HT
lesquelles donnent d'abord celle-ci
A et )ja H- «' ■+- a' 2(3 H 'V • 3 p ^ z p' ^a h p' N a ,
qu'on aurait pu i ri m ver immédiatement parcelle considération que, si du point P on mène aux quatre coins L, M, M , M de la pyramide des droites, elles formeronl quatre nouvelles pyramides, ayant toutes leurs sommets au point P, et ayant pour bases les quatre faces de la pyramide donnée. en sorte que celle-ci se trouvera par là partagée en quatre autres pyramides; <•! par conséquent sa solidité sera égale ii la somme des solidités des pyramides partielles qui la composent. Or les aires des faces de la III. i '
082 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES pyramide donnée sont (12)
y/a y/a' y/a" yja. -!- a' H- a" -4-2(3+ 2 J3' -+- 2 ,3"
donc, multipliant ces aires par le tiers des perpendiculaires p, p', p"et ot, abaissées du point P sur ces mêmes faces, on aura les quantités
psjot p' <Jtx' p" y/a" nry/a -4-a' + a"-f- 2(3 + 2(3' -I- 2(3" "6"' ~~6~' "~ g-' ~6~
qui exprimeront les solidités des quatre pyramides partielles qui ont le point P pour sommet commun et les triangles MLM , MLM", MLM', MM'M pour bases; mais la somme de ces solidités doit être égale à la solidité totale de la pyramide donnée, laquelle étant exprimée <\.k)
par -^-5 on aura par conséquent I équation ci-dessus; ce qui pourrait
servir, s'il était nécessaire, à prouver la bonté de nos calculs.
25. Si les trois perpendiculaires p, p', p" étaient supposées données et qu'on voulût connaître la position du point P d'où elles sont menées, il n'y aurait qu'à tirer les valeurs des coordonnées p, g, rôe ces trois équations
lp -t-ng + Çr = py/â, l'p -4- n'q + 'Ç'r = p' y/a', £"p -h n"q + 'Ç'r— p" y/a",
et l'on trouvera pour/>, q, r des expressions analogues à celles du n" 18 en y changeant k, k', k" en p y/a, p' \fa' , p" \]a" et x, y, z, x ' , y',... en 2, vj, 'Ç, £', 0 '.-••» ce qui change ces dernières en X, Y, Z, X', Y',... (1 et 2), c'est-à-dire en &x, Aj, Az, Aa?', Ay',... (3), et la quantité A en A- 5 . De sorte qu'on aura
26. Par là on pourra connaître si l'on veut les distances de ce même point P aux angles L, M, JM', M" de la pyramide donnée; car conservant les mêmes dénominations du n° 18, on aura par la substitution des valeurs précédentes de/?, q, r, et d'après les formules du n° 1,
a y y. -Y- a p'-x -+- a" p"2x" -f- 2.b"pp' \Ja.a! -+- zb'pp" \jxx -+- ibp'p" \ja!a.
Oll
. dp v « -+- b"p' \ x' -+- b'p" y oc" k -- —£-
. , b" p s/ ce -h a' p' \; x' -h b p" \ x' k — 1 — >
.„ b'pJx -+- bp' \Jx' 4- a"p" s/ a." h £-
/, g, g', g" étant les carrés des distances cherchées.
27. Réciproquement, si ces distances éiani données on voulait connaître 1rs perpendiculaires p, p', p", il n'y aurai! qu'à les tirer, par l'élimination, des trois dernières équations ci-dessus; et pour cela on remarquera que, si dans les trois équations du u" 18 on change p, q, r en
-4-5 y -5 — y-' ('' •,-.v' z< r > y > 2 ' ' • v • r- en a, b , b ,b , a, l>. b . />. a", elles deviennent les précédentes; d'où il s'ensuit qu'on aura pour
pJa p' Ja? 9* \l<*" i ■ • , • i i
— » - les mêmes expressions <|u on a trouvées dans le numéro cité pour/;, q, r, en y échangeant seulement x, v, z, .r en c/.
b", b , // Or par ces échanges les quantités ;, |'f §", r,. r, . rt . '. .
08i SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÊMES r deviennent (1) a, |3"f fi', |S", a', /3, /S', /3, a", et la quantité
k = xy'z" -\-y z'x" -r- . . .
devient
a a' a" + ib b'b" — ah2 — a'b'- — a"l>"2 \';
c'est pourquoi on aura, après avoir multiplié par A,
<xff-h&"h'+&'k"
28. Les formules qu'on vient de trouver dans les numéros précédents peuvent servir à résoudre avec beaucoup de facilité le Problème, où il s'agirait de trouver dans l'intérieur d' une pyramide donnée un point tel, (pie menant de ce point aux quatre angles de la pyramide des lignes droites qui la partageassent en quatre autres pyramides ayant ce point pour sommet et les faces de la pyramide donnée pour bases, ces pyramides partielles fussent entre elles dans des rapports donnés.
Soient les rapports de ces quatre pyramides partielles à la pyramide totale donnée exprimés par les quantités jjl, u.', u." et v, en sorte que l'on
ait
donc, par ce que l'on a dit dans le n° 24, on aura
p \Joc = u A, p' y/a' = f/A, p" \ja." — y." A,
td S/a -+- a'-t- oc" -h 2(3 + 2(3' + 2(3" = vA;
donc, substituant ces valeurs dans les expressions des quantités/;, q, r du n° 25, on aura sur-le-champ, pour la détermination du point cherché, ces trois coordonnées rectangles
p = \xx + [j! x' 4- y."x" ,
r = az -\- u'z' -+- u." z" .
Et si l'on veut déterminer ce point par ses distances \jf, \jg, s/g', \lg ;m sommet et aux trois angles de la base de la pyramide donnée, on aura, par les formules du n° 26,
/— a\j? H- a' a'2 + a" u."2 + 2 b" pp.' -4- a b' u.y!' + ?. b '/"■",
^f~-K = au. + by+ b'(j.",
b" [j. -4- a' p.' + by.' ,
a"+f- g" y + b , , a„ » , 2 iii
