PR — Q

et que 2Q ne soit ni > P ni > R.

Pour satisfaire à la première condition je substitue dans la quantité PR — Q2 les valeurs de P, Q, R, et je trouve, en effaçant ce qui se détruit,

PR — Q2 = (pr— q>) (Un -Nmf;

mais (hypothèse)

pr — qi= a,

donc, pour que PR — Q2 soit aussi égal à a, il faudra que l'on ait

et par conséquent

Mn — Nm = ±1.

A l'égard de la seconde condition, il est clair qu'elle ne saurait avoir lieu à moins que Q ne soit en même temps •< P et << R; ainsi nous supposerons que Q soit en effet < P et < R, et nous allons voir ce qui doit s'ensuivre.

Soit M > N (le raisonnement serait le même si N était >M, en prenant seulement N a la place de M), il est clair qu'on peut faire

et qu'on peut prendre \i. tel que M' devienne moindre que N; car il n'y a qu'a prendre pour \j. le quotient de la division de M par N, et M sera le reste; de plus il est facile de voir qu'on peut toujours supposer que p. ne soit pas moindre que 2; car si l'on trouvait fx = t, en sorte que M =N-+-M',

on pourrait faire

M = aN — (N — M'),

c'est-à-dire prendre ij. = 2 et N — M' à la place de M . Or si l'on suppose

aussi, ce qui est permis,

m = un -+- m' ,

m' étant un nombre quelconque, et qu'on substitue ces valeurs de M et

de m dans l'expression de Q, elle deviendra

Q = (j.[pti* + 2</Nn + /'«-, -t-/>M'N + </ : M'« +Nm')+ /■///'/*, de sorte qu'en faisant, pour abréger,

Q' — pM'N -+- q[M'n -+- N/»' i + rm'n,

on aura

Q = pR-+-Q'.

Or il faut (jue Q soit < R; donc, puisque u. est = ou > 2, il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités uR et Q' ne soient de signes différents et que Q' ne soit en même temps >R, abstraction faite des signes.

Maintenant on aura

y ■=. ( y. N -1- M' ; * -f- Nx, z = ( [j. n -+- m') s -+- nx :

de sorte que si l'on fait

on aura

/ = M'f + N«', z = m's-î-nx',

el la substitution de ces valeurs dans la formule

/>>•-' h- 2.qyz + rz

donnera la nouvelle transformée

1»V f iQ's > h Rj', en supposant

P' J>M I '.7 M'/»' + / •//;' , Q': pM'N -1- q M'n + Nm' -\~rmn, et

comme plus haut.

Or à cause de

du aura

el par conséquent

M' n — Nro'= ±i.

On trouvera aussi

P' R — Q'2 = pr — q2)' Wn - N m' .

et par conséquent

De sorte que, comme a est positif et que Q' est > R, il faudra que P' soit >Q'; ainsi la transformée précédente sera telle, que Q' sera >R et <P\

De la même manière, à cause que N est > M', on pourra supposer

et prendre \)1 en sorte qu'il ne soit pas < 2 et que N' soit <M'; et faisant ensuite

n = y.'m' -t- n', s' = ij.'x' -h s,

en sorte que l'on ait

^^MV+NY, z — m's' -+- n'x',

on parviendra, par des opérations et des raisonnements semblables aux précédents, à cette nouvelle transformée

PY- + ?.Q"s'x' -+- R'x'3, dans laquelle on aura

P' = />M'2-f- iqWnï -4- rnï-, Q"=pWW-hq{Wn'-+- N'm') + rm'ri, R' =^>N'-+ 2^N'/i'+ //?'-,

et où 1 on aura aussi

M'n' — N'to'= d Q'=f,.<P'+Q", P' R' - Q"' = a,

en sorte que Q" sera > P' et < R\ abstraction faite des signes de P , R et Q".

On pourra trouver de même une troisième transformée telle que

?"s'i-h2Q'"s'x" + Wx"i,

laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.

Je considère maintenant que comme les nombres

forment abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal a zéro. Supposons que N' soit ce terme, en sorte que l'on ait N' = o; donc à cause de

on aura

donc

M' = =bi et n'=±i,

donc

V p±2.qm' ■+■ rm'1, Q": d qdzrm', R' = r,

les signes ambigus étant arbitraires.

Or il faut :

i" Que l'on ait Q"< H , abstraction faite des signes de ces nombres; mais R' = re< q r, à cause de >.<] non plus grand que r hypothèse), donc Q" ne pourra être IV, r a moins que ///' ne soil égal à zéro ou égal à ± i .

2e Que Q" soii en même temps I* ; or si ///' = o, on y

de sorte qu'à cause de iq non plus grand que /> hypothèse , Q" sera toujours P au lieu d'être plus grand : si m = ±i i . on aura

P' /; * \q ■+■ r et Q' q I /;

mais on suppose que Q" soit <r\ donc, pour que Q" soit > P , il faudrait que r pût être >•/> ± iq-\-r, ce qui ne se peut à cause que iq n'est jamais >• p, et que d'ailleurs p et r doivent être de mêmes signes eu vertu de l'équation

pr — </2= on nombre positif.

De là je conclus qu'il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu; de sorte que si l'on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement différentes entre elles, et qu'elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.

Problème IV.