III

Cela posé :

i° On fera

ce qui donnera cette première transformée

r'y"2 -+- iq' y"y' — r"y'*t

où l'on aura

On prendra, s'il est possible, pour m' un nombre entier positif, tel que

q-h r'm' ne soit pas >>— ; ensuite on verra si r" est > q1 ou non, et

dans ce dernier cas la transformée trouvée aura les conditions requises. 2° On déterminera m' en sorte que

Ensuite on fera

y'=zm"y"-+y'",

ce qui donnera cette seconde transformée

en faisant

, „ « « a — q"2 r'" = r' -+- 2 jm — r m ' = /— •

On prendra /w" entier positif et tel que q' — r"/ra" ne soit pas > — -, et si

en même temps q" ne surpasse pas — la transformée précédente aura les

conditions requises.

3° On déterminera m" en sorte que

Ensuite on fera

r"=m'"r'"-hyl\

et l'on aura cette troisième transformée

(■")•'" -+- 2^'"rivj'"— r'y'"\

dans laquelle

On prendra pour m" un nombre entier positif et tel que q" -f- /•'"m"' ne

soit pas > — ? el si la valeur de q'" n'est pas en même temps >• — » on

sera assuré que la transformée trouvée aura les conditions requises. 4° On déterminera m"' en sorte que

«/ 1- \la~ <l" m<, v" - q" "' < r>» ' m > rw '•

Ensuite on fera

ce qui donnera la quatrième transformée

où

On prendra m" tel que y r'y//ilv ne soit pas > - » el si q" n'est pas

en même temps la transformée aura les conditions requises.

5° On déterminera m"

De cette manière <m trouvera successivemenl toutes les transformé* de la formule proposée, dans lesquelles les conditions prescrites pour-

vont avoir lieu; et il est clair que le nombre des tranformées différentes sera nécessairement limité; car nous avons vu dans le Problème II qu'il ne peut y avoir qu'un nombre limité de formules différentes où les mêmes conditions soient observées.

Mais, pour avoir toutes les différentes transformées possibles d'une même formule, il faudra faire un double calcul en prenant la valeur de q successivement en plus et en moins.

Si les nombres r et r', au lieu d'être tous deux positifs, comme nous l'avons supposé, étaient tous deux négatifs, il n'y aurait qu'à changer les signes de ces nombres aussi bien que celui du nombre q, c'est-à-dire qu'on prendrait la formule

r'y'-hzqyy' — ry"2

négativement; et ensuite on changerait de même tous les signes des transformées qu'on aurait trouvées. Ou bien, ce qui est encore plus simple, on écrira —r à la place de r', — /■' à la place de r, et y' à la place de y, ce qui donnera la formule

— ry'3 + 7.qyy'-hr'yi

où r et r' seront des nombres positifs.

25. Corollaire. — Il suit de l'analyse du Problème précédent que les nombres r, r', r", r'",... seront tous de mêmes signes et tels que

ainsi chacun de ces nombres sera moindre que le nombre donné a, par conséquent en continuant la série/1, r', /",... il faudra nécessairement que le même nombre revienne plusieurs fois, et même que la même couple de deux nombres successifs revienne aussi; donc, en continuant le calcul, suivant la méthode précédente, on retrouvera nécessairement une transformée identique avec quelqu'une de celles qu'on aura déjà eues ; c'est ce qu'on reconnaîtra aisément lorsqu'on trouvera , par exemple,

et que v sera un nombre pair; alors il sera inutile de pousser le calcul

plus loin, parce que les transformées suivantes seraient les mêmes qu'on

aurait déjà trouvées.

Donc, dès qu'on aura trouvé par le Problème II toutes les différentes

formules

py'± iqyz — rz-

(jui peuvent représenter les diviseurs des nombres de la forme

P — au2,

on pourra les réduire au plus petit nombre possible en excluant celles qui ne sont que des transformées de quelques-unes de ces formules. Ainsi, comme la formule v2 — a-2 est toujours une de celles des diviseurs de/2 — au2 (en faisant q = o etp=i,r=a), on commencera par chercher toutes les transformées de cette même formule, où les propriétés prescrites pourront avoir lieu, et comme ces transformées se trouveront nécessairement parmi les autres formules des diviseurs de t2 — au2 on pourra d'abord les rejeter comme étant identiques entre elles. Ensuite on fera la même opération sur les formules qui resteront; et après les avoir parcourues toutes, rejeté celles qui se trouveront identiques entre elles, on sera sûr que les restantes seront toutes différentes entre elles, et qu'elles seront en même temps toutes nécessaires pour représenter tous les diviseurs possibles des nombres de la forme donnée.

Au reste il arrivera le plus souvent que les transformées de la formule y2 — az* renfermeront toutes les autres formules des diviseurs de t2 — au2, surtout lorsque a est un nombre premier; mais on aurait lorl d'en faire une règle générale; car nous apporterons des Exemples où elle se trouverait en défaut : ce qui servira en même temps à montrer l'utilité et l'importance des méthodes que nous venons de donner.