EXEMPLES
2(i. Soit proposée la formule
.,- 2z»; donc
ainsi l'on aura
q'^nï, r"=^~JÙ^
or il est clair qu'on ne peut rendre q < r' < i; ainsi l'on passera à une seconde transformée.
Pour cela, on prendra donc
c'est-à-dire m = 1, ce qui donnera
ensuite on aura
2 — g"2 q' = qr' — r' m = i — m", r'" = - — * — ;
r" i or, pour que q" ne soit pas > — > -■> il faut prendre m' = \ , ce qui
donne
de sorte que, comme <jr" est en même temps non > —, on aura la transformée
c'est-à-dire
r>"y"t + iq" y"y"' — r"y'"2,
qui aura les conditions requises; or cette transformée est semblable à la
formule
de sorte que les deux formules
y2 — 2 z' et 2Z! — y-,
que notre méthode générale donne pour les diviseurs des nombres de la forme f- — iu2, reviennent à la même, comme nous l'avons déjà remarqué (20, II).
On trouvera, de même, que les deux formules
y2 — 5z2 et 5z2 — y2
reviennent à la même, comme on l'a observé dans le numéro cité, V.
Considérons, pour donner un autre Exemple, le cas du n° 20, VII, où nous avons trouvé que les formules des diviseurs de
t2 — 7 u2 étaient
y'1 — 72*, ?.y2±2yz — 32% 72* — y2, 3z2~J<z-2yz — ?.>•-.
i° Soit donc
on aura
q'—rri, r"--= ? ~q'\ * 1
où l'on voit que q ne saurait devenir < — < 20 On prendra donc
mi ^- V 7 ,„/ -^ v " , ni <^ — •> tii j> — — 1 ,
donc
de là on aura donc
r" 3 et pour que q" ne soil pas — > - il faudra faire m" = 1, ce qui
donnera
q"= — i, r'": s; de sorte que, comme «y" est en même temps non -, la transformée
r'" y"2 + ?.q" y"ym - r"y"",
c'est-à-dire
" rm- *rmt>
aura les conditions requises.
7kk RECHERCHES
3° On prendra
«loue m" =i\ d'où
ensuite de quoi on aura
donc, pour que q" ne soit pas > — •> il faudra prendre m'" = i , ce qui donnera
(j'"=i, /"v=:3; de là on aura la nouvelle transformée
2rv,J + 2rvr"-3.r'%
qui aura aussi les conditions requises.
4° On fera
m'" <- VJ , „,'" > V' , ;
donc w" = i , et de là
ensuite on aura
où Ton voit qu'on ne saurait prendre mxv en sorte que g'v ne devienne
- r" pas
5° On fera
donc m,v = 1; et de là
g,v— — 2, rv = i;
ensuite on aura
7 — gv
gv = — 2 -f /»v, r" = y *—
donc, pour que </v ne soit pas > — ■> on fera rrC =■ 2, ce <jui donnera
</v = o, r" = 7; de suite qu'on aura la transformée
qui aura les conditions prescrites.
6° On fera
donc ni" = \, par conséquent
q- — 1, rvi = 3;
j'observe ici, sans aller plus loin, que ces valeurs de <f et /Vl sont les mêmes (|ue celles de q' et r" 20, page 743); donc, puisque la différence des exposants de q est paire, il s'ensuit que les transformées qu'on pourrait trouver en continuant le calcul seraient les mêmes que celles qu'on a déjà trouvées ci-dessus (25,.
Ainsi la formule y- — 7 V'2 ne saurait fournir d'autres transformées qui aient les conditions prescrites que ces deux-ci
■2V"'- ■?.}■" y" — 3y , - rlVM — ) '\r" - 3i :
d'où l'on voit que les formules
reviennent à la même, comme aussi les formules
7 : - )-J, 3 z' qz •> yz a 1 qui ne sont que les négatives de celles-là; mais que les deux formules
IkG RECHERCHES
ne sauraient se réduire l'une à l'autre, comme cela a lieu dans les formules
de l'Exemple précédent.
27. Pour développer davantage l'application de nos méthodes des Problèmes II et IV, nous allons chercher ici les formules des diviseurs des nombres de la forme
P — 79"^ ou 79M2 — t2-
On aura donc ici a = 79; donc il faudra que q ne soit pas > y t^ ^> 3>
de sorte qu'on ne pourra faire que q = o, 1 , 2,3. Faisant q = o, on aura yo/-= 79, donc
faisant q = 1 , on aura pr= 78 , donc
p = 2, r=3g, ou /? ~= 3, r = 26, ou p = &, r=i3; faisant ^ --- 2, on aura pr = 75, donc
p = 5, r = i5; enfin faisant «7 = 3, on aura /?r = 70; donc
Ainsi l'on aura pour les diviseurs dont il s'agit les formules suivantes
r2 — 7922> 2r2± 2rz — 39s"> 3/2 =*= v2 — 26s"»
6y2±2.yz — i3z2, 5y'-±^yz — i5s2, 7j-2dz6^\z — 102-,
et leurs inverses
7g z2 — y2, 3gz2qr iyz — zy2, i6z2^z ?.yz — 3 )•-, i3z2q= i.yz — 6/2, i5z2=p l\yz — 5y2, iaz-rn 6yz — iy2,
ce qui fait en tout douze formules; mais il faut maintenant les trier, et en rejeter celles qui sont identiques entre elles. Considérons d'abord la formule
>- — 7*) s- ou bien y2 — 79f'2i" On aura
donc
79 — </'" q —ni, r = ,v ^ * ^
or </ est toujours > —, a moins qu on ne fasse m = o, ce qui ne donne-
rait aucune nouvelle formule 2° Ainsi l'on fera
donc m' = 8, par conséquent
q' = 8, r"=i5; ensuite, on aura
r" où l'on fera m'f= i pour que q" ne soit pas — -, on aura don*
mais, comme r/ serait » ces valeurs ne donnent point de transfor-
mée convenable.
>" On fera donc
m ,—75—' ni >---g
doin /// 1 , ci de là
ensuite on aura
qu'on prenne m" = 3 ou =4 pour avoir q '" = ± i , non > — » et r" deviendra égal à 3q; de sorte qu'on aura cette transformée, qui aura toutes les conditions prescrites
2j"Jd= 2jITj"'— 39J-'"2.
V En poursuivant le calcul on fera
mm ^ s/Ï9 + 7 m»<^ s/79 + 7 .
c'est-à-dire /w"'= 7; d'où
ensuite on fera
(/'v= 7 — i5mIV, r' — 79 ~/ — , 1 i5
et l'on prendra mlv = 1 pour avoir yIV non >> ; — -, ainsi l'on aura
mais, comme qlv est plus grand que — 9 on rejettera ces valeurs comme inutiles.
5° On fera donc
donc mxv = 1, par conséquent
après quoi on supposera
qv= — 8 -+- »r , r" = i-^~^ ,
et l'on prendra rrC = 8 pour avoir
q« = o, r" = 79, ce (jui donnera la transformée
qui est entièrement semblable à la première formule
6° Je fais
savoir mv = 16, ce qui donne
or je remarque que ces valeurs de q* el rvl sont les mêmes que celles de q' et r" du 2°, page 747; de sorte que, comme la différence des exposants de q est paire, on retrouvera les mêmes transformées qu'on a déjà eues: d'où il s'ensuit que la formule
ne peut se changer en aucune autre qu'en celle-ci
et qu'ainsi parmi toutes les formules trouvées pour les diviseurs de /'-' — 79W" il n'y a que ces deux-ci
i - — -yz- el • > ' vz - ?h)z:
qui soient identiques entre elles, auxquelles on doit encore ajouter leurs
inverses
-i)Z! - y- et 3>)z- :p 2 yz 1 > .
qui seront aussi identiques entre (dles. Considérons maintenant la formule
ii ■ 1 - i6z2, savoir
'.1 -ri ?( i )
i° On aura
a étant toujours égal à 79; ainsi l'on supposera
, , a / „ 79 — V gr' = i -f- 3/n', r' = a-"'
et comme on ne peut pas prendre m' tel que q' ne soit pas > —, on passera à une autre transformée.
20 On fera donc
donc m' = 1 et
ensuite on supposera
on prendra donc m" ~ 1 pour avoir
et l'on aura
ainsi l'on aura la transformée
7r"2-6r"r"/-ioj.-"'2.
qui aura les conditions requises.
'3° Soi!
donc m"— 1 et
ensuite, soit supposé
et comme on ne peut pas prendre m" tel que q ne soit pas — » on
passera à la transformée suivante.
4° On fera donc
c'est-à-dire m = 1 , et l'on aura
ensuite de quoi on supposera
or on ne peut prendre m,v tel que qlv ne soit pas ; donc, etc.
5° On fera
c'est-à-dire mIV = 1 ; donc
g,v-— — 5, rv = 6;
après quai on fera
<l 5 + <i/»v, rT1 = '•' ? ;
ici l'on peut prendre tnv= 1, ce qui donne
valeurs qui oui les conditions requises; de sorte qu'on aura la transformée
6° Soit maintenant
donc m* = 2 et
ensuite soil supposé
qVI = 7 — 5m*', ,■-,, — 79 ~ ? — ,
et il est clair' qu'en prenant mVI— i on aura f ; on aura donc
de soi}*' que la transformée
i5)-v,2-i 4jT,j' — 5>-t:
aura les conditions requises.
7° Qu'on prenne
doue /nvl = '3 et
?VI=-8, r"" = 3;
ensuite on supposera
?*" = -8 + 3m*", rv„I:79 — gv"2;
et prenant mvlI== 3, on aura
fl'" = I< ? rVI" m 20 >• 2flv" ;
ce qui donnera la transformée
qui est semblable à la proposée.
8° On fera donc encore
- i/7Q -1-8 i/TQ H- 8
mv ■ , <- v^. , mv" > -^ i ;
c'est-à-dire myu = ">, et par conséquent
,jV II ., \ | | | ___ . . .
valeurs qui sont les mêmes que celles de q et r" \ de sorte que les mêmes
transformées qu'on a déjà trouvées reviendraient si l'on continuait le calcul.
Reprenons maintenant les mêmes valeurs de /■' et r du 1", page 7 ."><>, mais au lieu de supposer q = i , qu'on fasse q = - i ; donc
or, comme on ne saurait déterminer ?/i en sorte que q devienne <i~ •>
il faudra passer immédiatement à une autre transformée. 2" On fera donc
m> ^7,) ! m' VTM-^-t
donc m = 3 et
ensuite on supposera
q" = 8~5m", r'"= ^^LZL?
et il est clair que prenant m"= 2, q' ne sera pas '. : ainsi l'on aura
q" =-■>., r"=i5; de sorte qu'il en résultera la transformée
i5j"'— îr'i 5j
qui a, comme on voit, les conditions requises. 3° On fera
c'est-à-dire m"— 3, d'où
ensuite on supposera
et l'on prendra m'" = i pour avoir
ce qui donnera la transformée
qui a les conditions requises.
4° Soit
donc m" = 2 et
g'"— 5, rIV = 9;
ensuite on supposera
g" = 5 — 9m", rv— ± — — î---,
et l'on pourra prendre /w,v — 1, ce qui donnera
/ ^ '"v niais alors on aura
de sorte que ces valeurs ne sont pas convenables.
5° Soit donc
donc 7«IV= 1 et
ensuite on fera
79 — </v ' çv — — 4 -1- 7 mv, rVI =
et l'on pourra prendre my=i, ce qui donnera
qy ----- 3 < — , rxi = 1 o > zqy ; J 2
de sorte qu'on aura cette transformée
I) AIUTHMÉTIQUE. 755
6° Soit
ni <z ? m ~> — i ;
donc ///" = i et
(jw — 3, rVI = ioj
qu'on fasse ensuite
g"= 3— ioi»", rvn==2â — ? — ,
et, comme on ne peut pas prendre /wVI en sorte que qvl devienne non > — i on passera d'abord a la transformée suivante.
7° Soit donc
. Jnq -+- 3 Jnq + 3
donc my' = i et
qu'on fasse ensuite
yv" = — 7 + 3mv", r1"1 =
et prenant rav" = 2 on aura
a"" = — 1 <. ? rT," = 20 "> aqr" ;
donc on aura la transformée
qui est analogue à la proposée.
<S" Soit encore
donc tftv" 3 el
valeurs qui sont les mêmes que celles de 7 el / du a0, page 753; ainsi l'opération sera terminée.
On voit donc que la formule 3 y2 ± iyy' — 2&y'2 n'a pu fournir que ces transformées
7j"2 6ir"/f'— io)'"'-, 6rv,2 + 2 jv\rv— i3) v-, i5jVlM-4j-v'rv — 5yvl, i5)-"-— fyr"y'"— 5y'"\ 6jIV3— 2j,T7"/— 1 3 > '"% 7„rv,2 + 6rv\rv— iojtî;
d'où et de ce qui a déjà été trouvé ci-dessus, je conclus que les douze formules que nous avons données pour les diviseurs des nombres de la forme t2 — 79 ir peuvent se réduire à ces quatre-ci
y*2 — 79z"> l\)zl — T2> ^y'2— ?-}'z — 26.Z2, 2.6z2rp2}'z — 3r2,
lesquelles doivent être regardées comme essentiellement différentes l'une de l'autre, en sorte qu'elles n'admettent plus aucune réduction.
28. D'après ces principes on pourra construire deux Tables pour les formes des diviseurs impairs des nombres i1 -+- au2 et t2 — au2 en supposant successivement a = 1, 2, 3, —
Voici ces Tables poussées jusqu'à a = 3i; il serait bon de les continuer au moins jusqu'à 100; mais nous nous contentons ici de mettre sur la voie ceux qui voudront dans la suite se charger de ce travail.
On remarquera, à l'égard de la seconde Table, que les signes ambigus ± qu'on y trouve dénotent que les valeurs de p et de r qui en sont affectées peuvent être prises également avec les signes supérieurs ou avec les inférieurs; ainsi, puisque à« = 2 répond p = ±it q = o, r= ±2, il s'ensuit que tout diviseur impair de t2 — au2 sera en même temps de la forme y2— 2s2 et 2z2 —y2, et ainsi des autres; de sorte que, dans ce cas, on sera libre de prendre les signes supérieurs ou les inférieurs.
On doit remarquer encore que l'on a omis, pour plus de simplicité, toutes les valeurs de a qui seraient égales à des carrés ou divisibles par des carrés; c'est pourquoi dans la colonne des valeurs de a on ne trouve ni le nombre f\, ni le nombre 8, ni, etc.; en effet il est visible que la formule /2 + 4"2 est comprise sous celle-ci t2 -h ir où a=i. On voit de même que la formule t2 -h Su2 est réductible à celle-ci t2 -h 21C- où a — 2, et ainsi des autres.
toi
