Corollaire. — Il suit des deux derniers Lemmes
i° Que si \an-\-b est une des formes des diviseurs de t2 ±au2, ce sera aussi une des formes des diviseurs de t2 + au2 lorsque b sera de la forme (\m-\-\\ et que si [\an-\-b est une des formes des non-diviseurs de t2±au2, ce sera aussi une des formes des non-diviseurs de t2z+zau2.
2° Que si !\an-\-b est une des formes des diviseurs de t2zhau2, ce scia aussi une des formes des non-diviseurs de t2zpau2 lorsque b sera de la forme \m — i; et que si (\an-\- b est une des formes des non-diviseurs de l2±au2, ce sera aussi nécessairement une des formes des diviseurs de t2^iau2. Les quatre dernières Tables fournissent des exemples de la vérité de ces propositions.
Lemme VI.
43. Si un nombre premier p est à la fois diviseur de différents nombres
de ces formes l2 — au2, t2 — a'u2, t2 — a"u2 ,..., je dis qu'il sera aussi diviseur d'un nombre de la forme t2 — aa'a' ... ir .
Si p divise en même temps 1rs deux nombres t2 — au2 et t'2 — a u'2, il
divisera aussi le nombre
P t"— a'u" « u ■ i au*), c'est-à-dire
//' — a al u a :
et, si le même nombre /> divise encore le nombre / - a u -, mi prouvera pareillement qu'il divisera aussi le nombre
u i aa'a uu'u ;
cl ainsi de suite. Au reste, on voit par cette démonstration que la proposition est vraie, en général, quel que soit le nombre/), premier ou non.
Lemme VII.
4-4. Si le nombre premier p ne peut jamais être diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, je dis qu'il sera nécessairement un diviseur d'un nombre
de la forme
t + uffl** -{t- uffl+l
■xt \ja
et même d'un facteur quelconque de cette formule.
Car si p ne peut être un diviseur de t2 — au2, alors a z — i ne sera pas divisible par p (Lemme III); mais, ap~( — i étant toujours divisible
par/) ' Lemme I), il faudra que a ' A- i soit divisible par/?, puisque
aP-1— i = \a ' —i)\a '' +i).
Maintenant si l'on considère la quantité {t -h u\/a)p el qu'on la résolve en série par le Théorème de Newton, on verra qu'à cause que p est un
nombre premier, tous les termes seront d'eux-mêmes divisibles par p,
p excepté le premier tp et le dernier upa\ et cela indépendamment des
valeurs de /, u, a. Donc
I / -+- u slaf — v — m'a-
sera toujours divisible par/;. Mais t et a n'étant pas divisibles par/), on a. par le Lemme I, tp~* — i et up~* — i divisibles par/»; donc aussi
tP— t et ( iip — p i«' ,
et par conséquent
' t -h u \ a )F — t — un'
seronl divisibles par /); or a * -h i est divisible par/); donc ««'+ uy/a
te sera aussi; donc
(t -+ h \ a)f — t -+■ u\Ja
sera divisible par/;; donc, prenant le radical \a en —,
(/ — u\fâ)p — t — ii \ a
sera également divisible par/;; donc enfin multipliant la première de ces quantités par t-\-u\ja, et la seconde par t — u\[a, et prenant la dill'érence, cette différence sera encore divisible par/;; ainsi
t-\ ufîf**- t-usla)p"
sera toujours divisible par/»; mais si Ton développe celle quantité, on voit qu'à cause quep-hi est pair, tous les termes sont divisibles par 2t\[a\ donc, puisque ni t ni \ a n'est divisible par/?, il s'ensuit que la quantité
(t + usla)p^~( t- it s 7i r ' 2.t \ a sera divisible par/;.
dette quantité étant développée el ordonnée par l'apport aux puissances de /, devient un polynôme entier el rationnel du degré p — i; ainsi, supposai)! u donne, il y aura /; — 1 valeurs de / tant positives que négatives,
mais moindres que > lesquelles rendront ce polynôme divisible par />,
ces valeurs étant
., ±o, ±3,.... zfc/i--1.
Donc on prouvera, comme dans le Lemme II, que si ce polynôme a un facteur rationnel el entier de l'ordre m, il y aura nécessairement m valeurs de / qui pendront aussi ce facteur divisible par/;.
rHÉORÈMES si i: LES NOMBRES PREMIERS DE LA FORME \li l.
ïô. Comme les nombres première de celle forme qui ne sonl pas diviseurs de /-' au3 le sonl nécessairement de t2 ~r <m2 par le Lemme \ il. on pourra appliquer à ces nombres le> propriétés (|ui conviennent aux
diviseurs de /'- rp au2; donc en combinant la Table V avec la Table II et la Table IV, et la Table VI avec la Table I et la Table III, et ne considérant que les valeurs de b qui sont de la l'orme l\m — i, on aura les Théorèmes suivants :
i° Tous les nombres premiers de la forme 8/? -+- 3 sont de la forme
2° Tous les nombres premiers de la forme Sn — i sont en même temps de ces deux formes y2 — 2z2 et 2z'2 — y2.
3° Tous les nombres premiers de la forme 1 1 n — 5 sont de la forme y2 + 3z2.
l\° Tous les nombres premiers de la forme \in — r sont de la forme
5° Tous les nombres premiers de ces formes 20 n -+- 3, 20 n -+- 7 sont de la forme 2 y- ± 2ys -l- 3s2; om èien ces nombres étant multipliés par 2 deviendront de la forme y2 -+- 5 s2.
6° 7oms /es nombres premiers de ces formes ion — 1 , 2on — g sont en même temps de l'une et de Vautre des deux formes y2 — 5z2 et 5s2 — y2.
70 Tous les nombres premiers de la forme 2.4 n -+- 7 sont de la forme y2 -+- 6z2; et tous ceux de la forme i(\n -+- 1 1 sont de la forme 2 y2 -+- 3z2.
8° Tous les nombres premiers de la forme i'\n — 1 sont de la forme (je.2 — y2; et ceux de la forme il\n — 5 sont aussi de la forme y2 — 6z2.
90 Tous les nombres premiers de ces formes 28 « -h 1 1, 28 « -- 5, 28/? — 1 3 sont de la forme y2 -+- 7 s2.
io° Tous les nombres premiers des formes 28 n -\- 3, 28// — 1 , 28// — r> sont de la forme 7 s2 — y2.
1 1" Tous les nombres premiers de ces formes r\on -+- 1 1 , t\on -+- 19 sont de la forme y2 ■+• ioz2; et ceux des formes [\on -+- 7, t\on — 1 7 sont de la forme 2 y2 H- 3z-2.
1 20 7V>//a /es nombres premiers de ces formes '\on — 1 , f\on — g sont en
même temps de l'une et de l'autre de ces formes y- — io;2 et io:2 — y2; et ceux des formes t\OJi -f- '3, 4°" — i3 sont de l'une et de l'autre des formes iy2 — oz2 et oz2 — iy2 .
i3° Tous les nombres premiers de ces formes l\(\n -h 3, [\[\n \- \^> , \l\n — x3, 44" — 17, 44" — 21 sont ou de la forme y2 -h 1 is2, ou bien de la forme '*>y2 ± lyz -+- f\z2.
1 4° Tous les nombres premiers de ces formes 4 4 /? H— 7 , 44" ~+~ I(.)* 44" — 1. 44 n — 5, 44" — 9 sont de la forme \\z2 — y2.
[5° Tous les nombres premiers de ces formes 52/1-1-7, 52 /z -h il, 52/i-f-i 5, 52/1 + 19, 52/i — 5, 52/? — 2 [ sont de la forme 2y2 ± iyz +7 s2, o« fo'e/î ces nombres étant multipliés par 2 deviendront de la forme y 2 -f- 1 3z2 .
r6° 7w/s /es nombres premiers de ces formes J2« -h 3, 52 7^ -f- 23, D2« — 1, 52/z — 9, 52/j — 17, 52/1 — 2.") sont en même temps de l'une et de l'autre de ces formes y2 — i3z2 et i3r- — y'.
17° Tous les nombres premiers des formes 56ft-hi5, 56/i-+-.a3,
56/z — 17 «m/ o// r/e la forme y2 -h i'\z2, ou de celle-ci 2 V" -h 7 c2; e^ /es nombres premiers des formes 56/î + 3, 56/2 4- ff), 56/1 -1- 27 sont de la forme 3ya ± 2 y; H- 5z2; oa bien ces nombres étant multipliés par 3 flfeviendront de la forme y2 -h l l ^'2.
iS° Tous les nombres premiers de ces formes 56 rt -f- 1 1 , 56/2 — 5, 56/1 — l3 *0/l/ ûfe la forme y- — \[\z2; et tous ceux des formes 56/2 — 1,
56/j — <), 56/j — 25 «>/i/ c/e la forme 1 i-z2 — v'-.
i()° Tous les nombres premiers de ces formes 60/2 -f- i<), 60/2 — M)sonl de la forme y2 \ 1 5z2; e/ toi« rw/.r des formes 60/1 : 23, 60/J i3 sr>/// r/e la forme '\y- - 5za.
200 /'o//.v /r.v nombres premiers <!<■ ces formes 60/1 1 i, 60/1 — 1 \o/// < le la forme 1 5z2 — iy2; c/ rr//./ des formes (><>/> 7, 60/1 — 17 sont de la
forme lvJ \z2 .
■j.\" Tous les nombres premiers de ces formes 68/J \, (><S// l 11. (>K/> h •/), (i.S// }- 27, 68/1 : 3i, 68/1 - '), 68/1 ■;<) sont de la forme III. 99
3 r2 ± iyz 4- (>r2; ou bien ces nombres étant multipliés par 3 deviendront
de la forme y2 -!- 1 7 c2.
220 Tous les nombres premiers de ces formes 68/? ■+- [5, (38 n -t- [9, 68« — 1 , 6Sn — (), 68/? — i3, 08/? — 2r, 68/? — 2"), 68/j - 33 so/?/ fj/? même temps de ces deux formes y- — 17 z2 et 17 :■- — y2.
23° Tous les nombres premiers de ces formes 76^4-7, 76/14- n, 76/^4-23, 76/? -1- 35, 76/? — i3, 76/1 — 21, 76/? — 29, 76/1— 33, 76/? — 37 sont ou de la forme y2 4- 19c2, ou bien de la forme
/| y2 ± iyz 4- 5c2.
iL\ ° Tous les nombres premiers de ces formes 7 0/? -; ■ 3 , 76/1 -f-i5, 76/? 4- 27, 76// -h 3i, 76/? — j , 76/? — 5, 76/? — 9, 76/? — 17, j6n— 25 «>/?/ de la forme 19c2 — y2.
25° Tous les nombres premiers de ces formes 84 n 4- 19, 84 n 4- 3i, 84 « — 29 so/?/ de la forme 3 y2 -h 7 c2; et ceux des formes 84 n 4- j 1 , 84 n 4- 23, 84 n — i3 so/?/ cfe la forme 2 y2 ± 2 y; 4- 1 1: 2, ou bien ces nombres étant multipliés par 2 deviendront de la forme y2 4- 2 1 z2.
2CJ0 7oms les nombres premiers de ces formes 84 n— 5, 84 n — 17, ti\n — 41 sont de la forme y2 — 21s2; et ceux des formes 84 « — 1, 84« — 25, 84/i — 37 sont de la forme 21 s2 — y2.
270 Tous les nombres premiers de ces formes 88 « -h i5, 887/ -1- 23, 88/2 4- 3 1 , 88/? — 17, 88/? — 41 ^o/z/ de la forme y2 4- 22 c2; et ceux des formes 88/? 4- 19, $ttn 4- 35, 88/* 4- 43, 88/?. — 5, 88/? — 37 sont de la forme 2 y2 4- 1 1 z2 .
280 Tous les nombres premiers de ces formes 8.8/? 4- 3, 88/14-27, 88/? — 1 3, 88/? — 21 , 88/? — 29 sont de la forme y2 — 22 r-2; et ceux des formes 88/? 4-7, 88/? 4- 39, 88/? — 1, HHn — 9, 88/? — 2.5 sont de la forme 2 2 s2 — y2.
290 Tous les nombres premiers de ces formes 92/? 4- 3, 92/? 4-27, 92/?4-3t, 92/? -h 35, 92/? 4- 39, 92/? — 5, 92/? — 17, 92/? — 21, 92» — 33, 92/? — 37, 92/? — 45 sont ou de la forme y2 4- 23c2, ou bien de la forme \y2 ± "iyz 4- 8 c2.
3o° Tous les nombres premiers de ces formes 9271 + 7, 92/2-1-11, 92 n 4- i5, 92/7 + 19, 92/? -1-43, 92/2 — r , 92/-? — 9, 92/2 — i3, 92/2 — 25, 92/?— 29, 92/2 — 41 w/2/ r/e la forme 23;2 — y2.
3i° Tous les nombres premiers de ces formes 104/2 -h 3, io(±n 4- 27, 104/2 4- 35, ro4« + 43, io4« 4- 5i, io4« — 29 50/22: o?/ de la forme y2 H- 26;2, ou bien de la forme 3 y2 ± 2j: 4- 9^2; e£ /o?/a- ce?/^r r/e ce.v formes 1 o4 « 4- 7 , 1 04 « - 1- 1 5 , 1 (>4 n 4- 3i , 1 o4 " 4- 47» [ °4 " — 33 , ro4w — 41 sont oa de l(l forme 2y24-i3c2, ou bien de la forme 5y2 ± f\yz 4- G;2.
32° Tous les nombres premiers de ces formes io\n 4- 23, 104/2 — 1, io[\n — 9, \of\n — 17, io4« — 25, io^n — 49 sont de l'une et de l'autre de ces formes y2 — 2G32 et 26a2 — y2; et ceux des formes io4/î-4-ii, 1 04^4-19, io4w— 5, 1 04/2—21, io4« — 37, io4/2 — 45 sont en même temps de l'une et de l'autre de ces formes-ci 2 y- — 1 3 r2 et 1 3 z'1 — 2 v2 .
33° Tous les nombres premiers de ces formes 1 16/2 4- 3, 1 l6n 4- il, 116/2 4- i5, 116/14-19, [16/14-27, (i6/î4-3i, 116/2 -!-')(), 116/2 -'-43, [ 16714- 47» 1 16/14- 55, 1 16/2 — 17, 1 i On — 21, 1 1 6n- - 37, 116/2 — 4 ' sp/if o// ûfe la forme 2 v2 ± 2 y; -h- 1 5^2 , 02/ />/e// r/<? celle-ci 3 r2 t 2 V3 4- io:2.
V|" Tous les nombres premiers de ces formes n6n 4- 7, Il6« 4- 23,
[ 16/1 4- 35, ii6/i4-5i, 1 1(>/2 — 1, 1 i(J/2 — 5, 1 1(>/2 — 9, non — i3, 116/2 — 25, 116/2 — 33, 116/2 — 45, 1 16/2 — 49» 116/2 53, n6n — 57 sont à la fois de ces deux formes v2 — 29Z2 et 29c2 — v2.
35° Tous les nombres premiers de ces formes 1 20/2 3i . no// - \\ sont de la forme y2 4- 3oz9; eeu.r des formes 1 20/J '- 2'), 1 20// : '17 .vo///
«■/r la forme y.y~ h i5za; cewr des formes 1 20/J J3, 1 20/7 — 53 .vo/2/ 2/2' la forme 'm,2+ ioaa; e/i/î/j cet&r des formes 1 20/1 ! m , 1 202/ 59 sont de la forme \v - (\z-.
36" Tous les nombres premiers des formes 1 20 n ig, ijo/i 2950/12
de la forme y- 3o-2; tous eeu.r des foi lues 120// 1. [20H /j<) ,sy>/// rie lu forme Hir- v2; tous eeu.r des fornx s [307I ~ 1 ><>// 17 «2/2/
de la forme 1 5 z2 — 2 y2; enfin tous ceux des formes 1 20 n [3, 1 20// '^7 son/ de la forme 2 j2 — 1 5 z2.
Nous nous arrêtons ici, n'ayant poussé nos Tables que jusqu'à a = 3o; mais ceux qui sont curieux de ces sortes de Théorèmes pourront aisément les continuer aussi loin qu'ils voudront à l'aide des principes et des méthodes que nous avons donnés jusqu'ici.
46. Maintenant il est clair que le Théorème i° du numéro précédent renferme le Théorème 4° de M. Fermât (36); que le Théorème 2" cidessus renferme une partie du Théorème 5° de M. Fermât, et qu'il est même plus général que celui de ce Géomètre, en ce que le nôtre nous apprend que tous les nombres premiers de la l'orme $n — 1 sont non-seulement de la forme y2 — 2z-, mais aussi de celle-ci ar-y2. Enfin il est visible que notre Théorème 3° renferme aussi le Théorème 1" de M. Fermât, mais pour le cas seulement où n est impair.
Quant au Théorème 6° de cet Auteur, quoiqu'il ne soit point contenu immédiatement dans le Théorème 5° du numéro précédent, il est cependant facile de l'en déduire. En eifet, on peut d'abord démontrer que tous les nombres de la forme 4^ + 3, qui sont terminés par les caractères 3 ou 7, sont nécessairement de l'une de ces deux formes 2on -h 3, 2o« + 7; car en faisant successivement
m = jii, 5n -+- 1, 5n + 2, 5« ■+- 3, 5» + {,
la forme '\m + 3 donne celles-ci
20 n -+- 3, ■y.on -+- 7, ?.oh -1- 11, ao/t -t- 15, ?.on. h ig;
où l'on voit qu'il n'y a que les deux premières qui puissent donner des nombres terminés par 3 ou par 7. Ainsi le Théorème de M. Fermât se réduit à ce que le produit de deux nombres premiers de ces formes 2on -+- 3, 2o/j -t- 7 est toujours de la forme y- -+- j:2. Or notre Théorème 5° nous apprend que tous les nombres premiers des formes 2om + 3, -ion + 7 sont nécessairement de la forme 2j2 ± iyz -h 3r.2. Donc il n'y a qu'à prouver que le produit de deux nombres de la forme
iy- ± 2fz -+- 3,z2 est de la forme y2 -+- j;2; ce qui est facile, car on trouve que
(a/» + %yz-¥ 3 32)(v'-'-t-2)-'3'-+-3-.r2) = (2 vr'-H vs'-h r.> ' - 3zz')s-t-5(jrz'— '.' ')'■
A l'égard des autres Théorèmes de M. Fermât qui concernent les nombres premiers de la forme /\n-\-i, on en trouvera la démonstration ciaprès.
47. Les Théorèmes du n" 45 ne regardent que les nombres premiers de la forme (\n — i. Pour avoir de pareils Théorèmes sur les nombres premiers de la forme (\n-\-i, il faudrait pouvoir démontrer que les nombres premiers de la forme \na-\-b, lorsque h est de la forme l\m -+- 1, peuvent toujours être diviseurs de quelque nombre de la forme t2-han2 ou t2 — au2; car nous avons déjà prouvé (40) que tout nombre premier de la forme \n -h r qui est un diviseur de /- ±air l'est aussi de t2^zau2. Or quoique l'induction paraisse prouver que les nombres premiers des formes qui conviennent aux diviseurs de t2 ± au2 peuvent toujours être effectivement des diviseurs de pareils nombres, cette proposition ne peut être démontrée rigoureusement par rapport aux nombres premiers de la forme l\n + i que pour un très-petit nombre de cas; du moins toutes les tentatives que j'ai faites pour en venir à bout ont été jusqu'à présent inutiles; de sorte que je me bornerai ici à rapporter les résultats de mes Recherches dans quelques cas particuliers où j'ai réussi à trouver la démonstration de la proposition donl il s'agit; ce sont ceux où h \ et où a=i, 2, 3, 5, 7 ou = au produit de quelques-uns de ces nombres, et où 6 = 9 et a = 5, 10.
rHÉORÈMES si il r.i;s NOMBRES PREMIERS DE LA FORME \n ■ 1.
i8. Nous avons vu (Lemmeslel II; qu'on peul toujours trouver une valeur de x telle que r''-1 — 1 , ou un quelconque des facteurs rationnels cl entiers de ce binôme soi l divisible par p. Soi t donc /t \na | 1, on aura
ainsi x2"a 4- i pourra être divisible par [\na 4- i , lorsque c'est un nombre premier. Faisons ce" = r, et Ton aura le binôme r2" -+- i qui pourra être divisible par (\na-\-\\ faisons de plus r2 -t- 1 — s, et le binôme r2" — i pourra se réduire à cette forme
V ,/,«-■',■' -+- "^ ~V> .-" 'r1 g(g — 4) (a — 5)'Jg 0r6 [ g(g— 5)(a -6)(fl-7)/;„.,^,
Si '2 . î '2 . j . 4
quantité que nous appellerons R pour plus de simplicité. Ainsi tout nombre premier de la forme l\na -h r pourra être un diviseur du polynôme R, ou même d'un facteur quelconque entier et rationnel de ce polynôme. Il faut seulement remarquer, à l'égard de la série qui représente ce polynôme, qu'elle ne doit être poussée que jusqu'aux termes exclusivement qui contiendraient des puissances négatives de s; c'est de quoi il est facile de se convaincre par la nature même de cette série, laquelle, en y substituant r2 -h i à la place de s, doit se réduire à r2" 4- i . Cela posé, soit d'abord a = i; on aura
donc tout nombre premier de la forme l\n 4- 1 pourra être un diviseur d'un nombre de la forme t2 4- u2\ donc ( 18) :
i° Tout nombre premier de la forme f\n 4- i estausside laformey2 -+- z2. Soit ensuite a = 2, on aura
d'où il s'ensuit que tout nombre premier de la forme tin 4- 1 peut être un diviseur d'un nombre de la forme t2 — 2112, et par conséquent aussi d'un nombre de la forme t2 4- 2112 (Lemme IV); donc ( 18 et 20) :
20 Tout nombre premier de la forme tin ->r- 1 est en même temps de ces trois formes y2 4- 2 z2, y2 — 2s2 et iz2 — y2.
Soit en troisième lieu a = 3, on aura
R = 53- 3sr2 = s is2— 3/- ;
donc tout nombre premier de la l'orme i2n -j- i pourra être diviseur d'un nombre de la forme t'2 — 3w2, et par conséquent aussi d'un nombre de la l'orme t* + 3/r (Lemme IV); donc ( 18 et 20) :
3° Tout nombre premier de la forme ra/i-t- i sera en même temps de la 'forme y2 -h 3z- et de l'une de ces deux y- — 3z2 et 3~2 — y'2', mais on voit par la Table IV que la forme — y2 + 3s2 ne donne que des nombres de la forme 12/* — 1; donc tout nombre premier 1 2 « + 1 sera nécessairement de ces deux formes y2 ■+- 3-2 et y2 — 3r2.
Soit en quatrième lieu a = 5, on aura
l( = ss- 5 s3/-2 4- 5s/-4 = s s* — 5 s2/'2 ; r>r* ;
donc tout nombre premier de la forme 2o/«-h 1 pourra être un diviseur de s'' — 5*2r2H- 5r*, par conséquent aussi de
4«* — 2052/'2 -+- p.or1 = | 2*2 — 5r2 2 — 5r4,
c'est-à-dire d'un nombre de la forme /2— :">//2; donc il pourra l'être aussi d'un nombre de la forme/2-1-.")//2 Lemme IV;; donc (18 et 20) :
V Tout nombre premier de la forme 9.0 n -->- 1 est en menu- temps de ces trois formes y% H 5z*,y2 — 5z2 et 5z2- v2.
En cinquième lieu, soit a = ■-, on aura
R=«' — 7«*r 1 \s*rA- -sr^ — s'is"— 7 .v / / :
donc tout nombre premier de la forme 20/1 -+- 1 pourra elle un diviseur de .v" - - s2 — r2/2/-2, cl par conséquent d'un nombre de la l'orme 1- -a-, comme aussi d'un nombre de la forme t2 ■+■ 7«s Lemme IV ;
<,U\\e 18 el 2(1 :
V' Tout nombre premier de la forme 28/» 1 .vw en menu temps de la
forme y2 -+- 7s2 et de l'une de ces deux-ci y2 — 7 s2, 7-r — y2; mais la Table IV montre que la forme — j2 -h 7Z2 ne peilt donner des nombres de la forme 28// -\- j; donc tout nombre premier 28/? -h 1 sera nécessairement de ces deux formes y2 h- 7 c-2 et y2 — 7 s2.
Si l'on faisait encore a = 11, on aurait
R = su — 1 îs'r- -+- 1 1 .^s1 r* — 1 1 . 'j s11 r° -f- 1 1 . 5 s3/'* — 1 1s/10;
de sorte que tout nombre premier de la forme 44" -+- 1 pourra être un
diviseur de
s10— 1 1 (58 — 4*6r2 + 754/"1 — 5*2r° -+- re ) / •'-';
mais je ne vois pas comment cette quantité pourrait se réduire à la forme t- — 1 1 ir; c'est pourquoi il me parait que l'usage de la méthode précédente est borné aux seuls cas que nous venons d'examiner; d'autant plus que ces cas sont les seuls où l'on ait pu jusqu'ici déterminer les racines de l'équation r2a-±- 1 =0, en supposant a un nombre premier; en effet, si l'on pouvait trouver, pour une valeur quelconque de a, l'expression de la racine /•, et que cette expression contînt d'une manière quelconque le radical \]a ou \j — a, il est facile de voir qu'on pourrait toujours avoir un facteur de r2a 4- 1 qui serait de la forme t2 ±au2, et qui pourrait par conséquent être divisible par tout nombre premier de la forme l\na -t- 1.
Ayant trouvé jusqu'ici que tout nombre premier de la forme L\na -+- 1 est toujours un diviseur de t2 ± au2 lorsque a = 2, 3, 5, 7, il s'ensuit du Lemme VI que cela sera vrai aussi lorsque a sera égal au produit de quelques-uns des nombres 2, 3, 5, 7. Ainsi, faisant successivement
on trouvera, d'après les Tables I et II combinées avec les Tables III et IV, les Théorèmes suivants :
6° Tout nombre premier de la forme 2^n-\- 1 est en même temps de l'une et de l'autre de ces deux formes y2 -+- 6z2 et y2 — Gz2.
70 Tout nombre premier de la forme l\on -+- i est en même temps de chacune de ces trois formes y2 -4- io;2, y- — io^2 et ioc-2 — y2.
8° Tout nombre premier de la forme 56n -+- i est de la forme y2 -h i/\z2 ou 2y2 -h 7 z2, et en même temps de la forme y2 — \f\z2 .
9° Tout nombre premier de la forme 6on -f- i est à la fois de l'une et de l'autre de ces formes y2 -f- 1 5z2 et y2 — 1 5 s2.
io° Tout nombre premier de la forme 84 n -\- 1 est à la fois de l'une et de l'autre de ces formes y2 -+- 21 z2 et y2 — -2\ z2 .
1 1° Tout nombre premier de la forme 1 20 n -+- 1 est à la fois de l'une et de l'autre de ces formes y2 -f- 3os2 et y2 — 3oz2.
Considérons maintenant les nombres premiers de la forme 2on 4-9, el je dis que ees nombres sont nécessairement diviseurs de quelques nombres de la forme t2 — 5k2. Car si on le nie, il faudra qu'on admette (Lemme VII, 11" 45 j que le nombre
/ . . P\J0/M-I0 / . /F \20n-t-KJ
et même qu'un facteur quelconque de ce nombre est divisible par le nombre premier 20/1-1-9. Or l'expression précédente a évidemment ce facteur
{t + ufi)i-(i-usf5y 2 v 5
c'est-à-dire, en développant les termes,
5 t* + io/-'«2 + 5//' = 7,5 **-i-a»)»5 .-/ : donc le nombre 20/1 -1- g sera nécessairement diviseur d'un nombre de la
forme t2 W-. De là et des Tables citées résulte d'abord ce Théorème :
1 a0 Tout nombre premier de la forme 20/j -t- q est en même temps d< as trois formes y2 • 'ir, v' 5sa et 5z*—Y2.
Enfin puisque les nombres de la forme \on -f- g sont aussi de la forme
8/7 + 1, et que nous avons déjà vu que les nombres premiers de celte dernière forme sont toujours diviseurs de quelques nombres de la forme t- — 2 u'2; il s'ensuit du Lemme VI qu'en faisant a— 2.5, les nombres premiers de la forme l\na + 9, c'est-à-dire 4°^ + 9» seront toujours diviseurs de quelques nombres de la forme u2 — at2, c'est-à-dire de u2 — iot2. Donc :
1 3° Tout nombre premier de la forme 40/1 + 9 est en même temps de ces trois formes y2 + 10 z2, y2 — \oz2 et \oz2 — y2.
49. Scolie I. — Au reste, si l'on combine les Théorèmes que nous avons démontrés jusqu'ici avec le Lemme III, on en pourra déduire un grand nombre d'autres Théorèmes d'Arithmétique qui seraient peut-être bien difficiles à démontrer directement.
Ainsi, si p est un nombre premier d'une de ces formes 8//±i, 2 2 — 1
/'-■ sera divisible par p, et si p est de la forme 8n±3, 2 ' + 1 sera alors
divisible par y?.
/'-■ De même, si p est de la forme 1271 ± 1, 3 v — 1 sera divisible par p,
et si p est de la forme 12/1 ± 5, 3 ' +1 sera alors divisible par/?.
Si p est d'une de ces formes 2on±\, 20/7 ±9, 5 ■ ' — 1 sera divisible
par/?; et si/? est d'une de ces formes 2077 ± 3, 2on ± 7, alors 5 ' + 1
sera divisible par/?. Et ainsi de suite.
50. Scolie II. — Les nombres premiers de la forme l\n 4- 1 sont toujours la somme de deux carrés (48); mais les nombres premiers de la forme L\n — 1 ne pouvant jamais être la somme de deux carrés, seront nécessairement la somme de trois ou de quatre carrés, puisqu'il est démontré que tout nombre entier est ou carré ou la somme de deux ou trois ou quatre carrés [voyez les Mémoires pour 1770 (*)]. Or je remarque que la forme i\n— 1 se réduit à ces deux-ci Sn— 1 et 8n + 3;
(*) Œuvres de Lagrange, t. III, p. 189.
à l'égard des nombres premiers de la forme Sn-\-3 on a prouvé qu'ils sont toujours la somme d'un earré et du double d'un carré (45); et quant à ceux de la forme Sn — i, M. Fermât assure que le double de chacun de ces nombres est toujours aussi la somme d'un carré et du double d'un carré (voyez la Lettre à M. Digby citée ci-dessus, n° 36); mais ce dernier Théorème est du nombre de ceux qui restent encore à démontrer. On peut observer que la forme 8/i— r se réduit à ces trois-ci i!\ n — t, 24/2+7, 24«4-.i5, dont il n'y a (pie les deux premières qui puissent convenir à des nombres premiers; or il est déjà démontré (45) que tout nombre premier de la forme 2^/2 -f- 7 est de la forme y2-\-6z2; donc le double d'un nombre premier de la même forme sera de la forme
2 y2 + i?.z2= 0'+ ?■ z \- -\- { y — 2. zf + (1 zy ,
c'esl-a-dire la somme de trois carres. Ainsi le Théorème dont il s'agit es) démontre pour Ions les nombres premiers de la forme Hn— 1 lorsque // n'est pas un multiple de '}; et il ne reste plus qu'à le démontrer pour les nombres de la forme 2^/1 — 1; mais je ne vois pas, quant à présent, comment on y pourrait parvenir.
J'ajouterai, en finissant, que j'ai remarqué que tout nombre premier de la forme l\n — 1 est la somme d'un nombre premier de la forme in-M et du double d'un nombre premier de la même forme; ainsi
mais ce n'est que par induction que j'ai trouvé ce Théorème.
