaV; de sorte que comme les quantités K, ?', a" sont nécessairement positives 12 ainsi que la quantité
ces deux termes seront de signes différents; par conséquent l'équation
aura toujours au moins une racine réelle et positive.
Avant trouvé une valeur positive de U, on aura b \ u . et de lit on aura a, a :', a' par les formules ci-dessus; ainsi l'on connaîtra les si\ cotes de la pyramide, à cause de b' b' l>.
1.8. Considérons un autre point I' place où l'on voudra, au dedans ou
au dehors de la pyramide, pour lequel les coordonnées rectangles soient p, q, r, et supposons que le carré de la distance de ce point au sommet L de la pyramide soit/, que les carrés des distances du même point aux points M, M', M" de la base de la pyramide soient g, g', g"; il est facile de concevoir qu'on aura
lp — x)- -+-■(</ — r)2 -t-(r — z'r = g, (p-x'f +{q—r'Y +(r—z'Y = g', [p — x" ? -f- ( q — y" } + ( /■ — z" ;- = g",
d'où, en taisant, pour abréger,
. «+/'—£• , , «' -4- f — g' , „ a' + f — g" /(•— 1 &, fi'— 1 &, lc"— 1 &,
on tire (1) ces trois équations
px -+- qy -t~ rz = k, px' -f- qy' -+- rz' = h' , px" -+- qy' -+- rz" = h" ,
par lesquelles on pourra déterminer les valeurs des coordonnées/», q, r; et l'on trouvera par les règles connues de l'élimination, en mettant les
quantités £, £',... à la place de y'z"— z'y", zy" — yz ",... (lj et la quantité A à la place de xy'z"-\- yz'ocf'+... (3),
rÇ/
19. Or il faut que ces valeurs de p, q, r satisfassent à la première équation
les y substituant donc, et faisant les substitutions des dernières formules du n° 1, on aura, après avoir multiplié par A2,
A2/= afc-hoc'k '' -+ a" /, '-' + 2 (3" k h -> (3' k h " 4- (3/*' k " ,
équation qui servira à déterminer, si l'on veut, la quantité/par les quantités g, g', g", a, a', a", b, b ', b".
Ainsi l'on pourra par le moyen de celle équation résoudre le Problème suivant, qui parait d'ailleurs assez difficile.
20. Etant donné un solide formé par deux pyramides triangulaires adossées l'une contre l'autre par leurs bases supposées égales; trouver la valeur de la diagonale, c'est-à-dire de la ligne droite qui joindrait les sommets opposés des deux pyramides . en supposant qu'on connaisse les neuf cotés de ce solide.
Il est visible que si l'on imagine que le point P soit le sommet de la seconde pyramide, dont la base soit le même triangle MM'M" qui sert de base à la première pyramide, on aura /pour le carré de la diagonale eberebée, et a, a', a", c, c' , c", g, g', g" pour les carres des neuf cotés donnés des deux pyramides; ainsi il n'y aura qu'à mettre dans l'équation du numéro précédent à la place de k, k', k" leurs valeurs, et l'on aura
[Al/=« a-hf— gY+a'{a'+f-g'f+cc" a" + f-g"
+ 2p'(a-hf-g)(a'+f-g' I i£'(a + f-g)(a' f g + *P(a'+f-g')(a''+f-g'> .
Cette équation étant Ordonnée par rapport à /moulera au second i\(>£\r et aura par conséquent deux racines qui seront nécessairement toutes deux réelles; en effet il est visible que le Problème admet deux solutions. parce que l'on peut concevoir que les deux pyramides qui ont leur base commune soient, ou des deux côtés opposes de cette base, ou bien du même côté; la plus grande des deux valeurs de /' appartiendra au premier cas, et la moindre au second.
21 . Supposons maintenant que le point P soit pris en sorte qu'il soil
également distant des quatre angles L, M, M', M" de la pyramide du n° 9; il est clair que ce point deviendra le centre de la sphère qui serait circonscrite à cette pyramide. On aura donc dans ce cas
f=:g = g' = g"> et l'équation du numéro précédent deviendra
4A2/ — xa2 ■+- a'rt'2-4- a"a"2-4- 2((3"aa' + fi'aa"-h fia'a' ,
d'où l'on tire
«a; + «'a'2 + oc"a": -+- 2 ( (3'W + $'aa"-¥ $a'd *~ 4A2 :
et cette quantité /sera le carré du rayon de la sphère circonscrite à la pyramide.
Quant à la position du centre de cette sphère, elle sera déterminée par les coordonnées/;, q, r, lesquelles, à cause de
auront les valeurs suivantes (18)
at -+- c r = ~ a A
ou bien en substituant pour |, £', Ë", vj,... leurs valeurs en x, x ,... (8),
(«a + a'(3" + fl"(3')z+ (a(3"-t- a'a' + a"(3).r'-i- (a(3'-f- a'(3 H- a"a c ^~ 2 A2
(«a + «'(3"-l-a//f3' ) y -+- (a(3" + a' oc' -+- «"(3) j' -t- (a(3' -+• a' (3 -+- «"g 1 q~~ 2 A'
(a«-t-«'f3" + a"(3') z -+- (a(3" + a'a' + fl"(3) z' -h (a (5' + a' (3 -+ a" a." z" r— 2AS
22. Considérons encore le même point P déterminé par les coordon-
an
+ a'vj'-f- a'
al
nées p, q, r du n° 18, sans supposer que ce point soit le centre de la sphère circonscrite, et voyons comment on peut déterminer la distance de ce point à la base MM'M" de la pyramide, c'est-à-dire la ligne perpendiculaire menée du même point sur le plan de cette hase.
Pour cela on suivra une méthode analogue à celle du n" 14, en remarquant seulement que la distance du point P au point quelconque N du plan MM'M" sera exprimée par
Jis-py-h{t — q .2 + (« — !■ [*,
de sorte qu'on aura, en égalant la différentielle de cette quantité à zéro,
l'équation
(s — p)ds ■+-(£— q dl -h { u — r) du = o,
laquelle, en substituant pour du sa valeur mds -\- ndt numéro cité el Taisant séparément égaux à zéro les coefficients de ds et de dt, donnera ces deux-ci
d'où
s = p + mr — mu, t = q -+. nr — nu. ce qui étant substitué dans l'équation
u ±= l-\ ms h- nt,
« = /-(- mp -4- m7 r — m' M 4 nq -h ri'r — ra2«,
el de là
__ / 4 mp l nq ' m ; n2 r i -4- m- -f '/-' donc
/ //>/> I no / i • m n
mais en substituant, dans la quantité
v s p ' + t q ■ „ r ', pour s j> el / y, leurs valeurs ci-dessus /// // / . // // /
(i80 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES
elle devient
u — r) y i -+- m2 + nJ;
e! mettant encore pour u — r la valeur qu'on vient de trouver, elle se changera en celle-ci
/+ mp -t- nq — r y/l -t- /??2 -4- H2
Substituant enfin à la place des quantités /, m, n leurs valeurs du n° 13, on aura la quantité
ou bien, par les formules du n° 1 ,
qui sera donc la valeur de la perpendiculaire menée du point P sur la base MM'M" de la pyramide.
23. On peut déduire de cette même formule la valeur des trois autres perpendiculaires qu'on pourrait mener du même point P sur les trois faces latérales MLM', MLM", M'LM" de la pyramide. Pour cela il suffît de considérer qu'en faisant coïncider successivement les points M", M', M avec le point L, le triangle MM'M" prendra successivement la place des triangles MLM', MLM", M'LM"; or il est clair que cela n'exige autre chose que de faire évanouir les coordonnées x", y", z", ou x', y', z', ou x,y, z; ainsi il n'y aura qu'à faire pour le premier cas c, |', r,, r/, Ç, Ç' nulles et par conséquent aussi «, a', |3, /3', Ci" et A égales à zéro, pour le second cas £, |", vj, yj", 'Ç, Ç" nulles et par conséquent a, a", |S, /S', p" et A égales à zéro, pour le troisième cas £', 2", r/, r,", £', £" et par conséquent a', a", jS, /S', |8" et A égales à zéro (1 et 4); mais il faut observer que tandis que le triangle MM'M" prend la place des triangles MLM', MLM", M'LM", le point P supposé au dedans de la pyramide traverse le plan de ce triangle et passe de l'autre côté de ce plan, ce qui doit faire
changer de signe à l'expression de la perpendiculaire menée du point P sur ee même plan; donc les trois perpendiculaires menées de ce point P sur les trois faces latérales MLM', MLM", M'LM" seront exprimées par les
quantités suivantes
%'p + Yi"q-hZ,"r
