Corollaire I. — Donc, si dans la transformée

LV' + M'iY-rN'.»' ,

l'un des nombres L' ou N' est moindre que M . on pourra parvenir ii une autre transformée telle que

LV»+ MW+Va .

dans laquelle on aura pareillement

4L"N"— M'" = 4L'N'— M" jL\ M.

et où M' sera plus petit que M', et ;iinsi de suite; donc, comme la série des nombres

KKCHEKCHËS

ne saurait aller à l'infini, à cause que ces nombres doivent être tous entiers et décroissants de l'un à l'autre, il faudra nécessairement qu'on arrive ;i une transformée, que je représenterai ainsi

Pj2+ Qyz + \\z\

dans laquelle Q ne sera pas plus grand que P, ni que R, et où l'on aura

4PR — QJ = 4LN — M2.

7. Cokollaike II. — Si les nombres s et x de la formule proposée sont premiers entre eux, il est clair que les nombres s' et x' de la transformée seront aussi premiers entre eux; car si ceux-ci ne l'étaient pas il faudrait, à cause de x' = x et de s = mx -+- s', que s fut divisible par la plus grande commune mesure entre s' et x.

Donc les nombres s" et x" de la seconde transformée seront aussi par la même raison premiers entre eux, et ainsi de suite; d'où l'on peut conclure que les nombres y et z de la dernière transformée seront nécessairement premiers entre eux, si les nombres s et x le sont.

Théorème III.