Etant donnée la formule
pr'1 -h iqyz — rz\
dans laquelle y et s sont des nombres indéterminés, et p, q, r des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que
pr -+- q2 = a
(a étant un nombre positif donné) et que iq ne soit ni ^>p ni ^>r, abstraction faite des signes de p, q et r; tramer si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.
Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,
y = Ms + Nx, z = ms -+- nx, on aura la transformée
dans laquelb
Ps2 -t- ?.Qsx — Kj-,
Q = /)MN + ^(Mn + Nm — rmn,
R — rn? — 2 q N n — p N- ;
ainsi la difficulté consiste à déterminer, s'il est possible, les nombres M, N, m, n, en sorte qu'on ait
PR + Q2 = rt,
et qu'en même temps ni P ni R ne soient << 2Q, abstraction faite des signes de P, Q et R.
Je remarque d'abord que la quantité PR -h Q- devient, en mettant à la place de P, Q et R leurs valeurs,
/>/•-+- </') (M « — Nni]2= a{Mn — N/h ';
donc il faudra qu'on ait comme dans le Problème précédent
M« — Nm)'= 1,
et par conséquent
Comme JM, N, m, n sonl supposés des nombres entiers, il est clair que cette équation ne saurait subsistera moins que les produits Nn et N/w ne soient de mêmes signes; de sorte que si M et N sonl de mêmes signes, il faudra que m et n en soient aussi.
Or, puisqu'on peut donner aux nombres indéterminés s el ce tels signes que l'on veut, il est évident qu'on peut, sans nuire à la généralité du Problème, prendre toujours les nombres M et N positifs; et alors il faudra prendre les nombres m et 11 de mêmes signes, c'esl-à-diro Ions les deux positifs ou tous les deux négatifs; ainsi il n'y aura qu'à mettre ' m et ± n, à la place de m et n, ou, ce qui revient au même, il n'y aura qu'à donner le signe ambigu ± à la quantité q, c'est-à-dire prendre la valeur de cette quantité en plus el en moins; moyennant quoi on pourra regarder les quatre nombres M, N, ///, // comme positifs.
Maintenant il est clair que si 2Q n'est ni I' ni > R, comme on le suppose, Q2 sera toujours moindre que PR , de sorte que PR h Qs ne pourra être égal à un nombre positif, à moins que PR ne soil un nombre positif; d'où il s'ensuit qu'il faut nécessairement que I' el R soient de
même signe; el celle condition suffît, comme nous Talions voir, pour faire trouver les nombres M. V ni, n .
Pour cela j'observe qu'à cause do
pr -+ q' = a,
la quantité P peut se mettre sous cette forme
I + i+^m M + iZ^„
cl la quantité R sous celle-ci
R= -plJK+t±15n)(}l+1-*an
Or, comme \ja est > </, il est clair que la quantité q + \a sera toujours positive, et la quantité q — \Ja toujours négative; de sorte que les deux quantités
q -t- \ja q — \Ja P P
seront nécessairement de signes différents. Nommant donc « celle de ces deux quantités qui sera positive, et — |3 celle qui sera négative (a et ]3 dénotant des nombres positifs), on aura
P = p M -+- xm M - 5m ,
R = — p (N -+- are) (N — (3n).
D'où l'on voit que, pour que les nombres P et R soient de mêmes signes, il faut que les facteurs M — [im et N — (in soient de signes différents, parce que les facteurs M -4- am et N -t- un sont tous les deux positifs. Cela posé, soit M>N, on pourra faire
et prendre pour u. un nombre entier positif tel, que M' soit aussi positif et moindre que N; car pour cela il n'y aura qu'à diviser M par N, et faire le quotient égal à p, et le reste égal à M . Qu'on fasse de même
m = un -+- m' ,
ni étant un nombre quelconque, et substituant ces valeurs dans l'équation
011 Hlll-ïl celle-Cl
M'»— Nm' ±
d'où l'on voit qu'à cause de M', N et « positifs, il faudra que /n'soit aussi un nombre positif.
Or les valeurs de y et de z deviendront par ces mêmes substitutions
)• ■ . fis -+- #)N + M'*, z- = ( as -+- .r ) « + m'*,
ou bien, en faisant comme plus haut x' '= p.s-\-a;, y — M' s + N.r', z = m's + «.»•';
et, ces valeurs étant substituées dans la formule
/;)•- + iqyz - rz2,
on aura la transformée
ou
PV - zQ'sx' - K.?' ,
P' = y»M"'-r 2qM'm'- riri .
u pM'N i 7 M'// I \///' rniii.
\\ m1— çNn - j>\ .
El je dis que les nombres P' et K seront nécessairement de mêmes signes;
car on aura
\\ - - j> \ • y. n \ 'jii :
or
M Im u N 3/1 -M î/n :
donc, comme \>. est un nombre positif ci que M (3/n ci N |3w sont de signes différents, il faudra, pour que cette équation puisse subsister, que les quantités M |3/n el M' j3m' soient de mêmes signes, el par conséquenl que N ['" el M /3/w' soienl de signes différents; mais n y n el M y m sonl des quantités positives, N. />. M . m el a étanl
T.i-2 RECHERCHES
des nombres positifs; donc les deux nombres P' et H seront nécessairement de même signe.
De même, puisque N > M, on pourra supposer
et prendre </ positif et tel, que N' soit aussi positif et moindre que .M'; et
faisant
on aura (en substituant ces valeurs dans l'équation M'n — N/n = ± i)
de sorte que n' sera nécessairement aussi positif.
Ensuite, si l'on fait
y = M'*' -+- Wx' , z = iraV + n'x';
et, substituant ces valeurs dans la formule
py1 -+- iqyz — rz1,
on aura cette autre transformée
PVS-F 2Q"iV- IV .r',
où
P' =/?M':+2(yM'm'-/'/»'2,
Q" = p M' N' H- q ( M'n' + N'm' ) - *■/»'«', R' =rn'2— :qWn' — />N/J.
El l'on prouvera, comme on a fait plus haut, que les nombres P' et R' seront de mêmes signes.
On pourra trouver pareillement une troisième transformée telle que
dans laquelle
x" = uf's' -4- x',
et où P" et R' seront de mêmes signes, et ainsi de suite.
Maintenant, comme les nombres
forment une suite décroissante de nombres entiers, il est clair qu'on doil parvenir nécessairement à un terme qui soit nul. Supposons donc, par exemple, que l'on ait N'= o, et à cause de
car, à cause que les nombres M' et n' sont tous deux positifs, il est évident qu'il faut prendre dans ce cas le signe supérieur), donc
M' = i et n' = i ;
de sorte qu'on aura dans ce cas
D'où je conclus que, pour transformer la formule proposée
p )'"■■+■ ?qyz — i'zen celle-ci
P*2 -l- zQsx — \\x\
dans laquelle on ait
JMt + Q< = pr-\ - q- — a,
et où Pet R soient de mêmes signes, il faut l'aire les substitutions suivantes
z = m'y 1 r', y— •j.'x'a- s, x' as ■+• x,
et prendre les nombres m , y. et y. positifs et tels, que dans les transformées résultantes
l>'.r2 + *Q"yx'- ï\ > .
P'S I iQ'sx' \\x'2,
P.v iQ sx ■ \\x\
les coefficients R , V . R et I' soient ions de mêmes signes. Voyons donc comment on pourra remplir ces conditions.
En faisant d'abord la substitution de m'y I a a la plaie de r, ou aura
la première transformée, où
H r, Q"=q-rm',
F p H- ?.qm 11)1'=: — — —
Or
doue, pour que P' et R soient de mêmes signes, il faudra que les facteurs
in -+- — 5 m —
soient de signes différents; mais, à cause de \[a^>q, il es! clair que \/a±q sera toujours un nombre positif; donc, si rest positif, w-f- v'
sera toujours positif, et il faudra que m'— —7-^ soit négatif, et par
conséquent que
, da -+- q m <i -;
si au contraire r est négalif. m — ——-*■ sera positif, el il faudra que
da — a .. , .... , m -+- ~ soit nesatit; donc
Substituons ensuite ;j.V+s à la place de v, et l'on aura la seconde transformée, dans laquelle
R = R' - 2QV — P>'2 = a~Q2- J'observe que
R = p.(,^vi-Q;\(i„, -Q"
D'ARITHMETIQUE. T:î5
de sorte que pour que R et P' soient de mêmes signes il faut que les deux
facteurs
Ja -4- Q" , Ja — Q" f* H jv ' f* {r
soient de signes différents; or comme
fP' etR' étant de mêmes signes), il s'ensuit que Q"2 sera plus petit que a, et par conséquent Q'<\«> de sorte que \a ± Q" sera toujours un
nombre positif; doue, si P' est positif, (x'-f- v' - sera positif, et il
faudra que u.' — - — soit négatif; donc
mais, ij.' devant être un nombre entier, il faudra que s ' .,, - soit plus grand que l'unité; donc P'< \ a - Q"; donc, à cause de
P'R' = a — Q fi ' Q fi -Q"),
il faudra que R' soit plus grand que \Ja-\-Q", c'est-à-dire
et par conséquent
m -+- i r ^ a -+- 7 , et de là
Or P' doit être positif lorsque r est positif, auquel cas on a déjà trouvé
m : donc on aura dans w cas
, ■ fi Q ^ p
On trouvera de même, pour le cas de r négatif,
v a — o , \la — a
D'où l'on voit (jiie le nombre m', devant être entier, sera nécessairemenl déterminé, puisque les deux limites entre lesquelles il doit se trouver ne difièrent que de l'unité.
Enfin on substituera \xs -+- x à la place de ce', et l'on aura la troisième transformée dans laquelle
Q = Q'Rfx,
R = P' + 2Q>. — Ry.3 =
Et, en faisant attention que
là cause de RP = a — Q'2y, on prouvera comme ci-dessus que, dans le cas de r positif, on aura
et dans le cas de r négatif
De sorte que le nombre fx' sera aussi déterminé, et qu'il n'y aura d'indé terminé que le nombre p..
Or, si l'on veut de plus que 2Q ne soit ni plus grand que P ni plus grand que R, comme les conditions du Problème l'exigent, il faudra d'abord déterminer \). en sorte que Q = Q' — p.R ne soit pas plus grand
que —i abstraction faite des signes de Q et R; et il est clair que prenant
pour [j. un nombre entier positif, il n'y aura qu'une seule valeur de a qui puisse satisfaire à cette condition; de sorte que le nombre u sera par ce
moyen entièrement déterminé. Ainsi il ne restera plus qu'à voir si Q est
aussi < — ; auquel cas la transformée
Ps2-f -zQsx — R^'
aura les conditions requises.
On voit par là comment on peut résoudre la question proposée sans aucun tâtonnement, et voici la méthode qu'il faut suivre pour cet objet.
MÉTHODE POUR TRANSFORMER LA FORMULE p y2 -+- 2 Ç yz — r Z2 , DANS LAQUELLE ON A pi" -+- q2 = a (« ÉTANT UN NOMBRE ENTIER POSITIF DONNÉ) ET OU iq n'eST NI >•/? NI > r (ABSTRACTION FAITE DES SIGNES
de p, q, r), en d'autres formules semblables et assujetties AI X
