PI», Q> — 4BD — C
et de plus Q n'étant ni plus grand que P ni plus grand que R, abstraction 'faite des signes de P, Q et R.
La démonstration de ce Théorème suit naturellement des deux Théorèmes précédents et de leurs Corollaires.
9. Corollaire I. — Si 4BD — C2 est un nombre positif, il faudra que 4PR soit aussi positif; donc, à cause que P= ou Q, et R = ou Q, il est clair que 4PR sera aussi = ou > 4Q2» et par conséquent
donc un aura aussi et de là
4PR -Q2= ou >3Q2; 4BD — CJ= ou >3Q',
Q= ou <
10, Corollaire II. — Soit maintenant 4BD — C2 un nombre négatif, en sorte que C2— 4BDsoit positif; on aura donc dans ce cas Q2— 4PR] <>• ce qui, à cause queQ n'est jamais plus grand queP ni plus grand que R, ne peut avoir lieu à moins que 4PR ne soit un nombre négatif; ainsi — 4PR sera un nombre positif = ou > 4Q2, à cause de P — ou > Q et R= ou > Q; de sorte que Q2— 4PR sera — ou > 5Q2, cl par conséquent C2— 4BD sera aussi = ou > 5Q2; donc il faudra que
Q = ou
il. Corollaire III. — Donc, puisque Q doit être un nombre entier, un ne pourra prendre pour Q que les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne surpasseront pas les limites trouvées, en comprenant aussi le zéro parmi les nombres entiers; d'où l'on voit que Q ne pourra jamais avoir qu'un certain nombre de valeurs différentes.
De plus, il est clair que pour que l'équation
jl'!', Q ii'.i» i
puisse subsister en nombres entiers, il faut que Q SOÎI pair ou impair. Buivanl que C sera pair ou impair, ce qui limite encore davantage le nombre <le> valeurs de Q.
Connaissant Q, <>n trouvera facilement Pet R par la même équation;
car, a cause de
il est clnir, qu'il n'y aura qu'à prendre pour P et R les facteurs du nombre
entier
Q^h-4BD-C2
en ayant soin de rejeter ceux dont l'un ou tous les deux seraient plus grands que Q.
Problème I.
12. Trouver toutes les formes possibles des diviseurs des nombres qui sont représentés par la formule du second degré
B/M- Ctu -f- D«J,
t et u étant des nombres premiers entre eux.
Il est évident, par ce que nous venons de démontrer ci-dessus, que chaque diviseur de la formule proposée est réductible à cette forme
Pr2+ Qyz + Rz2,
y et z étant aussi premiers entre eux. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les valeurs des coefficients P, Q, R, lorsque celles de B, C et D sont données.
Pour cet effet je distingue deux cas, l'un lorsque le nombre 4BD — (7 est positif, et l'autre lorsque ce nombre est négatif.
i° Soit 4BD — C2 = K (K désignant un nombre positifj; on déterminera d'abord Q par ces conditions : que Q soit pair ou impair suivant
/"k (jue K le sera, et qu'il ne surpasse pas le nombre ± 1/ tt-'? ensuite on
déterminera P et R par ces conditions-ci : que P et R soient deux facteurs du nombre — j "> el (lue chacun de ces facteurs ne soit pas moindre que Q (9 et 1 1).
20 Suit 4BD — C2 = — K; on déterminera Q par ces conditions : que Q soit pair ou impair suivant que K le sera, et qu'il ne surpasse p;is
le nombre ± l/-?-; après quoi l'on déterminera les valeurs correspondantes de P et R par ces conditions, que P et R soient deux facteurs du
nombre - —. • et que chacun d'eux ne soit pas moindre que Qf 10 et 1 1 .
13. Remarque 1. — Si l'on avait 4RD — C2 = o, alors K étant égal à zéro, on ne pourrait prendre que Q— o, et ensuite on aurait aussi PR = o, de sorte que l'un des nombres P ou R serait nul et l'autre serait tout ce qu'on voudrait. Mais il faut remarquer que dans ce cas la formule
B/'-t Ctu + Du-
se réduit à celle-ci
12B* -(- Cmj2
de sorte que, comme 2B t + Cu peut représenter un nombre quelconque (2), les diviseurs de la formule proposée peuvent aussi être quelconques.
li. Remarque 11. - La même chose doit avoir lieu, en général, lorsque la formule
B/2+ Ctu -+- Dm'
esl le produit de deux formules rationnelles du premier degré telles que ai ■+- bu et et -+- r///, dont chacune peut représenter des nombres quelconques 1 : c'esl ce qui arrive quand 'i liL) — Ca esl égal à un nombre carre pris négativement; car supposanl
