Si maintenant on suppose dans les formules du n° 2i
TB = p =p'=p",
il est clair que le point P deviendra le centre de la sphère inscrite à la pyramide, et que w en sera le rayon; ainsi l'équation de ce même numéro donnera sur-le-champ
V (a -4- v'a + \ «' -4- \Ja"
en faisant, pour abréger,
Ensuite on aura 25 y pour la détermination du centre de la sphère les
coordonnées
ysy ■ v\x y Ky
^/fi) I \ y I \ z' -1 ^
Et, si l'on veiii déterminer ce point par les distances \f, \fg, \jg . s/$
aux angles de la pyramide, on aura (26)
„ aa -h a! a1 4- d'à!' 4- 7.b" y'aa' -t- ib' y/a a." 4- il \ y! a!
a-hf-
- g a y/ 'oc 4- b" y/a' 4- b' y/a"
y/ûJ -f- y/a 4- y/a7 4- y/a"
a'-hf-
- g"' __ b" y/a 4- a' y/a' -1- b \/tx"
2 y/cù -4- y/a -f- y/a' 4- y/a"
30. Dans toutes ces formules il faut prendre les radicaux \ <» , \v, \jy' , \u" positifs, pour avoir véritablement le cas d'une sphère inscrite dans la pyramide; mais il est remarquable qu'en prenant l'un de ces mêmes radicaux négatif on aura le cas où la sphère tomberait hors de la pyramide, et toucherait en même temps une de ses faces en dehors, et les plans des trois autres faces prolongés; et en particulier la face touchée en dehors par la sphère sera celle dont l'aire sera représentée par la moitié du radical auquel on donnera le signe négatif (12). C'est de quoi on peut se convaincre en réfléchissant sur la nature de nos formules et de notre Analyse, sans qu'il soit nécessaire que nous entrions là-dessus dans aucun détail.
31 . Venons maintenant ii la considération du centre de gravité de noire pyramide, et pour en trouver la position nous remarquerons que si l'on fait passer par un quelconque des côtés de la pyramide un plan qui coupe le côté opposé en deux également, le centre de gravité de la pyramide se trouvera nécessairement dans ce plan : c'est ce qui se démontre facilement par les principes de Mécanique. Or comme trois plans différents ne peuvent se couper qu'en un seul point, il suffira donc de considérer trois des plans dont nous venons de parler et de chercher le point qui leur sera commun. Nous imaginerons pour cela qu'on mène par les trois côtés de la base de la pyramide trois plans qui coupent les eûtes opposes des laces
latérales par le milieu; nous chercherons l'équation de chacun de ces plans et nous en déduirons ensuite aisément la position du point commun, qui sera par conséquent le centre de gravité cherché.
32. Considérons d'abord le plan qui passerait par le côté M' M" de la hase et qui couperait par le milieu le côté LM qui va du sommet L à l'autre angle M de la hase; et, nommant, comme dans le n° 13, s, t, u les coordonnées rectangles des points de ce plan, on aura une équation de la forme
U = "k ■+■ fJ.S -+- vt,
À, u., v étant des constantes dépendantes de la position du plan.
Pour déterminer ces constantes on remarquera que, comme le plan est supposé passer par les points M', M" de la hase de la pyramide, pour lesquels les coordonnées rectangles sont x', y', z', x", y" ', z" (9), on aura d'abord ces deux équations
z' ="k+ <j.x' -+- vjr', A + fix" -t- vy".
Ensuite, comme on veut que ce plan passe aussi par le milieu de la ligne LM menée du point L, qui est l'origine des coordonnées, au point M. pour lequel les coordonnées rectangles sont x, y, z, on considérera que ce point du milieu de la ligne LM sera nécessairement déterminé par les
coordonnées rectangles —■> —■> -', do sorte qu'on aura cette troisième équation
z . ax v r
on bien, en multipliant par 2,
z = ?. / -t ;j..r + vy.
Cette équation étant retranchée des deux précédentes multipliées par 2, on aura
d'où l'on tire
■>-■ - z)\ iy" — y) — (22" — z ){?.)•' — .)■
{ix'
- (ix" — x) [if' -- y
iz'
- [iz" — z){2x' — X)
{ix" — x) (2 r' — y) — (ix' — x) ( %y" — y) et développant les trimes fl)
Ensuite on aura (7)
2à — z — [j.x — vy
z{ 2Ç 4- Ç' 4- Ç") + *( 2H H- Ç' 4- T 1 + .)•' 2y, 4- in' 4- r," 2A
aç + ç'+.ç" 2 r 4- r; -+- 'ç
et par conséquent
De sorte que l'équation du plan dont il s'agit sera, en multipliant par 2Ç4- Ç'+ Ç'\ et transposant les termes,
A = (2^ + £' 4- ^")* ■+ (2*1 4" "fl' 4- y]") * 4- (2Ç 4- Ç'4- £" ».
33. On trouvera de la même manière l'équation du plan qui passerait par le côté MM" de la hase et qui couperait le côté opposé LM\ ainsi que celle du plan qui, passant par le côté MM' de la base, couperait le côté LM"; mais sans l'aire pour cela un nouveau calcul il suffira de changer dans l'équation ci-dessus les coordonnées x, y, z en x' '., y' ', z' et vice versa pour le premier cas, et en x", y", z" et vice versa pour le second cas. Or par le premier de ces changements les quantités 2, £', c" se changent en — ë\
— £, — £,"; de même les quantités rt, v/, r," , 'Ç, Ç, 'Ç" se changent en — *j'>
— y;, — ri" , — Ç', — 'Ç, — 'Ç", et la quantité A se change en — A. Et par le second de ces changements les quantités £, c, |", y;, y;', yj", Ç, Ç', Ç", A se changent en —S", — |', — £, — r/', — ïj', — vj, — Ç", — Ç', — Ç, —A. C'est ce qu'on peut voir aisément par les formules des nos 1 et 3.
Ainsi l'on aura pour les équations des deux plans dont nous venons de
parler, après y avoir changé les signes,
A — (£ 4- 2'E' + X' ) * + ( « + 2 V + V ) ' -+- ( £ -+■ 2 Ç' -+- Ç" ) m, A = {£ + £' H- 2£" ) * -f- (ïj -4- »' + 2 Y}" ) f -t- (Ç + Ç' -4- 2 Ç") «/.
34. Or, dans le point coninmn aux trois plans, les coordonnées s, l, a doivent être les mêmes; c'est pourquoi il n'y aura qu'à tirer les valeurs de ces trois quantités des trois équations que nous venons de trouver, et l'on aura les coordonnées qui déterminent le point d'intersection des trois plans en question. Pour cela je retranche d'abord des deux équations du numéro précédent celle du n° 32, et j'ai ces deux-ci
(r- 1)> -+- (ïj"- vj) t + ( T - C) « = o,
d'où je tire facilement
c'est-à-dire, en développant les termes et employant les substitutions du
5 X-i-X' + X" l Y-hY' + Y"
m bien (3
Substituant les valeurs de .v el <le / tirées de ces équations dans celle du n° 32, oïl en déduira la valeur de //, laquelle sera
mais le dénominateur de celle formule se réduit par les équations «In n° 7
ï \ A ; de sorte qu'on aura, pour les coordonnées s, i . // qui répondent au
<ï!)0 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES centre de gravité de la pyramide, ces expressions fort simples
• j l — 7 ^ Il —
35. Si l'on imagine qu'il y ait aux quatre coins de la pyramide des corps de masses quelconques égales entre elles, il est visible que le moment de ces corps, que je suppose égaux à Q, par rapport à un plan passant par le sommet de la pyramide et perpendiculaire à l'axe des x, sera
ce qui, étant divisé par la somme des masses 4Q, donnera
pour la distance du centre de gravité de ces quatre corps au même plan. On trouvera de même que la distance du même centre au plan passant par le sommet et perpendiculaire à l'axe des y sera exprimée par
et qu'enfin la dislance de ce même centre au plan passant par le sommet et perpendiculaire à l'axe de s sera
Or ces distances ne sont autre chose que les coordonnées rectangles qui déterminent la position du centre dont il s'agit par rapport aux mêmes axes; donc les coordonnées du centre de gravité des quatre corps Q placés aux quatre coins de la pyramide sont (numéro précédent) les mêmes que celles du centre de gravité de toute la pyramide; par conséquent ces deux centres coïncident, ce qui fournit ce Théorème de Statique assez remarquable par sa simplicité : Le centre de gravité de toute pyramide triangulaire est le même que celui de quatre corps égaux qu'on imaginerait placés aux quatre angles de la pyramide.
36. Si l'on veut déterminer la position du centre de gravité par ses
distances aux quatre coins de la pyramide, nommant 9 le carré de la distance de ce centre au sommet, et 4, <J/, t|/' les carrés de ses distances aux trois angles M, M', M" de la base, on aura
9 — ■$' -4- P 4- IÛ,
ty = {x — s)2 -h {y —t?+{z —u'Y, 4/ = (x' — s)2 -h (y' — t)2+ \z' — ur, Y = {x"—s)i+{y"— ty-h{z"— m)2;
donc, substituant pour s, t, u les valeurs ci -dessus, développant les termes et faisant, les substitutions du n° 1, on aura
ib
9a + «' + fl" + ?.(i- 3b' — 3b" ]
„rt + «' + 9a'/-f-2(— 36 — 36' 4 h'
37. On pourrait chercher maintenant à déterminer la position mutuelle des trois points que nous venons de considérer dans la pyramide, c'est-à-dire le centre de la sphère circonscrite, le centre de la sphère inscrite et le centre de gravité de la pyramide même, et il est clair que si, pour distinguer les coordonnées des centres des deux sphères, on désigne par /, m, n celles du centre de la sphère circonscrite que nous avons désignées par/), q, rC2i), et que l'on conserve ces dernières lettres pour marquer les coordonnées du centre de la sphère inscrite ainsi qu'on en ;i usé (29;, il est clair, dis-je, qu'on aura
/ - py -+■ (m — q)7 -+■ n — 1
pour le carré de la distance entre les centres des deux sphères, l'une inscrite, l'autre circonscrite,
pour le carré de la distance entre le centre de la sphère circonscrite et le centre de gravité, et enfin
p — s)2 + {q — ty + (r — u'f
pour le carré de la distance entre le centre de la sphère incrite et le même centre de gravité. Or faisant dans ces expressions les suhstitutions des valeurs de /, m, n,p, q,... (21 , 29, 34), et développant ensuite les termes on trouvera, à l'aide des formules du n° 1, des quantités indépendantes des coordonnées «r, y, z, x', y', . . . et qui seront uniquement des fonctions de a, a', a", b, b , b", c'est-à-dire des côtés de la pyramide. Par le moyen de ces formules et de celles que nous avons trouvées précédemment on pourra résoudre différents Problèmes curieux et nouveaux sur les pyramides triangulaires; mais en voilà assez sur un sujet que je n'ai presque traité que pour donner un exemple de l'application de l'Analyse à ces sortes de recherches.
