III

de x moindres que —■> lesquelles rendront X divisible par /?, soit m, el

que celui des valeurs de x moindres que '-■> lesquelles rendront % divisible par /?, soit p..

En général, si n est un polynôme quelconque entier et rationnel en x, dont le degré soit moindre que p — i, et que le polynôme xp~* ±pî] — i soit résoluble dans les deux polynômes X et £ rationnels et entiers, il suit de la démonstration précédente qu'il y aura toujours m valeurs de x

moindres que - qui rendront X divisible par/?, et p. valeurs de x moindres que - qui rendront | divisible par/?.

Lemme III.

39. Si un nombre premier p est un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, a étant un nombre donné positif ou négatif, et t, u des nombres

premiers entre eux, et non divisibles par p ; je dis que a ' — i sera nécessairement divisible par p.

Et réciproquement si a * — i est divisible par p, ce nombre p pourra toujours être un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2.

Car :

i° Supposant t2 — au2 =/?M, on aura

or, par le Lemme I, ip~i — \ et up~l — i sont divisibles par/;; donc

sera aussi divisible par/?; mais en développant la puissance

/■— ■ aii2-hpM) ' ,

on voit que tous les termes en sont d'eux-mêmes multiples de p, excepté

le premier

/'- ' uf-' a » ;

donc

PJZI

u,p ' a * — i sera divisible par/?; niais m*-1 — i étant ;mssi divisible par/;,

ni'-' a 2 — a '

sera encore divisible par/»; par conséquent la différence de ces nombres, c'est-à-dire

sera nécessairement divisible par/?.

2" Si a * — i est supposé divisible par/;, alors, par le Lemme II, il y aura toujours quelques valeurs de x qui rendront chacun des ('acteurs de

p xp-* — a

\v\) prenant a 2 — r ^/;Tlj divisible par/); mais ce binôme a pour l'acteur x2 — a: donc /> pourra être diviseur de x'1 — a , c'est-à-dire d'un nombre de la forme /- au*.

Lemme IV.

Ht. .sv l'on a un nombre premier p de la forme \n • \ . lequel soit un

diviseur d'un nombre de Informe t2 — au2, il le sera aussi nécessairement d'un nombre de In forme t2 -+- an2.

Et vice versa si p n'est jamais un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au9, d ne pourra jamais I être dan nombre île la /orme I2 au2 .

Car si p v>\ un diviseur d'un nombre de la forme I2 au2, on aura par

le Lemme précédenl a i divisible par/7; mais ' - = y.ti: donc

a2" — i sera divisible par/?; donc aussi, changeant a en — a, ( - a)2"— i sera divisible par/?; c'est-à-dire que

sera divisible par y»; par conséquent, par la seconde partie du Lemnie précédent, p sera un diviseur d'un nombre de la forme t2 -+ au2.

De même, en changeant a en — a on prouvera que si/? est un diviseur d'un nombre de la forme t2-h au2, il le sera aussi d'un nombre de la forme t2 — au2; par conséquent, si p ne peut être un diviseur de t2 — au2, il ne pourra l'être non plus d'un nombre de la forme t2 -{-au2.

Lemme V.

41 . Si p est de la forme [\n — i , et que ce nombre soit un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, il ne pourra jamais l'être d'un nombre de la forme t2 -\- au2.

Et réciproquement si p ne peut être un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, il le sera nécessairement d'un nombre de la forme t2 -+- au2.

Car p étant un diviseur de t2 — au2, il faudra que l'on ait « 2 — i , savoir a2""1— i divisible par/? (Lemme 111); de même, pour que t2 -+- au2 fût divisible par/?, il faudrait que l'on eût, en changeant a en —a, (— a)2"-1— i divisible par/), c'est-à-dire (à cause que l'exposant in — i

est impair) que a2""' -+- 1 fût aussi divisible par/?; ce qui ne se peut.

p-' Si p ne peut être un diviseur de t2— au2, alors a ' ' — i ne sera pas

divisible par/? (Lemme III). Or ap~' — i est toujours nécessairement divisible par/? (Lemme I); mais

uf-

( sn \( s=i \

/'- ' donc puisque/? est premier et que a 2 - i n'est pas divisible par/?, il

/'-' a * -t- 1 ou bien a?" -l + i

faut nécessairement (jue a 2 H- i soit divisible par/?. Ainsi dans ce cas

scia divisible par/?; donc aussi

(— ay-"-'— i ou bien (—a) " — i

scia divisible par />. Donc, par le Lenime III, le nombre /> sera diviseur d'un nombre de la Corme t2-hair.