PR - Q2^ 4RD - C' = - H

il est clair que la formule générale des diviseurs

P.r2+ Qrz + R*2 sera aussi résoluble en deux formules rationnelles du premier degré.

15. Remarque III. — Il est remarquable que les formules des diviseurs ne dépendent que de la valeur de K, c'est-à-dire du nombre 4BD — C2; mais il est facile d'en voir la raison en remarquant que la formule

Bt'-^-Ctu + !)//■

peut se réduire à

iBt + C«P4- 4RD — Q)u-

de sorte que les diviseurs de la formule B/2+ Ctu -+- Bu2 peuvent être regardés aussi comme diviseurs de cette formule plus simple

x*±Ku2.

11 resuite de la qu'il suffit de considérer les formules de celte dernière espèce; et pour cela nous ajouterons encore le Problème suivant, qui peut être regardé comme un cas particulier du précédent, mais qui dans le fond a la même généralité.

Problème II.

1f>. Trouver toutes les formes possibles des diviseurs des nombres de la

forme

t- ± au2,

a étant un nombre quelconque positif donné, et t et u étant des nombres indéterminés premiers entre eux.

i° Considérons la formule

t2 -4- a u\ et la comparant à la formule générale du Problème I, on aura

donc K = f\a\ donc Q devra être pair, et il ne devra pas être plus grand que db y^r'i ainsi, faisant Q = ± n.q et regardant q comme positif, il faudra que q ne soit pas plus grand que w ~ ; ensuite on aura

PK = - — r-î-i- = a -4- <72;

de sorte que si p et /"dénotent deux facteurs de a + q2, dont aucun ne soit moindre que iq, on aura

pjr* ± zqyz + rz'1

pour la formule générale des diviseurs de t2 + au2.

Il est bon de remarquer que comme pr = a + q2, il faudra que /> et r soient de même signe, et il est clair qu'il faudra les prendre positivement pour que la formule

/>) ■'■ ± -y.qyz -4- rz7

puisse représenter des nombres positifs.

De plus, comme celte formule ne change point de forme en \ niellant p à la place de /\ il ne sera p;is nécessaire de prendre successivement pour j> chacun des facteurs de a 1-7'", ei pourr ions les facteurs correspondants; c'esl pourquoi dans «lia (pie couple de facteurs de a-\-q% il Buffira de prendre toujours le plus pelil pour/;, et le plus grand pour /•; et c'est ainsi que nous en liserons d;nis la stiile.